Lei de Gauss

Teoria Completa

Fala aí, nós somos o Responde Aí, a solução para os seus problemas. 🎉

Estamos aqui hoje para dar uma introdução na famosa Lei de Gauss. A Lei de Gauss é um tema estudado em eletricidade, um dos assuntos de física. É uma lei super importante e você veio ao lugar certo para aprender tudo e arrebentar na hora da prova. Então bora lá!

Antes de falarmos da Lei de Gauss, vamos relembrar um conceito importante aqui: as linhas de camo elétrico. Devemos ter em mente que cargas elétricas positivas "cospem" linhas de campo elétrico, enquanto cargas negativas puxam linhas de campo elétrico pra elas. Como na imagem:

Agora, vamos imaginar que pegamos uma carga positiva e colocamos ela dentro de uma caixa, desse jeitinho aqui:

Concorda comigo que podemos imaginar que as linhas de campo elétrico produzidas pela carga positiva estão atravessando as faces da nossa caixa? E isso é o que chamamos de fluxo elétrico, a quantidade de campo elétrico que atravessa uma superfície por unidade de área.

A Lei de Gauss fala exatamente sobre esse exemplo, ela relaciona o fluxo de campo elétrico sobre uma superfície fechada, chamada de gaussiana, com a carga total que é envolvida por essa superfície, chamada de carga interna. Matematicamente a Lei de Gauss é expressa assim:

$$Φ(\vec{E})=\frac{Q_{int}}{ε_0}$$

Onde:

  • $Φ(\vec{E})$ é o fluxo de campo elétrico sobre uma superfície FECHADA (gaussiana);
  • $Q_{int}$ é a carga que está envolvida pela gaussiana, a carga que está interna a essa superfície, expressa em $Coulomb~(C)$;
  • $ε_0$ é a constante de permissividade do vácuo, que vale: $ε_0= 8,88 X 10^{-12} ~ C^2/Nm^2$

IMPORTANTE: O fluxo de campo elétrico é expresso em $Nm^2/C$.

Agora, vamos ver algumas implicações importantes dessa lei:

1°) O fluxo de campo elétrico tem o mesmo sinal da carga interna . Isso porque carga positiva cospe o campo elétrico e o fluxo resultante é para fora da superfície, como podemos ver na imagem anterior, e tem o sinal positivo, enquanto carga negativa puxa o campo elétrico, fazendo com que o fluxo seja para dentro da gaussiana, assumindo um sinal negativo. De forma geral:

$$Se~~Q_{int}~~é ~~positiva, ~~então:~~Φ(\vec{E}) > 0 $$
$$Se~~Q_{int}~~é ~~negatica, ~~então:~~Φ(\vec{E}) < 0$$
$$Se~~Q_{int}~~é ~~zero, ~~então:~~Φ(\vec{E}) = 0$$

2°) O formato da superfície gaussiana não altera o fluxo de campo elétrico. A lei de gauss relacina o fluxo de campo elétrico sobre uma suprfície fechada com a carga que está no interior da superfície, então não importa qual o formato da minha superfície gaussiana, se a carga no interior é a mesma, o fluxo elétrico será o mesmo:

$$Φ(\vec{E})_{cubo}=Φ(\vec{E})_{cilindro}=\frac{Q_{int}}{ε_0}$$

3°) Se houver mais de uma carga envolvida pela a gaussiana, a carga interna será a soma de todas as cargas que estão no interior da gaussiana:

Nessa imagem temos $5$ cargas no inteior da gaussiana, então a carga interna será:

$$Q_{int}=Q_1+Q_2+Q_3+Q_4+Q_5$$

4°) Cargas fora da gaussiana não contribuem para o fluxo elétrico. Isso ocorre porque quando a carga está fora da gaussiana a quantidade de campo produzida por ela que entra na gaussiana é igual a quantidade de campo que sai da gaussiana e assim a contribuição do campo produzido por essa carga no fluxo é nula.

5°) A carga não precisa estar necessariamente no centro da gaussiana, basta estar no interior para ser contabilizada como uma carga interna à gaussiana.

E essa é a Lei de Gauss e suas implicações.

Uma dica: fica bem atento a essas implicações da Lei de Gauss, porque os professores adoram colocar isso como pegadinha, estamos combinados? 😉

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P1-2014.2-ME04

Seja um cubo isolante e uniformemente carregado, isolado de todos os outros corpos.

Dentre as afirmações

I A lei de Gauss só se aplica a esse problema se escolhermos superfícies gaussianas cúbicas, haja vista a simetria do sistema,

I I A lei de Gauss deixa de ser aplicável a esse problema se escolhermos superfícies gaussianas que interceptam o cubo carregado,

I I I A lei de Gauss simplesmente não se aplica a esse problema;

qual(is) é(são) verdadeira(s)?

a Somente a I .

b Somente a I I .

c Somente a I I I .

d Somente a I e a I I .

e Somente a I e a I I I .

f Somente a I I e a I I I .

g Todas estão corretas.

h Nenhuma está correta.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos analisar cada afirmativa.

I A lei de Gauss só se aplica a esse problema se escolhermos superfícies gaussianas cúbicas, haja vista a simetria do sistema

De acordo com a lei de Gauss, independente do formato da gaussiana, o fluxo elétrico através da superfície é sempre o mesmo. Logo, a superfície gaussiana pode ter qualquer formato (esférica, cilíndrica, cúbica, etc.), desde que englobe todas as cargas do sistema.

A afirmativa é falsa.

Passo 2

I I A lei de Gauss deixa de ser aplicável a esse problema se escolhermos superfícies gaussianas que interceptam o cubo carregado

A lei de Gauss contínua sendo aplicável se ela cortar o cubo! Se ela cortar o cubo na metade, então na lei de Gauss temos que usar metade da carga desse cubo. Ela sempre é aplicável, mas isso não significa que ela é conveniente pois as contas ficariam muito difíceis!

A afirmativa é falsa.

Passo 3

I I I A lei de Gauss simplesmente não se aplica a esse problema

A lei de Gauss se aplica a esse problema sim! O problema é escolher uma superfície que faça as contas serem fáceis, mas a lei de Gauss se aplica com certeza.

A afirmativa é falsa.

A resposta certa é a letra h .

Resposta

h Nenhuma está correta.

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P1-2010.2-ME10

Considere os seguintes sistemas carregados:

  1. Fio retilíneo, fino, finito, uniforme;
  2. Fio retilíneo, fino, finito, não uniforme;
  3. Fio retilíneo, fino, infinito, não uniforme;
  4. Anel circular, fino, uniforme;
  5. Bola (esférica), sólida, com densidade de carga variando só com a distância até o centro.

Qual a opção que indica, desses sistemas, aquele(s) para o(s) qual(is) pode-se aplicar a lei de Gauss a fim de deduzir uma expressão analítica explícita para o campo elétrico resultante?

  1. IV
  2. V
  3. I, IV
  4. I, V
  5. IV, V
  6. I, IV, V
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para podermos aplicar a Lei de Gauss de maneira conveniente, precisamos escolher uma superfície gaussiana por onde o campo elétrico é constante!

Para isso acontecer é necessário que tenhamos alguma simetria, como a esférica ou cilíndrica.

Passo 2

Um fio finito não possui campo de simetria cilíndrica, como alguns podem imaginar. É só olhar pra essa figura aqui

O campo logo acima do meio desse fio carregado de comprimento L é vertical, mas conforme vamos andando pra esquerda ele começa a ficar mais e mais inclinado. Isso é o que chamamos de efeito de borda.

Quando o fio é infinito (ou quando o comprimento L é muito grande) esses efeitos de borda desaparecem. Assim já podemos eliminar a I e a II

Passo 3

No caso IV fica difícil pensar em que tipo de superfície o campo elétrico é constante já que nesse caso não temos simetria esférica ou cilíndrica.

Ainda que possamos englobar todo o anel com uma superfície gaussiana simétrica fechada qualquer (cilindro ou esfera, por exemplo), o campo elétrico produzido pelas cargas do anel não será o mesmo em todos os pontos dessa superfície fechada. Por isso não dá para encontrar uma expressão analítica explícita para esse caso IV.

Passo 4

Por outro lado, a III nem está nas opções haha. Não conseguimos aplicação útil da Lei nela porque não sendo uniforme também não temos simetria cilíndrica do campo. Se fosse uma distribuição de cargas uniforme, aí sim teríamos esse caso.

