Introdução à Lei de Gauss

Teoria Completa

Introdução

Fala galera! Indo direto ao ponto, vamos ver nesse módulo a lei de Gauss. A pergunta que a gente tem que fazer é a seguinte: como isso aparece em questões?

Dá pra gente dividir as questões de leis de Gauss em dois tipos:

  • Questões teóricas, que vão testar se você realmente entendeu a equação e os conceitos.
  • Questões em que queremos calcular o campo elétrico gerado por um objeto com formato diferente (exemplo: cilindro, fio, plano etc.).

Vamos começar pela parte teórica, ok?

Antes de tudo, é muito importante lembrar que cargas positivas cospem campo elétrico para fora e cargas negativas puxam o campo elétrico para elas.

A lei de Gauss pode ser resumida em duas ideias:

  • Quanto maior for a carga positiva, mais linhas de campo ela vai cuspir;
  • Quanto maior for a carga negativa, mais linhas de campo ela vai puxar.

Agora vamos ver como a lei de Gauss transforma isso tudo em equação.

Primeiro Passo – Escolher a Superfície Gaussiana

“Peraí, o que é uma superfície gaussiana?!”

Sério, muito boa a sua pergunta, fico até emocionado! Então, ela é uma superfície fechada e com qualquer formato, e que nós vamos utilizar para envolver uma certa quantidade de cargas.

No nosso exemplo, vamos colocar uma carga positiva no interior de uma superfície gaussiana em formato de cubo, se liga:

Imagina as linhas de campo sendo cuspidas pela nossa carga positiva... é como se o cubo estivesse sendo forçado a se expandir, certo?

Quanto mais ele é forçado a se expandir, mais positivamente grande será o fluxo elétrico calculado que passa pelo cubo. Esse fluxo elétrico no cubo é representado por Φ E → .

Se a carga fosse negativa, as linhas iriam “contrair” o cubo. E quanto mais forte a carga negativa for, mais negativamente grande será o fluxo elétrico.

Vamos ver mais pra frente como se calcula esse fluxo. Mas já podemos entender a equação da lei de Gauss:

Φ E → = Q i n t ϵ 0

Onde:

  • Φ E → é o fluxo que calculamos nessa superfície gaussiana da figura;
  • Q i n t representa as cargas no interior do cubo;
  • ϵ 0 é a constante de permissividade do vácuo: ϵ 0 = 1 4 . π . K 0 ≅ 8,85 × 10 - 12   C 2 / N m 2 .

Pela equação, o fluxo elétrico Φ E → tem o mesmo sinal que a carga total Q i n t no interior da gaussiana.

Por isso, fluxos positivos estão ligados a cargas positivas e a linhas de campo que saem da gaussiana, enquanto fluxos negativos estão ligados a cargas negativas e as linhas de campo entram na gaussiana.

Cuidado pra não cair nas pegadinhas

Vamos dar uma olhada em duas alterações costumam aparecer em questões de prova pra ver se você está voando no assunto.

Alteração 1: E se mudarmos o formato da superfície gaussiana para outro formato qualquer, por exemplo, um cilindro?

Resposta: O formato da superfície gaussiana não interfere em nada no problema se a carga estiver dentro da esfera ou dentro da superfície maluca. A própria equação da lei de Gauss nos diz isso:

Φ C u b o E → = Φ C i l i n d r o E → = Q i n t ϵ 0

Alteração 2: E se colocarmos mais de uma carga dentro da nossa gaussiana?

Resposta: Nesse caso, Q i n t vai ser a soma de todas as cargas internas. Por exemplo: se temos 5 cargas dentro da gaussiana: Q i n t = Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5 :)

Agora, para poder fazer as questões, vamos ver como isso costuma aparecer com exemplos.

Exemplo 1

Nesse exemplo, temos duas cargas, uma positiva e outra negativa. O campo sai da carga positiva e entra na negativa. Vamos traçar essas três gaussianas da figura e ver o que acontece em cada uma.

  • Gaussiana vermelha: o fluxo nessa gaussiana vale Q + ϵ 0 . Também podemos notar que o que todas as linhas estão saindo da superfície, assim, o fluxo é positivo;
  • Gaussiana verde: aqui o raciocínio é o contrário. As linhas estão entrando na gaussiana, logo, o fluxo é negativo e vale Q - ϵ 0 .
  • Gaussiana azul: como não temos cargas dentro dessa superfície gaussiana, logo, o fluxo é zero.

Importante: Um fluxo elétrico nulo não significa que o campo é zero em todos os pontos da superfície. Isso significa que temos o mesmo número de linhas de campo entrando e saindo da gaussiana.

Exemplo 2

Agora vou fazer uma gaussiana cobrindo as duas cargas.

O que podemos dizer sobre o fluxo? A resposta é: depende! Vamos comparar o módulo da carga positiva | Q + | com o módulo carga negativa | Q - | . Sabemos que:

Φ E → = Q i n t ϵ 0 = Q + - | Q - | ϵ 0

Resumão ;)

  • Φ E → = Q i n t ϵ 0 ;
  • O fluxo Φ E → é calculado ao redor de uma superfície fechada que contém a carga que queremos calcular. Essa superfície é chamada de Gaussiana;
  • Q i n t é o somatório de todas as cargas que estão no interior da superfície;
  • Se o fluxo for positivo Q i n t > 0 , existem mais linhas de campo saindo da gaussiana do que entrando. E se o fluxo for negativo Q i n t < 0 existem mais linhas de campo entrando do que saindo;
  • Se não existem linhas entrando e saindo ou se o número de linhas que entram na superfície for igual ao número de linhas que saem, então a carga total no interior da gaussiana é nula Q i n t = 0 .
  • Qualquer formato de superfície gaussiana pode ser escolhido, as contas matemáticas realizadas não irão mudar (o que interfere no fluxo são as cargas internas).

É isso! Bora lá praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P1-2014.2-ME04

Seja um cubo isolante e uniformemente carregado, isolado de todos os outros corpos.

Dentre as afirmações

I A lei de Gauss só se aplica a esse problema se escolhermos superfícies gaussianas cúbicas, haja vista a simetria do sistema,

I I A lei de Gauss deixa de ser aplicável a esse problema se escolhermos superfícies gaussianas que interceptam o cubo carregado,

I I I A lei de Gauss simplesmente não se aplica a esse problema;

qual(is) é(são) verdadeira(s)?

a Somente a I .

b Somente a I I .

c Somente a I I I .

d Somente a I e a I I .

e Somente a I e a I I I .

f Somente a I I e a I I I .

g Todas estão corretas.

h Nenhuma está correta.

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Passo 1

Vamos analisar cada afirmativa.

I A lei de Gauss só se aplica a esse problema se escolhermos superfícies gaussianas cúbicas, haja vista a simetria do sistema

De acordo com a lei de Gauss, independente do formato da gaussiana, o fluxo elétrico através da superfície é sempre o mesmo. Logo, a superfície gaussiana pode ter qualquer formato (esférica, cilíndrica, cúbica, etc.), desde que englobe todas as cargas do sistema.

A afirmativa é falsa.

Passo 2

I I A lei de Gauss deixa de ser aplicável a esse problema se escolhermos superfícies gaussianas que interceptam o cubo carregado

A lei de Gauss contínua sendo aplicável se ela cortar o cubo! Se ela cortar o cubo na metade, então na lei de Gauss temos que usar metade da carga desse cubo. Ela sempre é aplicável, mas isso não significa que ela é conveniente pois as contas ficariam muito difíceis!

A afirmativa é falsa.

Passo 3

I I I A lei de Gauss simplesmente não se aplica a esse problema

A lei de Gauss se aplica a esse problema sim! O problema é escolher uma superfície que faça as contas serem fáceis, mas a lei de Gauss se aplica com certeza.

A afirmativa é falsa.

A resposta certa é a letra h .

Resposta

h Nenhuma está correta.

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P1-2010.2-ME10

Considere os seguintes sistemas carregados:

  1. Fio retilíneo, fino, finito, uniforme;
  2. Fio retilíneo, fino, finito, não uniforme;
  3. Fio retilíneo, fino, infinito, não uniforme;
  4. Anel circular, fino, uniforme;
  5. Bola (esférica), sólida, com densidade de carga variando só com a distância até o centro.

Qual a opção que indica, desses sistemas, aquele(s) para o(s) qual(is) pode-se aplicar a lei de Gauss a fim de deduzir uma expressão analítica explícita para o campo elétrico resultante?

  1. IV
  2. V
  3. I, IV
  4. I, V
  5. IV, V
  6. I, IV, V
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Passo 1

Para podermos aplicar a Lei de Gauss de maneira conveniente, precisamos escolher uma superfície gaussiana por onde o campo elétrico é constante!

Para isso acontecer é necessário que tenhamos alguma simetria, como a esférica ou cilíndrica.

Passo 2

Um fio finito não possui campo de simetria cilíndrica, como alguns podem imaginar. É só olhar pra essa figura aqui

O campo logo acima do meio desse fio carregado de comprimento L é vertical, mas conforme vamos andando pra esquerda ele começa a ficar mais e mais inclinado. Isso é o que chamamos de efeito de borda.

Quando o fio é infinito (ou quando o comprimento L é muito grande) esses efeitos de borda desaparecem. Assim já podemos eliminar a I e a II

Passo 3

No caso IV fica difícil pensar em que tipo de superfície o campo elétrico é constante já que nesse caso não temos simetria esférica ou cilíndrica.

Ainda que possamos englobar todo o anel com uma superfície gaussiana simétrica fechada qualquer (cilindro ou esfera, por exemplo), o campo elétrico produzido pelas cargas do anel não será o mesmo em todos os pontos dessa superfície fechada. Por isso não dá para encontrar uma expressão analítica explícita para esse caso IV.

Passo 4

Por outro lado, a III nem está nas opções haha. Não conseguimos aplicação útil da Lei nela porque não sendo uniforme também não temos simetria cilíndrica do campo. Se fosse uma distribuição de cargas uniforme, aí sim teríamos esse caso.

Passo 5

Nesse caso aqui não há razão para pensarmos que o campo elétrico não seja radial e dependa somente da distância até o centro da esfera (já que a densidade também depende somente dessa distância radial).

Como o campo elétrico é radial e sua intensidade só depende da distância até o centro da esfera

E → = E r r ^

Podemos escolher como gaussiana uma esfera de raio r de forma que o elemento de área da esfera é

d A → = d A r ^

Assim fica mole aplicar a lei de Gauss

∫ E → ⋅ d A → = E r A r = E r 4 π r 2

Ou seja, nesse caso é conveniente usar a lei de Gauss 😉

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P1-2011.1-ME07.

A figura representa o perfil de uma placa condutora de espessura d finita e demais dimensões muito maiores que d . A densidade superficial de carga σ em ambas as faces da placa é constante (uniforme e estacionária). Considerando as três superfícies cilíndricas indicadas na figura, qual das afirmativas abaixo é correta?

  1. E 1 > E 2 > E 3
  2. E 1 > E 2 = E 3
  3. E 1 = E 2 > E 3
  4. E 1 < E 2 < E 3
  5. E 1 = E 2 = E 3
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Passo 1

Essa é tiro e queda. Você só tem que entender que o campo em um ponto não depende da superfície que você inventa passando por aquele ponto.

Como se trata de um plano, nós já vimos que o campo é uniforme e estacionário:

Fiz o desenho considerando densidades σ positivas, por isso o campo sai das placas ao invés de entrar.

Portanto os campos são iguais nos três pontos.

Resposta

Letra e

Exercício Resolvido #4

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA FÍSICA – MATERIAL DE ESTUDO: ELETRICIDADE, MAGNETISMO E CIRCUITOS.

Um elétron se encontra no centro de um cubo cuja aresta mede 20   n m . Calcule o fluxo elétrico através de uma das faces do cubo.

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Passo 1

A superfície do cubo é fechada, então podemos tranquilameeente usar a Lei de Gauss para calcular o fluxo elétrico

ϕ = Q i n t ε 0

No caso, Q i n t vai ser a carga do elétron que é - 1,6 × 10 - 19   C e ε 0 é uma constante que vale 8,85 × 10 - 12 C 2 N . m 2 . Agora é só substituir na fórmula :)

Passo 2

Substituindo os valores, temos que

ϕ = - 1,6 × 10 - 19 8,85 × 10 - 12

ϕ = - 1,8 × 10 - 8   N . m 2 / C  

Passo 3

Calma que ainda não acabou, tem só mais um detalhe: Esse fluxo que calculamos pela Lei de Gauss é o fluxo sob toda a superfície fechada do cubo e não o fluxo através de uma única face do cubo, como o exercício pede.

Mas não se desespera, porque como há 6 faces em um cubo e o cubo é simétrico, o fluxo através de uma única face será 1/6 do fluxo total, sacou?

ϕ f a c e = - 1,8 × 10 - 8 6 = 0,3 × 10 - 8   N . m 2 / C  

Resposta

ϕ f a c e = - 0,3 × 10 - 8   N . m 2 / C  

Exercício Resolvido #5

Site do Prof. A. F. Guimarães, lista 03 de Física 3

Uma carga puntiforme de 1,0 × 10 - 6   C está colocada no centro de uma superfície Gaussiana cúbida, de aresta igual a 0,5   m . Qual o valor de Φ E para essa superfície:

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Passo 1

Segundo a lei de Gauss, temos que:

Φ E = Q i n t ϵ 0 ,

onde Q i n t é a carga total dentro da superfície fechada (superfície Gaussiana). Assim, o fluxo será dado por:

Φ E = 1,0 × 10 - 6 8,85 × 10 - 12 ,

Φ E = 1,13 × 10 5   N m 2 C - 1 .

Resposta

Φ E = 1,13 × 10 5   N m 2 C - 1 .

Exercício Resolvido #6

Site do Prof. A. F. Guimarães, lista 03 de Física 3 (modificada)

Numa esfera dielétrica oca existe uma densidade volumétrica de cargas ρ constante. O raio externo da esfera é igual a b e o raio do buraco esférico concêntrico é igual a a , conforme a figura. Determine o fluxo elétrico através de uma gaussiana esférica concêntrica de raio r ≥ b .