Lei de Gauss simetria

Teoria Completa

Fala aí, nós somos o Responde Aí, a solução para a sua faculdade fluir mais leve e não ter todo aquele sofrimento com as matérias hahaha. Estamos aqui hoje para falar um pouco sobre as simetrias dentro da Lei de Gauss, show?

A Lei de Gauss já nos disse que o fluxo do campo em uma superfície fechada ao redor de uma região é igual à razão entre a carga interna e a constante $ϵ_0$.

$$Φ_e=\oint _{G}\vec{E}~.~\vec{dA}=\frac{Q_{int}}{ϵ_0}$$

Essa lei é válida para qualquer situação, sendo o campo elétrico uniforme ou não, e para qualquer superfície fechada chamada de gaussiana. Entretanto, para que ela possa ser útil e seja possível calcular o campo elétrico a partir dela é necessário que se busque simetrias para que a equação possa ser simplificada e seja possível encontrar o campo através de contas manuais.

Para encontrar essas simetrias, vamos seguir duas regrinhas:

  • O campo elétrico deve ser ortogonal a todos os pontos da superfície gaussiana;

Se o campo elétrico é ortogonal a todos os pontos da superfície gaussiana, nós temos que o vetor $\vec{E}$ e o vetor $\vec{dA}$ serão paralelos e assim o produtos escalar deles será igual a multiplicação dos módulos apenas:

$$\oint _{G}\vec{E}~.~\vec{dA}=\oint _{G}EdA=\frac{Q_{int}}{ϵ_0}$$

  • O módulo do campo elétrico deve ser igual em todos os pontos da superfície gaussiana

Se o módulo do campo elétrico é igual em todos os pontos da gaussiana, nós podemos tirá-lo da integral:

$$\oint _{G}EdA= E\oint_{G}dA=\frac{Q_{int}}{ϵ_0}$$

Assim, ficamos apenas com a integral de $dA$ sobre a gaussiana, que tem como resultado a area da gaussiana, $A_G$:

$$E\oint_{G}dA=EA_G=\frac{Q_{int}}{ϵ_0}$$

E assim podemos isolar $E$ e conseguimos encontrar uma fórmula explícita para o módulo do campo elétrico:

$$E=\frac{Q_{int}}{ϵ_0A_G}$$

Ficou muito muito mais simples, não é mesmo?

Mas a grande questão é: Como vamos conseguir que essas duas regrinhas sejam satisfeitas para facilitar a nossa vida? O grande segredo está na escolha da superfície gaussiana. Vamos escolher a gaussiana sempre parecida com o objeto que está carregado e gerando o campo, porque desse modo a gente se utiliza da simetria do próprio objeto. Por exemplo, se temos uma esfera carregada, escolheremos uma superfície gaussiana esférica, se temos um cilindro carregado gerando campo, vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica, sacou?

Pensando nisso, existem três simetrias:

  • Simetria Esférica;
  • Simetria Cilíndrica, e;
  • Simetria Planar

Vamos falar rapidamente de cada uma delas.

Simetria Esférica

Essa simetria é utilizada quando temos uma carga puntiforme ou uma distribuição esférica de cargas gerando o campo elétrico. Nela escolhemos uma superfície gaussiana esférica e isso faz com que as nossas regrinhas sejam satisfeitas:

Assim, para calcularmos o módulo de campo elétrico, precisamos apenas saber a carga total que está no interior da gaussiana e a área da superfície esférica, que nós sabemos calcular porque é uma esfera:

$$A_G=4\pi r^2$$
$$Então:~~~~~~~~E=\frac{Q_{int}}{ϵ_04\pi r^2}$$

Simetria Cilíndrica

Essa é utilizada quando temos fios de uma dimensão ou cilindros infinitos gerando o campo elétrico e nós usamos uma superfície gaussiana cilíndrica ao redor do objeto carregado para que, novamente, as nossas regrinhas sejam satisfeitas:

E novamente, precisaremos apenas calcular a área da superfície gaussiana, que será a área lateral do cilindro:

$$A_G=2\pi r~~, ~~~~sendo~L~o~comprimento~da~superfície~gaussiana~cilíndrica$$
$$Então:~~~~~~~~E=\frac{Q_{int}}{ϵ_02\pi rL}$$

Simetria Planar

Essa simetria é utilizada quando temos um plano infinito carregado gerando o campo elétrico e usamos uma superfície gaussiana no formato de um paralelepípedo. Assim, as duas regrinhas são atendidas:

Nesse caso, a área que teremos que utilizar é apenas a área superior e inferior do paralelepípedo, porque apenas por essas áreas tem fluxo de campo elétrico. A área inferior e superior do nosso paralelepípedo são iguais e valem $A$:

$$A_G=A_{sup}+A_{inf}=A+A=2A$$
$$Então:~~~~~~~~E=\frac{Q_{int}}{ϵ_02A}$$

Viu como essas simetrias facilitam demais demais a nossa vida? Então, guarda elas no coração porque com toda certeza você vai precisar delas na prova, estamos combinados?

Vídeo

Você pode ver esse conteúdo em vídeo também. O vídeo é bem rapidinho e bem esclarecedor assim como todos os vídeos do Responde Aí. Dá uma conferida aqui 👇🏾

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Encontre o vetor campo elétrico de uma carga pontual q à uma distância r dela.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como sabemos que a configuração do campo de uma carga pontual é radial e esférico, escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário r , centrada na carga pontual. Pela lei de Gauss:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Sabemos que a carga interna à gaussiana é a carga q , portanto:

Q i n t = q

∯ G   E → ∙ d A → = q ϵ 0

Passo 2

Por termos escolhido uma Gaussiana esférica, o vetor campo e o vetor d A → são paralelos em toda a G , portanto:

E → ∙ d A → = E   d A

Segue que:

∯ G   E   d A = q ϵ 0

Passo 3

Pela configuração do campo, temos que o módulo dele é constante em toda G , portanto podemos tirá-lo da integral:

∯ G   E   d A = E ∯ G   d A

Como essa integral é a área da Gaussiana:

∯ G   d A = Á r e a G

Temos que:

∯ G   d A = 4 π r 2

Pois se trata da superfície de uma esfera de raio arbitrário r . Portanto:

E 4 π r 2 = q ϵ 0

Isolando:

E = q 4 π ϵ 0 r 2

Passo 4

Encontramos o valor do módulo do campo. Para achar o vetor, basta multiplicar por r ^ (r chapéu) que é o vetor unitário radial, pois já sabíamos que o campo era radial pra começo de conversa. Segue que:

E → = q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Resposta

E → = q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Calcule a expressão para o vetor campo elétrico na região dentro de uma esfera carregada com densidade volumétrica de carga ρ :

ρ r = r 2

A esfera tem raio R .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que o campo de uma esfera carregada tem configuração radial e simetria esférica, portanto escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário r . Portanto enunciamos a lei de Gauss:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Sabemos que a carga interna à Gaussiana neste caso é somente a carga total da esfera. Portanto vamos descobrir essa grandeza. Utilizando a expressão da densidade volumar:

ρ r = d q d V

Onde d V é uma unidade infinitesimal de volume. Isolando a quantidade infinitesimal de carga e integrando em toda a Gaussiana somente (pois é dentro dela que queremos achar a carga):

d q = ρ r d V

Q i n t = ∫ 0 r ρ r ' d V

*Só um lembrete bobo. Repare que eu pus uma apóstrofe no r dentro da integral. Sempre que a variável do limite de integração for a mesma do integrando, mude uma das duas. Agora não é hora de perguntar o porquê, só decore isso (não que vá acarretar numa perda de muitos pontos, mas vale à pena comentar).

Passo 2

Sabemos que, como já vimos anteriormente:

V = 4 3 π r 3 → d V = 4 π r 2 d r

Substituindo e integrando (lembrando de mudar a variável r → r ' na integral):

Q i n t = ∫ 0 r r ' 2 4 π r ' 2 d r '

Q i n t = 4 π ∫ 0 r r ' 4 d r '

Q i n t = 4 π r 5 5

Passo 3

Por conta da forma da Gaussiana escolhida e da configuração do campo, temos que o vetor de campo E → e o vetor normal d A → são paralelos em toda G , portanto:

E → ∙ d A → = E   d A

Segue que:

∯ G   E → ∙ d A → = ∯ G   E   d A

Passo 4

Também pela configuração do campo, sabemos que o seu módulo é constante em toda G :

E → = c t e

Portanto podemos tirá-lo da integral:

∯ G   E   d A = E ∯ G   d A

A integral de d A em toda G é a área dela, portanto, como se trata da superfície de uma esfera de raio r , temos: ∯ G   d A = 4 π r 2

Segue que:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

Isolando:

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Substituindo e multiplicando pelo vetor unitário radial:

E → = 4 π r 5 5 × 1 4 π ϵ 0 r 2 r ^

E → = r 3 5 ϵ 0 r ^

Resposta

E → = r 3 5 ϵ 0 r ^

r < R

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Calcule a expressão para o vetor campo elétrico na região fora de uma esfera carregada com densidade volumétrica de carga ρ :

ρ r = k r 2

Onde r é a distância de um ponto até a origem e 0 < r ≤ R .

A esfera tem raio R e k é uma constante.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que o campo de uma esfera carregada tem configuração radial e simetria esférica, portanto escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário r . Portanto enunciamos a lei de Gauss:

∯ G   E → ∙ d A → = Q int ϵ 0

Sabemos que a carga interna à Gaussiana neste caso é somente a carga total da esfera. Portanto vamos descobrir essa grandeza. Utilizando a expressão da densidade volumétrica:

ρ r = d q d V

Onde d V é uma unidade infinitesimal de volume. Isolando a quantidade infinitesimal de carga e integrando em toda esfera:

d q = ρ r d V

Q total = ∫ 0 R ρ r d V

Passo 2

Beleza, a expressão para a densidade nós temos, pois é um dado. Agora esse d V fica meio solto. Recordemos do capítulo de densidade de cargas como fazer: como estamos tratando de coordenadas esféricas, supomos o volume arbitrário como sendo uma esfera de raio qualquer r . Seu volume é:

V = 4 3 π r 3

Logo, derivando:

d V = 4 π r 2 d r

Substituindo e integrando:

Q total = ∫ 0 R k r 2 ( 4 π r 2 d r )

Q total = 4 k π ∫ 0 R r 4 d r

Q total = 4 k π R 5 5

Passo 3

Por conta da forma da Gaussiana escolhida e da configuração do campo, temos que o vetor de campo E → e o vetor normal d A → são paralelos em toda G , portanto:

E → ∙ d A → = E   d A

Segue que:

∯ G   E → ∙ d A → = ∯ G   E   d A

Passo 4

Também pela configuração do campo, sabemos que o seu módulo é constante em toda G :

E → = c t e

Portanto podemos tirá-lo da integral:

∯ G   E   d A = E ∯ G   d A

A integral de d A em toda G é a área dela, portanto, como se trata da superfície de uma esfera de raio r , temos: ∯ G   d A = 4 π r 2

Segue que:

E 4 π r 2 = Q total ϵ 0

Isolando:

E = Q total 4 π ϵ 0 r 2

Passo 5

Substituindo tudo:

E = 4 k π R 5 5 × 1 4 π ϵ 0 r 2

E = k R 5 5 ϵ 0 r 2

O vetor é, portanto:

E → = k R 5 5 ϵ 0 r 2 r ^ ,       r ≥ R

Resposta

E → = k R 5 5 ϵ 0 r 2 r ^

r ≥ R

Exercício Resolvido #4

UNICAMP-P1-2011-1DI-3- letras a, b

Um fio finito muito longo de comprimento L e carregado com uma carga - Q está no eixo de um cano cilíndrico condutor descarregado de raio interno a , raio externo b e mesmo comprimento L .

a ) Que cargas aparecem nas superfícies interna e externa do cano?

b ) Utilize a Lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico E → r para r < a , a < r < b e r > b ;

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) Que cargas aparecem nas superfícies interna e externa do cano?

O que acontece aqui é que, quando colocamos o fio com carga - Q no interior do cano cilíndrico, o fio atrai as cargas positivas do cano para a superfície interna e repele as cargas negativas do cano para a superfície externa.

No equilíbrio eletrostático, a carga da superfície interna deve ser, necessariamente:

Q s . i n t = - - Q

Q s . i n t = + Q

Entretanto, o cano deve manter a sua carga inicial, que nesse caso é zero (já que está descarregado).

Assim, a soma das cargas da superfície interna e da superfície externa deve ser igual a zero. Logo:

Q s . i n t + Q s . e x t = 0

Q s . e x t = - Q s . i n t

Q s . e x t = - Q

Passo 2

b) Utilize a Lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico E → r para r < a , a < r < b e r > b ;

A Lei de Gauss é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Simplificando a Lei de Gauss, teremos:

E A = Q i n t ϵ 0 → E = Q i n t A ϵ 0

Onde A é a área da nossa gaussiana, por onde passará o campo elétrico. Como se trata de uma geometria cilíndrica, a gaussiana será um cilindro de raio r e comprimento L , cuja área será dada por A = 2 π r L .

Logo:

E = Q i n t 2 π r L ϵ 0

Pra finalizar, como estamos trabalhando com geometria cilíndrica, o campo elétrico terá sempre direção radial. Assim:

E → = Q i n t 2 π r L ϵ 0 r ^

Agora, o nosso trabalho é determinar a carga interna à gaussiana para cada situação.

Passo 3

- r < a

Essa região engloba somente o fio carregado, logo:

Q i n t = - Q

Assim, o campo elétrico será dado por:

E → = - Q 2 π r L ϵ 0 r ^

Passo 4

- a < r < b

Essa região engloba o fio carregado e a superfície interna do cano cilíndrico, logo:

Q i n t = - Q + Q = 0

Logo:

E → = 0 →

Passo 5

- r > b

Essa região engloba o fio carregado e o cano cilíndrico descarregado, logo:

Q i n t = - Q

Assim:

E → = - Q 2 π r L ϵ 0 r ^

Resposta

a)

Q s . i n t = + Q

Q s . e x t = - Q

b)

- r < a

E → = - Q 2 π r L ϵ 0 r ^

- a < r < b

E → = 0 →

- r > b

E → = - Q 2 π r L ϵ 0 r ^

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 71-27.

A figura a seguir é uma seção de uma barra condutora de raio R 1 = 1,30   mm e comprimento L = 11,00   m no interior de uma casca coaxial, de paredes finas, de raio R 2 = 10   R 1 e mesmo comprimento L .

A carga da barra é Q 1 = + 3,40 × 10 - 12   C ; a carga da casca é Q 2 = - 2,00   Q 1 . Determine:

  1. O módulo do campo elétrico E a uma distância radial r = 2,00   R 2 ;
  2. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r = 2,00   R 2 ;
  3. O módulo do campo elétrico E a uma distância radial r = 5,00   R 1 ;
  4. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r = 5,00   R 1 ;
  5. A carga na superfície interna da casca;
  6. A carga na superfície externa da casca;
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. O módulo do campo elétrico E a uma distância radial r = 2,00   R 2 ;
  2. Show de bola! Se r = 2 R 2 , significa que estamos querendo calcular o campo elétrico fora do meu sólido.

    Como se trata de um cilindro, podemos escolher como a nossa gaussiana um cilindro de raio r = 2 R 2 e comprimento L , assim a gente resolve a nossa vida.

    Matematicamente, a Lei de Gauss é a seguinte fórmula:

    ∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

    E como no cilindro que nós escolhemos como gaussiana, o campo elétrico é constante e perpendicular à superfície, podemos reescrever a Lei de Gauss dessa maneira:

    E A = Q i n t ϵ 0

    Foi tranquilo até aqui?

    Passo 2

    Bom, agora vamos ver o que falta pra encontrarmos o valor do campo elétrico.

    Lembrando que a nossa gaussiana se trata de um cilindro de raio r = 2 R 2 e de comprimento L , a área superficial é dada por

    A = 2 π r L

    Onde:

    r = 2 R 2 = 20 R 1 = 20 × 1,3 × 10 - 3 = 0 , 0 26   m ;

    L = 11,00   m ;

    A = 1,797   m 2

    Como a nossa gaussiana engloba todo o fio condutor, a carga interna total Q i n t vai ser igual à soma das cargas da barra com a casca. Sendo assim:

    Q i n t = Q 1 + Q 2

    Onde:

    Q 1 = + 3,40 × 10 - 12   C ;

    Q 2 = - 2,00   Q 1 = - 6,80 × 10 - 12   C ;

    Q i n t = 3,40 × 10 - 12 - 6,80 × 10 - 12

    Q i n t = - 3,40 × 10 - 12   C

    Agora é só jogar na fórmula que encontramos:

    E A = Q i n t ϵ 0

    E = Q i n t A ϵ 0

    Lembrando que ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12   C 2 /N m 2 .

    E = - 3,40 × 10 - 12 1,797 × 8,85 × 10 - 12

    E ≅ - 0,214   N/C

    Como estamos interessados no módulo do campo elétrico:

    E = 0,214   N/C

    Passo 3

  3. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r = 2,00   R 2 ;
  4. Lembra que no item anterior, quando calculamos o campo elétrico nós encontramos um valor negativo?

    Isso aconteceu porque a carga interna total da nossa gaussiana Q i n t é negativa.

    Portanto, o campo elétrico vai estar na direção radial, apontando para dentro da gaussiana.

    Passo 4

  5. O módulo do campo elétrico E a uma distância radial r = 5,00   R 1 ;
  6. O raciocínio é o mesmo que usamos anteriormente. Então, a nossa gaussiana vai ser um cilindro de raio r = 5 R 1 e de comprimento L .

    Assim, a área lateral vai ser dada por:

    A = 2 π r L

    Onde:

    r = 5 R 1 = 5 × 1,3 × 10 - 3 = 0,0 0 65   m ;

    L = 11,00   m ;

    A = 0,449   m 2

    A diferença agora é que, analisando os dados do problema, agora a nossa gaussiana vai ser um cilindro que vai estar entre a barra e a casca.

    Entretanto, como a única carga que nos interessa, de acordo com a Lei de Gauss, é a carga no interior da gaussiana, a carga interna total agora vai ser

    Q i n t = Q 1 = + 3,40 × 10 - 12   C

    Agora, novamente, é só jogar na fórmula:

    E = Q i n t A ϵ 0

    E = 3,40 × 10 - 12 0,449 × 8,85 × 10 - 12

    E = 0,855   N/C

    Passo 5

  7. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial r = 5,00   R 1 ;
  8. Lembra que no item anterior, quando calculamos o campo elétrico nós encontramos um valor positivo?

    Isso aconteceu porque a carga interna total da nossa gaussiana Q i n t é positiva.

    Portanto, o campo elétrico vai estar na direção radial, apontando para fora da gaussiana.

    Passo 6

  9. A carga na superfície interna da casca;
  10. O que acontece é o seguinte... se não tivesse nenhuma carga no interior da casca, quando olhássemos de frente, as cargas na casca carregada teriam essa distribuição:

    Mas como existe carga no interior da casca carregada, haverá uma distribuição parecida com esta: