Teoria Completa
Fala aí, nós somos o Responde Aí, e estamos aqui hoje para falarmos sobre o fluxo elétrico ou fluxo de campo elétrico.
Primeiro de tudo, precisamos entender o que é um fluxo. Vamos imaginar que temos uma região, na qual temos um vetor $\vec{V}$, e colocamos nessa região uma superfície plana de área $A$. O que vai acontecer é que o vetor $\vec{V}$ irá atravessar essa superfície, como nessa imagem:
O fato do vetor atravessar a superfície irá gerar um fluxo desse vetor sobre essa superfície.
Mas como calculamos esse fluxo?
A ideia é a seguinte: vamos decompor esse vetor em duas componentes, uma perpendicular à área $(V_x)$ e outra paralela ao plano $(V_y)$.
Note que a componente $V_y$ não atravessa de fato a superfície plana, pois ela é paralela a essa superfície, então, ela não contribui para o fluxo do vetor $\vec{V}$ nessa superfície. Então, apenas a componente $V_x$ será levada em consideração para calcular a área.
Percebe uma coisinha, quanto maior for a área, $A$, da superfície plana, maior quantidade da componente $V_x$ do vetor irá atravessar a superfície, então, podemos dizer que o fluxo é proporcional tanto a área quanto à componente $V_x$. Vamos representar o fluxo pela letra $Φ$ e escrever matematicamente como:
Podemos escrever a componente $V_x$ em função do módulo do vetor $V$, como:
Então, o fluxo pode ser escrito como:
Se nós definirmos um vetor área perpendicular à superfície e com módulo igual à área dessa superfície, a gente também pode calcular o fluxo usando um produto escalar entre o vetor área e o vetor $\vec {V}$:
E obtemos o mesmo resultado.
Fluxo Elétrico
Beleza, agora que sabemos o que é o fluxo e como calculá-lo podemos falar sobre o fluxo elétrico. Quando falamos de fluxo elétrico, estamos falando do vetor campo elétrico atravessando uma superfície, então, temos que no fluxo elétrico o vetor genérico $V$, que falamos lá no início, será o nosso vetor campo elétrico $(\vec{E})$.
Nós iremos representar o fluxo elétrico como: $Φ(\vec{E})$ ou $Φ_E$.
Só que no fluxo elétrico nós temos uma pequena complicação hahaha. A superfície que vamos considerar nem sempre é uma superfície plana, podemos ter superfícies de vários formatos. Então, para calcularmos o fluxo elétrico precisaremos calcular uma integral:
Agora vamos a algumas informações importantes:
1) Um campo elétrico paralelo à superfície não gera fluxo, pois o ângulo entre o vetor normal e o vetor campo elétrico é $90°$ e como cosseno de $90°$ é zero o produto escalar entre o vetor área e o vator campo será zero.
2) O fluxo elétrico gerado pelo campo é maior quanto mais próximo de 0° for o ângulo entre o vetor normal e o campo.
📢 ALERTA: Calcular o fluxo elétrico é super importante para a aplicação da Lei de Gauss, uma lei importantíssima dentro da eletricidade. Dá uma conferida nesse nosso tópico aqui: Lei de Gauss, nele você vai entender melhor como esse fluxo elétrico se relaciona com a Lei de Gauss.
E esse foi o nosso papo de hoje 😄
Exercício Resolvido #1
A superfície quadrada da figura tem de lado e está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo e com linhas de campo fazendo um ângulo de com a normal como mostra a figura.
Tome essa normal como “apontando para fora”, como se a superfície fosse a tampa de uma caixa. Calcule o fluxo elétrico através da superfície.
Passo 1
O fluxo elétrico pode ser calculado como o produto escalar entre o vetor campo elétrico e o vetor área:
Fica muito atento com a questão do ângulo! Olha essa figura aqui
é o ângulo que a direção do campo forma com a normal. Mas a gente precisa do ângulo entre os vetores! Ou seja, temos que colocar a nossa palma da mão em um deles e ir em busca do outro! Por isso o ângulo é .
Substituindo os valores fornecidos no enunciado:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Um campo elétrico dado por:
Atravessa um cubo com de aresta posicionado na forma demonstrada na figura. ( é dado em newtons por Coulomb e em metros). Determine o fluxo elétrico:
(a) através da face superior,
(b) através da face inferior,
(c) através da face da esquerda,
(d) através da face da traseira.
(e) Qual é o fluxo elétrico total através do cubo?
Passo 1
O fluxo do campo elétrico em uma superfície é dado por
Quando o campo é constante ao longo da superfície
Onde é o vetor normal à superfície e que tem módulo igual a área da superfície. Como é um cubo de lado , a área de cada face é . Assim, o módulo do vetor área vale 4. A direção e o sentido dele vão ser dadas de acordo com cada face. Acompanha aqui comigo.
Passo 2
Começando pela parte mais fácil, as faces de frente e de trás:
A normal dessas faces estão na direção . Assim o nosso fluxo pra esses dois caso vai ser\
Como o produto interno entre o campo e o vetor normal de ambas as faces vão ser zero, temos:
Passo 3
Agora vamos olhar pras faces da esquerda e da direita:
Pra face da esquerda a normal tá na direção , enquanto que pra face da direita a normal tá na direção . Assim
E
Passo 4
Agora na face de cima e na de baixo os vetores normais estarão nas direções
Na superfície de cima
E caraca.... sobrou um no final da conta! Pra sumir com ele basta substituir o seu valor! Na superfície de cima tem um valor constante que é . Assim
Já na superfície de baixo
O valor de nessa superfície é
Passo 5
Vamos interpretar o resultado. É verdade que a questão não pediu todos os fluxos, mas o legal de fazer isso é que vamos poder interpretar o problema. Representando os fluxos em uma tabela:
Podemos ver que a soma não dá zero. Isso significa, fisicamente, que existe alguma carga dentro do cubo ;)
Resposta
(a) através da face superior,
(b) através da face inferior,
(c) através da face da esquerda,
(d) através da face da traseira,
(e) Fluxo elétrico total através do cubo:
Exercício Resolvido #3
Um retângulo de situa-se no plano . Qual será o valor do fluxo elétrico através do retângulo se:
?
?
Passo 1
Para resolver essa questão, devemos lembrar da definição de fluxo elétrico, temos:
Antes de analisar cada campo, vamos primeiro determinar o vetor área desse retângulo, lembrando que o vetor área aponta na direção normal à área, por se tratar de um retângulo no plano , o vetor área será:
Veja que temos que passar de centímetros para metros!
Pronto, agora é só efetuar o produto escalar com cada campo par achar o fluxo, se liga!
Passo 2
Para , temos:
Nesse caso, o fluxo elétrico será nulo!
Passo 3
Para , temos:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Em todos os pontos da superfície do cubo da figura, o campo elétrico é paralelo ao eixo , O cubo tem de aresta. Na face superior do cubo, , na face inferior, . Determine a carga existente no interior do cubo.
Passo 1
O campo elétrico possui a direção do eixo . Então, o fluxo em todas as faces que não sejam nem a face de cima e nem a face inferior é nulo. Pois nas demais faces os campos elétricos são ortogonais aos vetores normais. Logo:
Passo 2
Então o nosso problema se resume a calcular o fluxo na parte de cima e na parte de baixo. Na parte superior o campo vale:
O vetor normal nessa face possui sentido oposto:
Então, o fluxo vale o produto entre a área e o campo com o sinal negativo:
Passo 3
Fazemos a mesma coisa na face de baixo, mas aí o valor do campo muda:
O vetor normal nessa face possui sentido oposto ao campo também:
Então, o fluxo vale o produto entre a área e o campo com o sinal negativo:
Passo 4
Calcular o fluxo total:
Passo 5
Aplicar a lei de Gauss:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Uma carga pontual de está no centro de uma superfície gaussiana cúbica de de aresta. Qual é o fluxo elétrico através da superfície?
Passo 1
É complicado calcular o fluxo elétrico em uma superfície cúbica.
Aqui a ideia é aplicar a lei de Gauss ao contrário: conhecendo a carga, podemos saber o fluxo e ele independe do formato da superfície gaussiana!
Então:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Numa região do espaço de interesse, existe um campo elétrico constante (uniforme e estacionário), na direção e sentido de . Nessa mesma região, temos uma superfície cúbica abstrata, que encerra uma partícula (pontual) de carga localizada no seu centro. Três das faces do cubo estão assinaladas na figura: as faces e são paralelas ao plano , ao passo que a face é paralela ao plano . Em relação ao fluxo (, , ) do campo elétrico através de cada uma dessas faces (com orientação do vetor normal para fora, como usual), qual das alternativas abaixo é a correta?
Passo 1
Como o fluxo de campo elétrico é dado pela seguinte fórmula:
Podemos ver que, quando o vetor aponta no mesmo sentido do campo temos fluxo positivo, ao passo que temos fluxo negativo quando eles apontam em sentidos opostos.
Passo 2
Portanto em função disto temos que a carga faz fluxo positivo em todas as três superfícies e com a mesma intensidade, por conta da simetria.
Já o campo externo tem um fluxo que depende da superfície. O vetor área da superfície é perpendicular à ele, portanto o fluxo é zero.
Passo 3
Na superfície ele é negativo, pois tem sentidos opostos:
Passo 4
E na superfície ele é positivo, por terem mesmos sentidos:
Portanto, como os fluxos de são todos iguais e positivos, podemos afirmar seguramente que:
Resposta
Letra e
Exercício Resolvido #7
O campo elétrico em uma das faces de um paralelepípedo é uniforme em todos os pontos dessa face e aponta perpendicularmente para fora da face. Na face oposta, o campo elétrico também é uniforme em todos os pontos e aponta perpendicularmente para dentro da face, como mostra a Figura abaixo. As duas faces mencionadas possuem uma inclinação de em relação à horizontal, enquanto e são, ambos, horizontais; o módulo de é igual a e o módulo de é igual a .
- Supondo que nenhuma outra linha de campo atravesse as superfícies do paralelepípedo, determine a carga líquida contida em seu interior.
- O campo elétrico existente é produzido somente pelas cargas no interior do paralelepípedo ou pode ser produzido também por cargas existentes fora dele? Como se pode ter certeza disso?
Passo 1
a) Sabemos, pela lei de Gauss, que o fluxo total do campo elétrico no vácuo é dado por
em que é a carga líquida no interior da superfície fechada .
Para gente matar essa questão, dá uma olhada na Figura acima, que representa a situação dada no exercício, mas desenhada de perfil. Blz? Assim facilita para a gente ver os ângulos entre os vetores e em cada face.
Seguindo de perto a Figura acima, repara que os vetores e têm o mesmo módulo, porque as duas faces têm mesma área, e ambos apontam perpendicularmente às respectivas faces, tranquilo??
Agora, como o campo elétrico em cada uma das faces é uniforme, ou seja, tem o mesmo valor em todos os pontos sobre a área de cada face, então, o fluxo para a face pode ser escrito como
e para a face
Lá da lei de Gauss, a gente pode escrever a carga líquida dentro do paralelepípedo como
Como e , a gente pode simplificar a expressão acima para
Jogando os valores dados no enunciado, chegamos a
o que mostra para a gente que a carga dentro do paralelepípedo é negativa. Por isso, parte das linhas de campo que vão para dentro dele terminam na carga . O restante das linhas vai para fora dele.
Passo 2
b) Ainda que tenha carga dentro, existe um campo elétrico que sai do paralelepípedo, o que significa que este campo vai terminar em alguma carga fora do paralelepípedo. Além disso, o campo é produzido por cargas do lado de fora do paralelepípedo.
O importante aqui é o seguinte: embora apenas a dentro da superfície fechada contribua para o fluxo elétrico através da superfície fechada do paralelepípedo, as cargas que estão fora continuam contribuindo para o campo elétrico na superfície fechada . Essa diferença é muito importante!!
Cargas elétricas fora da superfície fechada S produzem campo elétrico sobre essa superfície S, porém não contribuem para o fluxo elétrico total.
Resposta
- Cargas fora do paralelepípedo (que é a superfície fechada neste exercício!) contribuem para o campo sobre o paralelepípedo, mas não para o fluxo elétrico total !!
Exercício Resolvido #8
Uma carga puntiforme () está no centro de uma esfera imaginária que tem raio igual a .
- Determine a área da superfície da esfera.
- Determine a magnitude do campo elétrico em todos os pontos na superfície da esfera.
- Qual é o fluxo do campo elétrico através da superfície da esfera?
- A sua resposta para o item c) mudaria se a carga puntiforme fosse deslocada de forma a permanecer dentro da esfera, mas não no centro dela?
- Qual é o fluxo do campo elétrico através da superfície de um cubo imaginário que tem aresta de de comprimento e que engloba a esfera?
Passo 1
a) A área da superfície de uma esfera é , em que é o raio dessa esfera. Nesse caso, com os valores que são dados no exercício, a gente tem que
Passo 2
b) Como temos uma carga no interior da esfera, a lei de Coulomb mostra que o valor do campo que a carga gera é
Passo 3
c) Como o vetor campo elétrico tem o mesmo módulo em todos os pontos à distância