Passo 5

Nesse caso aqui não há razão para pensarmos que o campo elétrico não seja radial e dependa somente da distância até o centro da esfera (já que a densidade também depende somente dessa distância radial).

Como o campo elétrico é radial e sua intensidade só depende da distância até o centro da esfera

E → = E r r ^

Podemos escolher como gaussiana uma esfera de raio r de forma que o elemento de área da esfera é

d A → = d A r ^

Assim fica mole aplicar a lei de Gauss

∫ E → ⋅ d A → = E r A r = E r 4 π r 2

Ou seja, nesse caso é conveniente usar a lei de Gauss 😉

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P1-2011.1-ME07.

A figura representa o perfil de uma placa condutora de espessura d finita e demais dimensões muito maiores que d . A densidade superficial de carga σ em ambas as faces da placa é constante (uniforme e estacionária). Considerando as três superfícies cilíndricas indicadas na figura, qual das afirmativas abaixo é correta?

  1. E 1 > E 2 > E 3
  2. E 1 > E 2 = E 3
  3. E 1 = E 2 > E 3
  4. E 1 < E 2 < E 3
  5. E 1 = E 2 = E 3
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa é tiro e queda. Você só tem que entender que o campo em um ponto não depende da superfície que você inventa passando por aquele ponto.

Como se trata de um plano, nós já vimos que o campo é uniforme e estacionário:

Fiz o desenho considerando densidades σ positivas, por isso o campo sai das placas ao invés de entrar.

Portanto os campos são iguais nos três pontos.

Resposta

Letra e

Exercício Resolvido #4

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA FÍSICA – MATERIAL DE ESTUDO: ELETRICIDADE, MAGNETISMO E CIRCUITOS.

Um elétron se encontra no centro de um cubo cuja aresta mede 20   n m . Calcule o fluxo elétrico através de uma das faces do cubo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A superfície do cubo é fechada, então podemos tranquilameeente usar a Lei de Gauss para calcular o fluxo elétrico

ϕ = Q i n t ε 0

No caso, Q i n t vai ser a carga do elétron que é - 1,6 × 10 - 19   C e ε 0 é uma constante que vale 8,85 × 10 - 12 C 2 N . m 2 . Agora é só substituir na fórmula :)

Passo 2

Substituindo os valores, temos que

ϕ = - 1,6 × 10 - 19 8,85 × 10 - 12

ϕ = - 1,8 × 10 - 8   N . m 2 / C  

Passo 3

Calma que ainda não acabou, tem só mais um detalhe: Esse fluxo que calculamos pela Lei de Gauss é o fluxo sob toda a superfície fechada do cubo e não o fluxo através de uma única face do cubo, como o exercício pede.

Mas não se desespera, porque como há 6 faces em um cubo e o cubo é simétrico, o fluxo através de uma única face será 1/6 do fluxo total, sacou?

ϕ f a c e = - 1,8 × 10 - 8 6 = 0,3 × 10 - 8   N . m 2 / C  

Resposta

ϕ f a c e = - 0,3 × 10 - 8   N . m 2 / C  

Exercício Resolvido #5

Site do Prof. A. F. Guimarães, lista 03 de Física 3

Uma carga puntiforme de 1,0 × 10 - 6   C está colocada no centro de uma superfície Gaussiana cúbida, de aresta igual a 0,5   m . Qual o valor de Φ E para essa superfície:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Segundo a lei de Gauss, temos que:

Φ E = Q i n t ϵ 0 ,

onde Q i n t é a carga total dentro da superfície fechada (superfície Gaussiana). Assim, o fluxo será dado por:

Φ E = 1,0 × 10 - 6 8,85 × 10 - 12 ,

Φ E = 1,13 × 10 5   N m 2 C - 1 .

Resposta

Φ E = 1,13 × 10 5   N m 2 C - 1 .

Exercício Resolvido #6

Site do Prof. A. F. Guimarães, lista 03 de Física 3 (modificada)

Numa esfera dielétrica oca existe uma densidade volumétrica de cargas ρ constante. O raio externo da esfera é igual a b e o raio do buraco esférico concêntrico é igual a a , conforme a figura. Determine o fluxo elétrico através de uma gaussiana esférica concêntrica de raio r ≥ b .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Segundo a lei de Gauss, temos que:

Φ E = Q i n t ϵ 0 ,

onde Q i n t é a carga total dentro da superfície fechada (superfície Gaussiana), dada por:

Q i n t = ρ V T .

Na expressão acima, V T é o volume total, dado por:

V T = 4 π 3 b 3 - a 3 .

Assim, o fluxo será dado por:

Φ E = 4 π ρ b 3 - a 3 3 ϵ 0 .

Resposta

Φ E = 4 π ρ b 3 - a 3 3 ϵ 0 .

Exercício Resolvido #7

TIPLER, MOSCA, FÍSICA PARA CIENTISTAS E ENGENHEIROS, VOLUME II, 6.ED.

Determine o campo elétrico devido a uma fina casca esférica carregada de raio R e carga total Q .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse caso, a gente tem uma configuração de cargas que só depende da distância até o centro da casca esférica, então a gente tem aqui uma simetria esférica certo?

Isso quer dizer que E → deve ser radial e seu módulo só deve depender da distância r até o centro.

Então vamos escolher pra esse caso uma superfície gaussiana esférica S concêntrica à casca esférica e com um raio arbitrário r beleza? Vamos ter algo parecido com essa imagem

Agora temos que usar a Lei de Gauss e avaliar os casos em que r < R e r > R

Passo 2

A Lei de Gauss é expressada assim

ϕ = ∮ S E n ⅆ A = Q i n t ε 0

Sabendo que o valor de E n é o mesmo em qualquer ponto da superfície gaussiana e que a área da superfície de uma casca esférica é 4 π r ² , podemos escrever que

E n 4 π r ² = Q i n t ε 0

Devido à simetria, E n = E r , então

E r = Q i n t 4 π r ² ε 0

Agora basta avaliar essa expressão quando r < R e quando r > R

Passo 3

Quando r < R , a carga dentro da superfície gaussiana vai ser 0, então

E r = 0 4 π r ² ε 0 = 0

Para r > R , a superfície gaussiana engloba toda a casca esférica, então a carga dentro dela vai ser o próprio Q

E r = Q 4 π r ² ε 0

Resposta

E → = E r r ^ onde E r = 0 ,   r < R Q 4 π r ² ε 0 ,   r > R

Exercício Resolvido #8

TIPLER, MOSCA, FÍSICA PARA CIENTISTAS E ENGENHEIROS, VOLUME II, 6.ED.

Determine o campo elétrico gerado por uma esfera sólida uniformemente carregada que tem raio R e uma carga total Q , distribuída uniformemente através do volume da esfera cuja densidade de carga é ρ = Q V onde V = 4 π R 3 3 é o volume da esfera.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos aqui uma simetria esférica, isso quer dizer que o campo elétrico deve ser radial e iremos escolher uma superfície gaussiana S esférica de raio r . Na imagem da esquerda temos o caso em que r > R e na da direita temos r < R

Por simetria, E n = E r e também é constante em qualquer ponto da superfície. Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico nas duas situações das imagens acima ;)

Passo 2

A Lei de Gauss é

ϕ = ∮ S E n ⅆ A = Q i n t ε 0

Como E n é constante e a área da superfície de uma casca esférica é 4 π r ² :

E r 4 π r ² = Q i n t ε 0

E r = Q i n t 4 π r ² ε 0

Agora basta avaliar essa expressão quando r < R e quando r > R

Passo 3

Quando r < R , a carga dentro da superfície gaussiana vai ser

Q i n t =   ρ V '

Onde V ' = 4 π r 3 3 , então

Q i n t = Q V 4 π r 3 3

Q i n t = Q 4 π R 3 3   4 π r 3 3

Q i n t = Q r 3 R 3

Então, o campo elétrico para r < R vai ser

E r = Q r 3 R 3 4 π r ² ε 0

E r = Q r R 3 4 π ε 0

Para r > R , a superfície gaussiana engloba toda a casca esférica, então a carga dentro dela vai ser Q mesmo

E r = Q 4 π r ² ε 0

Resposta

E → = E r r ^ onde E r = Q r R 3 4 π ε 0 ,   r < R Q 4 π r ² ε 0 ,   r > R

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas