Lei de Gauss – Simetrias

Teoria Completa

Introdução

A Lei de Gauss já nos disse que o fluxo do campo em uma superfície fechada ao redor de uma região é igual à razão entre a carga interna e a constante ϵ 0 .

Φ e = ∮ G E → . d A = Q i n t ϵ 0

Até aí, tudo bonito! Mas e se eu precisar calcular o campo elétrico numa distância r do meu condutor, será possível? Se liga nesse condutor esférico aí de raio R e vamos responder essa pergunta calculando o campo elétrico pra ele.

A primeira coisa que temos que entender é que isso passa diretamente pela escolha superfície gaussiana que vamos utilizar.

Dessa forma, vamos buscar superfícies gaussianas que obedeçam a duas regrinhas:

  • O campo deve ser ortogonal a todos os pontos da superfície;
  • O módulo do campo que atravessa a superfície deve ser igual em todos os pontos da mesma (ou quase todos, no caso de corpos infinitos).

“Mas por quê?!”

Porque quando isso acontece, pela primeira regrinha, os vetores d A →   e E → serão paralelos, o que simplifica o produto escalar da fórmula:

E, pela segunda regrinha, se o módulo do campo elétrico é constante, podemos tirá-lo da integral de superfície, se liga:

Φ e E → = ∮ G E → ⋅ d A → = E ∮ G d A c o s ⁡ ( 0 ) = E . A G

E = Φ e A G = Q i n t ϵ 0 A G

E enfim o campo vai ficar em função da área da superfície gaussiana 4 π r ² :

E = Q i n t ϵ 0 4 π r 2

Onde r é o raio da gaussiana.

No final das contas, o seu problema se reduz ao cálculo de uma área: uma esfera, um cilindro ou um plano e a gaussiana escolhida será sempre parecida com o objeto, exceto no caso do plano que a gaussiana será um paralelepípedo.

Vamos ver aqui cada caso.

Simetria Esférica em Esfera Maciça

O que temos aqui é uma esfera maciça de raio R e com uma densidade volumétrica ρ constante (ou seja, carga uniformemente distribuída na esfera).

O nosso objetivo é calcular o campo elétrico dentro (gaussiana azul) e fora (gaussiana verde) da esfera, como indicado na figura:

A simetria esférica também é chamada de simetria radial.

Aplicando as gaussianas que são superfícies esféricas pra esse objeto, como na figura acima, estamos obedecendo as duas regrinhas que estipulamos agora a pouco. Como já calculamos lá em cima, o campo elétrico da esfera é dado por:

E = Q i n t ϵ 0 A e s f = Q i n t ϵ 0 . 4 π r 2

Onde r corresponde ao raio da gaussiana. Vamos agora calcular a carga interna na gaussiana para as duas regiões que estamos interessados. A partir disso poderemos substituir esse valor na equação do campo elétrico e encontrar esse campo para parte de dentro da esfera r 1 ≤ R e para a parte de fora r 2 ≥ R .

  • Gaussiana azul r 1 ≤ R :
  • Essa gaussiana engloba apenas parte da esfera carregada, então vamos usar a densidade volumétrica de carga.

    ρ = Q i n t V i n t

    Isolando a Q i n t e substituindo o volume da esfera temos:

    Q i n t = ρ . 4 π r 1 3 3

    Substituindo isso na expressão do campo elétrico, teremos:

    E 1 = ρ . 4 π r 1 3 3 . 1 ϵ 0 . 4 π r 1 2

    E 1 = 1 3 . ρ ϵ 0 . r 1

  • Gaussiana verde r 2 ≥ R :
  • Nesse caso, a gaussiana engloba toda a esfera carregada. Dessa forma, a carga interna será:

    Q i n t = ρ . 4 π R 3 3

    Onde 4 π R 3 3 corresponde ao volume da esfera carregada.

    Substituindo isso na expressão do campo elétrico, teremos:

    E 2 = ρ . 4 π R 3 3 . 1 ϵ 0 . 4 π r 2 2

    E 2 = 1 3 . ρ ϵ 0 . R 3 r 2 2

    Muitas questões pedem para esboçar um gráfico do campo elétrico em função do raio r da gaussiana escolhida. Gostam muito de cobrar isso em prova porque o gráfico gerado tem duas partes: a parte ligada à gaussiana azul e a parte ligada à gaussiana de fora da esfera.

    Beleza! Agora vamos dar uma olhada no caso da casca esférica uniformemente carregada.

    Simetria Esférica em Casca Uniformemente Carregada

    Agora nós temos uma casca esférica de raio interno R 1 , raio externo R 2 e com uma densidade volumétrica ρ constante (ou seja, carga uniformemente distribuída na esfera).

    O nosso objetivo é calcular o campo elétrico na cavidade (gaussiana azul), dentro (gaussiana verde) e fora (gaussiana vermelha) da esfera, como indicado na figura:

    Ao aplicar gaussianas esféricas, teremos o mesmo caso que o anterior. Dessa forma, podemos escrever o campo elétrico da seguinte forma:

    E = Q i n t ϵ 0 A e s f = Q i n t ϵ 0 . 4 π r 2

    Onde r corresponde ao raio da gaussiana.

    Feito isso, vamos agora calcular a carga interna para as duas regiões que estamos interessados.

  • Gaussiana azul r 1 ≤ R 1 :
  • Nesse caso, a gaussiana não engloba nenhuma parte da casca esférica carregada. Sendo assim, a carga interna será nula. Logo:

    Q i n t = 0

    E 1 = 0

    Sem mistério até aqui, certo?

  • Gaussiana verde R 1 ≤ r 2 ≤ R 2 :
  • Agora a gaussiana engloba somente parte da nossa casca esférica carregada. Então, novamente, vamos utilizar a densidade volumétrica de carga associada ao volume englobado.

    Sendo assim:

    Q i n t = ρ . 4 π 3 . r 2 3 - R 1 3

    Substituindo na expressão do campo elétrico:

    E 2 = ρ . 4 π 3 . r 2 3 - R 1 3 . 1 ϵ 0 . 4 π r 2 2

    E 2 = 1 3 . ρ ϵ 0 . r 2 3 - R 1 3 r 2 2

  • Gaussiana vermelha r 3 ≥ R 2 :
  • Finalmente, nesse caso a gaussiana engloba toda a casca esférica. Dessa forma, a carga interna será a carga total do corpo, logo:

    Q i n t = ρ . 4 π 3 . R 2 3 - R 1 3

    Finalmente, o campo elétrico será:

    E 3 = 1 3 . ρ ϵ 0 . R 2 3 - R 1 3 r 3 2

    Simetria Cilíndrica

    Quando a gente tem fios de uma dimensão ou cilindros infinitos, nós usamos uma superfície gaussiana cilíndrica ao redor do objeto carregado.

    Pela simetria cilíndrica, o campo elétrico gerado em cada ponto da gaussiana é igual e aponta para fora da superfície lateral do cilindro, conforme podemos ver na figura abaixo:

    Além disso, o campo elétrico é, em todas as posições, orientado no mesmo sentido que o vetor área d A → . Isso apenas não ocorre nas faces laterais dos cilindros, nelas o vetor d A → é perpendicular ao vetor E → , portanto não há fluxo.

    Φ E = E → ⋅ d A → = E d A c o s 90 = 0

    Portanto, a área que levamos em consideração na hora de calcular o módulo do campo elétrico deve ser somente a superfície lateral do cilindro.

    Assim:

    E = Q i n t ϵ 0 A l a t = Q i n t ϵ 0 . 2 π r L

    Onde L corresponde ao comprimento da gaussiana cilíndrica.

    Para calcular carga Q i n t no interior da gaussiana basta saber como essa carga está distribuída no corpo cilíndrico. Vamos trabalhar então com duas possiblidades: densidade de carga volumétrica constante ρ e densidade de carga linear constante λ .

  • Densidade de carga volumétrica constante ρ :
  • ρ = Q i n t V i n t = Q i n t 2 π R 2 L

    Nesse caso, a carga está uniformemente distribuída em todo o volume sendo assim:

    Q i n t = ρ . π R 2 L

    Substituindo na expressão do campo elétrico, teremos:

    E = ρ . π R 2 L . 1 ϵ 0 . 2 π r L

    E = 1 2 . ρ ϵ 0 . R 2 r

  • Densidade de carga linear constante λ :

Se tivéssemos um fio com densidade linear λ de cargas constante, teríamos basicamente a mesma coisa. A carga interior Q i n t , porém, seria expressa de outra forma:

λ = d q d l = Q L

Assim, teríamos a seguinte expressão para o campo elétrico:

E = λ L . 1 ϵ 0 . 2 π r L

E = λ 2 π ϵ 0 r

Se o fio fosse um condutor, as cargas se distribuiriam na superfície e aí deveríamos falar de densidade superficial de cargas, mas o problema seria parecido.

Mais uma coisa:se a densidade de cargas não for constante, devemos integrar para descobrir as cargas internas.

Simetria Planar

A ideia agora é a seguinte: imaginemos uma placa infinita, fina, carregada com densidade superficial σ constante (ou seja, carga uniformemente distribuída na placa).

Queremos calcular o campo elétrico a uma distância Z da placa. Para isso, escolhemos um paralelepípedo como gaussiana para nos ajudar, como podemos ver abaixo:

Repare que só temos fluxo de campo elétrico nas faces superior e inferior do paralelepípedo que escolhemos como gaussiana.

Nas laterais, o campo elétrico faz um ângulo de 90 ° com o vetor normal (o vetor campo elétrico é paralelo às faces laterais), o que faz com que o fluxo seja nulo. Podemos visualizar isso no esquema abaixo:

Ainda, o fluxo do campo elétrico é o mesmo nas superfícies superior e inferior:

Φ s u p = Φ i n f = E . A

Onde a área A é dada por:

A = Δ X . Δ Y

No entanto, como o campo elétrico atravessa as faces superior e inferior, a área total que devemos considerar será a soma das áreas dessas duas faces:

A t o t a l = A s u p + A i n f = 2 . A

Substituindo na expressão do campo elétrico, teremos que:

E = Q i n t ϵ 0 . A t o t a l = Q i n t ϵ 0 . 2 . A

Estamos quase lá!

Quando trabalhamos com planos carregados, é muito comum utilizarmos o conceito de densidade superficial de cargas σ . Nesse caso (e na maioria dos problemas), como a carga está uniformemente distribuída, podemos escrever que:

σ = Q i n t A

Finalmente:

E = σ 2 ϵ 0

No final das contas, o campo elétrico não depende da distância Z .

Pra fechar, podemos agora calcular o campo elétrico de um capacitor formado por duas placas infinitas paralelas, uma carregada positivamente e outra negativamente.

Sabemos o campo elétrico gerado por uma placa plana, certo? Agora basta então somarmos os campos gerados por cada uma das placas.