Teoria Completa
Campo Elétrico Gerado por Linha de Cargas
Hora da ação! Vamos imaginar um fio de comprimento , positivamente carregado. Você sabe dizer qual o valor do campo elétrico gerado por ele no ponto ?
Não sabe? Relaxa, vou te ensinar agora!
Se quisermos achar o campo elétrico resultante num ponto arbitrário no eixo , basta nós somarmos todos os campos de todas as partículas infinitesimais de carga que compõem a barra:
Mas antes da gente pensar em fazer integrais aqui, vamos decompor o nosso vetor , mas é necessário decompor em dois eixos?
A simetria da figura vai ajudar a gente a responder isso, se liga que isso facilita bastante as contas!
Se a gente só desenhar o campo elétrico decomposto nas duas direções no ponto P vamos perceber o seguinte:
No eixo os campos apontam em direções opostas e se anulam então a gente só vai ter campo elétrico no eixo .
Voltando pra decomposição temos:
“Ué, não ia decompor o ?” Sim, mas dá no mesmo decompor o pois afinal de contas ele aponta na direção de . Então:
Ok, agora basta conectar esses seno e cosseno com a geometria do problema, certo? Observando a figura:
E nos utilizando do fato de que, por Pitágoras:
Podemos substituir:
E temos que:
Portanto:
Se a gente tivesse componente na vertical também teríamos que decompor em mas aí era só pegar a equação e trocar por
Putz mas e agora, como que vamos integrar pra , se o que varia na verdade é o comprimento
A gente usa a densidade linear de carga pra relacionar esses caras!
Isolando :
Podemos agora substituir e integrar:
E a gente tem que integrar ao longo de todo o fio, ou seja, de até
Como é constante fica pra fora e rearrumando a raiz embaixo temos enfim:
Calma aí, antes de infartar com essa integral posso te tranquilizar dizendo que geralmente os formulários de prova dão o resultado dela, o que é cobrado é o caminho de chegar nela. Então se você chegou até aqui é um vencedor haha! O resultado dela fica algo mais ou menos assim:
Enfim ficaria:
Campo Elétrico Gerado por um Anel Carregado
A gente já viu como que funciona o campo elétrico de uma linha de cargas, mas e no caso de um anel carregado, como encontrar esse campo num ponto P se o anel é totalmente carregado por cargas positivas?
A equação do campo elétrico continua sendo verdade:
Vamos desenhar a geometria da figura e analisar algumas coisas.
Daqui da figura a gente consegue ver que o valor de por Pitágoras é:
E agora é a hora de decompor os campos nas duas direções, mas de novo, é bom olhar a simetria do problema e analisar se vamos precisar mesmo.
Repara o seguinte, como as cargas são todas positivas a simetria é do mesmo jeito que rolou com a linha de cargas. Ao pegarmos dois infinitesimais a gente vê que de novo nesse caso teremos que:
Então faremos só a decomposição pra e pra isso a gente pode usar a mesma figura da linha de cargas já que as posições são parecidas.
E com o valor de teremos:
E os
E aqui a gente pode retirar as constantes e deixar na integral apenas a carga, e aqui faremos com a integral o somatório de todas as cargas ao longo do anel.
Integrando todos os pedaços infinitesimais de cargas no anel, teremos a carga total no anel:
Portanto a expressão do campo vai ficar:
E se fosse pedida a densidade linear de carga , basta fazer:
Integrando os dois lados, sendo que o comprimento total vai ser o comprimento do anel temos:
Você também pode escrever a constante da seguinte forma:
O que daria:
Pra finalizar podem aparecer casos em que então o campo elétrico ficaria:
E o contrário também rola quando .
É isso, partiu exercícios?
Exercício Resolvido #1
Na figura abaixo, uma barra fina de vidro forma uma semicircunferência de raio .
Uma carga está distribuída uniformemente na metade superior da barra, e uma carga está distribuída uniformemente na metade inferior.
Determine:
- O módulo do campo elétrico no ponto , situado no centro do semicírculo.
- A orientação (em relação do semi-eixo positivo) do campo elétrico no ponto , situado no centro do semicírculo.
Passo 1
Nesse tipo de problemas, a malandragem é explorar, logo de cara, a simetria do problema.
Vou começar fazendo o seguinte: vou pegar dois pontos simétricos e ver qual seria o campo elétrico resultante no ponto , decompondo o campo elétrico em componentes e .
Tá vendo que as componentes em vão se anular e as componentes em vão se somar?
Então, o campo elétrico resultante vai ser algo do tipo:
Show de bola! Essa interpretação facilita a nossa vida porque não precisamos mais nos preocupar com uma componente horizontal desse campo elétrico.
A figura mostra também que os dois arcos produzem o mesmo campo elétrico na vertical. Assim, só precisamos calcular um deles.
Passo 2
A contribuição devido a um elemento de carga da haste superior é dada por:
Sabendo que a carga é distribuída uniformemente ao longo da haste, podemos dizer que:
Onde é a densidade linear de carga. Sabendo também que se trata de um arco, podemos dizer que , onde vai variar de a . Portanto:
Entretanto, como estamos interessados somente na componente vertical, vamos precisar decompor esse campo , assim como fizemos antes:
Portanto:
Agora sim, agora estamos falando a minha língua!
Pra calcular o campo elétrico resultante da haste superior, basta integrar isso aqui:
Sabendo que é a densidade linear de carga, podemos dizer que:
Substituindo de volta:
Eita! Eu sei, foi tenso... mas só falta um detalhe pra terminar, juro!
Passo 3
Acontece que calculamos somente o campo elétrico da parte positiva da haste. Mas como sabemos que o campo vertical produzido pela parte negativa vai ser igual, baste dizer que:
Logo:
Agora sim, acabou!
Ah! Caso você tenha usado ao invés de , o resultado que você vai encontrar vai ser
Relaxa, as duas respostas estão certas.
Agora só temos que substituir os valores!
Passo 4
Onde:
;
;
;
;
Logo:
Resposta
- O campo é vertical, apontando para baixo (sentido ).
Exercício Resolvido #2
Na figura abaixo, uma barra não condutora “semi-infinita” (ou seja, infinita apenas em um sentido) possui uma densidade linear de cargas uniforme .
Mostre que o campo elétrico no ponto faz um ângulo de com a barra e que esse resultado não depende da distância .
(Sugestão: Calcule separadamente as componentes de nas direções paralela e perpendicular à barra.)
Passo 1
Ok, vamos seguir a sugestão do problema!
Obs: Nesse tipo de problema, calcular as componentes separadamente é sempre o melhor caminho, então guarda isso contigo!
Pra fazer isso, vamos pegar um pedaço infinitesimal da barra com carga e calcular as componentes do campo elétrico gerado por ela ( e ) no ponto .
Olhando a figura, podemos dizer que
Sabemos ainda que:
Logo:
Nessas equações, tanto quanto quanto vão variar quando formos integrar, então precisamos deixar tudo em função de uma única variável.
Passo 2
Vamos lá! Temos que relacionar e . Como podemos fazer isso?
Bom, pela figura, podemos chegar que:
Substituindo esses resultados em nossas equações de e :
Passo 3
Último passo, galera!!
Agora, temos que integrar. Como queremos pegar a barra toda e ela é semi-infinita, vamos integrar com variando de a :
E o campo na direção fica
Percebemos, então que , independente do valor de . Logo, temos que o ângulo entre o campo e a barra é .
Resposta
Exercício Resolvido #3
A figura abaixo mostra dois anéis não condutores paralelos, com os centros sobre a mesma reta perpendicular aos planos dos anéis. O anel , de raio , possui uma carga uniforme ; O anel , também de raio , possui uma carga uniforme ; Os anéis estão separados por uma distância . O campo elétrico no ponto situado na reta que passa pelos centros dos anéis a uma distância do anel é zero. Determine a razão .
Passo 1
Primeiramente, vamos pensar em pedacinhos de carga opostos no anel e no campo elétrico que eles causam em um ponto no eixo do anel:
Esses pedacinhos de carga representados pelos pontos verde e roxo no anel geram dois vetores de campo elétrico. Vamos olhar esses dois vetores mais de perto:
Você percebe comigo que decompondo esses vetores na direção do raio do anel , eles terão o mesmo módulo e direções opostas, ou seja, se cancelam. Enquanto as componentes na direção da reta do ponto , como temos vetores na mesma direção, teremos a soma de seus módulos.
Dessa forma pela simetria do problema, que o campo elétrico resultante se encontra sobre o eixo que liga os centros dos dois anéis, que chamaremos de . Assim:
Passo 2
O campo resultante em deverá ser zero. Como cada um está de um lado diferente do ponto , a diferença entre os campos deverá ser nula:
Passo 3
A nossa estratégia aqui vai ser a seguinte: vamos começar calculando a contribuição infinitesimal de cada pedacinho dos anéis, em cada anel, na determinação do campo elétrico total. Começando pelo primeiro anel:
A distâncias é a distância de um ponto qualquer do primeiro anel ao ponto . Como podemos ver na figura abaixo:
Por ser um triângulo retângulo, sabemos que a distância é igual a:
Passo 4
Pela mesma figura, podemos projetar cada o campo no eixo de simetria , para encontrar :
Como sabemos que :
Substituindo :
Para encontrar o módulo do campo , vamos integrar:
Pronto, um campo elétrico já foi! Vamos repetir o processo para o outro anel!
Passo 5
Cada pedacinho infinitesimal de carga do anel 2 irá gerar uma parcela do campo elétrico no ponto igual a :
Onde é a distância entre o ponto e essa carga infinitesimal do anel:
Como :
Passo 6
Pela mesma figura, podemos projetar cada o campo no eixo de simetria .
Percebemos que é igual a: