Fluxo de Campo Elétrico

Teoria Completa

Vimos que, pela Lei de Gauss:

Φ e E → = Q i n t ϵ 0

Mas afinal o que é o Φ e ? Como faremos pra calcular esse tal de fluxo elétrico gerado pelo campo?

É o que vamos ver a seguir!

Cálculo de um fluxo

Imagina que queremos o fluxo do vetor qualquer V → na superfície de área A da figura.

A ideia é a seguinte: vamos decompor esse vetor em duas componentes, uma perpendicular à área ( V X ) e outra paralela ao plano ( V Y ) .

A componente V y não influencia em nada para que o fluxo de V atravesse o plano. Logo, apenas a componente V X , perpendicular ao plano tomado, deverá ser utilizado no cálculo do fluxo.

Em todos os pontinhos da superfície existe um vetor igual a V X atravessando a área. Quanto maior for a área, mais setinhas estarão cruzando esse plano, logo, maior será o fluxo elétrico.

Então o fluxo depende de V X e da área A e aumenta conforme cada um desses números aumenta. Por isso, o fluxo será igual ao produto entre essas duas grandezas:

Φ = A . V X = A . V . c o s ⁡ ( θ )

Se a gente imaginar um vetor área, perpendicular à superfície e com módulo igual à área dessa superfície, a gente também pode calcular o fluxo usando um produto escalar:

Φ = A → ∙ V → = A . V . c o s ⁡ ( θ )

Fazendo isso, a gente encontra o mesmo número que encontramos quando usamos o raciocínio anterior! :)

Fluxo elétrico

Em questões de eletricidade, quem vai fazer o papel de vetor V → é o vetor campo elétrico E → . Só que, geralmente, o campo elétrico não é o mesmo em todos os pontos do plano da figura.

Por isso, fica difícil calcular o fluxo total sem antes saber como calcular um componente pequeno, infinitesimal, de fluxo.

Nesse caso, devemos pegar uma superfície bem pequena, com uma área infinitesimal d A e calcular o fluxo que atravessa ela:

d Φ E = d A → ⦁ E →

Agora, basta integrar esse fluxo elétrico infinitesimal d Φ E ao longo de toda superfície. Com isso, podemos achar o fluxo total:

Φ E = ∫ S d Φ E = ∫ S d A → ⦁ E →  

E é desse jeitinho que vamos calcular o fluxo na equação da Lei de Gauss. A diferença é que, agora, a superfície que vamos usar para a integração é a superfície gaussiana, se liga:

∮ G d Φ E = ∮ G d A → ⦁ E →  

Onde podemos escrever o vetor infinitesimal de área d A → em função de um vetor unitário n ^ , perpendicular ao pedacinho infinitesimal da superfície de área d A .

d A → = n ^ . d A

Dessa forma, podemos escrever que o fluxo elétrico é dado por:

Φ E → = ∮ G n ^ ⦁ E → . d A

Assim, podemos pensar que:

  • Um campo elétrico paralelo à superfície gaussiana não gera fluxo (nesse caso, o ângulo entre o vetor normal à superfície e o campo elétrico é de 90 graus e o cosseno é zero)
  • O fluxo gerado pelo campo é maior quanto mais próximo de 0 ° for o ângulo entre o vetor normal e o campo.

A Lei de Gauss somente é válida para superfícies fechadas e tem a seguinte forma matemática:

Φ e E → = ∮ G n ^ . E → . d A = Q i n t ϵ 0

Onde Q i n t é o somatório de todas as cargas interiores à superfície gaussiana:

Q i n t = Q 1 + Q 2 + Q 3 + …

A superfície gaussiana deve ser fechada, mas nada impede que alguma questão peça o fluxo em uma determinada superfície aberta, ok?

Com isso, já estamos prontos para matar as questões sobre fluxo elétrico ;)

E é isso! #PartiuPassar galera!

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 68-1.

A superfície quadrada da figura tem 3,2 m m de lado e está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E = 1800 N C e com linhas de campo fazendo um ângulo de 35 º com a normal como mostra a figura.

Tome essa normal como “apontando para fora”, como se a superfície fosse a tampa de uma caixa. Calcule o fluxo elétrico através da superfície.

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Passo 1

O fluxo elétrico pode ser calculado como o produto escalar entre o vetor campo elétrico e o vetor área:

Φ e = E → . A → = E . A . c o s ⁡ ( 180 - θ )

Fica muito atento com a questão do ângulo! Olha essa figura aqui

θ é o ângulo que a direção do campo forma com a normal. Mas a gente precisa do ângulo entre os vetores! Ou seja, temos que colocar a nossa palma da mão em um deles e ir em busca do outro! Por isso o ângulo é 180 - θ .

Substituindo os valores fornecidos no enunciado:

E . A . cos ⁡ θ = 1800 N C . 3,2.10 - 3 m 2 . cos ⁡ 145 º = 1800 N C . 3,2.10 - 3 m 2 . - 0,82 = - 0,015 N . m 2 C

Resposta

Φ e = - 0,015 N . m 2 C

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 69-2.

Um campo elétrico dado por:

E → = 4 . i ^ - 3 . y 2 + 2 j ^

Atravessa um cubo com 2 m de aresta posicionado na forma demonstrada na figura. ( E é dado em newtons por Coulomb e x em metros). Determine o fluxo elétrico:

(a) através da face superior,

(b) através da face inferior,

(c) através da face da esquerda,

(d) através da face da traseira.

(e) Qual é o fluxo elétrico total através do cubo?

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Passo 1

O fluxo do campo elétrico em uma superfície é dado por

Φ = ∫ E → ⋅ d A →

Quando o campo é constante ao longo da superfície

Φ = E → ⋅ A →

Onde A → é o vetor normal à superfície e que tem módulo igual a área da superfície. Como é um cubo de lado 2 m , a área de cada face é 4 m 2 . Assim, o módulo do vetor área vale 4. A direção e o sentido dele vão ser dadas de acordo com cada face. Acompanha aqui comigo.

Passo 2

Começando pela parte mais fácil, as faces de frente e de trás:

A normal dessas faces estão na direção ± k ^ . Assim o nosso fluxo pra esses dois caso vai ser\

Φ = E → ⋅ A →

Φ = 4 . i ^ - 3 . y 2 + 2 j ^ ⋅ ± 4 k ^

Como o produto interno entre o campo e o vetor normal de ambas as faces vão ser zero, temos:

Φ F R E N T E = Φ A T R A S = 0

Passo 3

Agora vamos olhar pras faces da esquerda e da direita:

Pra face da esquerda a normal tá na direção - i ^ , enquanto que pra face da direita a normal tá na direção i ^ . Assim

Φ E S Q U E R D A = 4 . i ^ - 3 . y 2 + 2 j ^ ⋅ - 4 i ^ = - 16   m 2 N / C

E

Φ D I R E I T A = 4 . i ^ - 3 . y 2 + 2 j ^ ⋅ 4 i ^ = 16   m 2 N / C

Passo 4

Agora na face de cima e na de baixo os vetores normais estarão nas direções ± j ^

Na superfície de cima

Φ C I M A = 4 . i ^ - 3 . y 2 + 2 j ^ ⋅ 4 j ^ = - 12 ( y 2 + 2 )

E caraca.... sobrou um y no final da conta! Pra sumir com ele basta substituir o seu valor! Na superfície de cima y tem um valor constante que é 2 . Assim

Φ C I M A = - 12 y 2 + 2 = - 12 2 2 + 2

Φ C I M A = - 72   m 2 N / C

Já na superfície de baixo

Φ B A I X O = 4 . i ^ - 3 . y 2 + 2 j ^ ⋅ - 4 j ^ = 12 ( y 2 + 2 )

O valor de y nessa superfície é 0

Φ B A I X O = 12 y 2 + 2 = 12 0 2 + 2

Φ B A I X O = 24   m 2 N / C

Passo 5

Vamos interpretar o resultado. É verdade que a questão não pediu todos os fluxos, mas o legal de fazer isso é que vamos poder interpretar o problema. Representando os fluxos em uma tabela:

Podemos ver que a soma não dá zero. Isso significa, fisicamente, que existe alguma carga dentro do cubo ;)

Resposta

(a) através da face superior, - 72 N . m 2 C