Teoria Completa
Introdução
O conceito de Potencial Elétrico pode parecer um pouco estranho (e talvez seja mesmo), mas ele está muito relacionado ao campo elétrico.
Se largarmos uma carga elétricaem uma região com campo elétrico, irá agir sobre essa carga uma força elétrica dada por:
Ao mover essa carga ao longo de uma curva qualquer , a força elétrica vai realizar um trabalho , definido por:
Além disso, sabemos que, ao mover essa carga, esse trabalho gera uma variação de energia potencial, dada por:
A parada é que o conceito de potencial elétrico vem do conceito de energia potencial. Pra ser mais preciso, o potencial elétrico é a energia potencial por unidade de carga:
Ou seja, a unidade de potencial elétrico é Joule/Coulomb, , também chamamos isso de Volt, .
Show! Juntando o que vimos até aqui, temos a seguinte equação:
Se dividirmos os dois lados dessa equação pela nossa carga , chegamos a uma equação importante demais, que nos diz como calculamos a variação de potencial elétrico, ou diferença de potencial (ddp):
Essa é uma propriedade que depende somente do campo externo.
Potencial Gerado por Carga Pontual
Pra encontrarmos a expressão do potencial elétrico gerada por uma carga elétrica isolada, precisamos prestar atenção a alguns detalhes importantes:
- Precisamos saber o potencial em ao menos um ponto pra utilizar a fórmula da integral (já que temos um ponto inicial e um ponto final);
- É comum arbitrar que o potencial no infinito é zero.
O campo elétrico gerado por uma carga pontual é dada por:
Portanto, podemos integrar do infinito (potencial zero) à um ponto arbitrário de distância de onde está a nossa carga. Logo:
Show! Sabemos encontrar o potencial a partir do campo elétrico.
E se quisermos encontrar o campo elétrico a partir do potencial?
Se utilizarmos equação da diferença de potencial em uma curva fechada, como os pontos inicial e final são iguais, teremos que:
O que isso nos diz é que o campo elétrico é um campo conservativo (se isso te traumatizou em cálculo 3, relaxe, não vamos nos aprofundar nisso, ok?).
O fato desse cara ser um campo conservativo significa que podemos escrevê-lo da seguinte forma:
Pode decorar essa bandida, mas ela é comum de aparecer nos formulários.
O triângulo de cabeça pra baixo é o nosso operador de derivadas parciais:
Logo, podemos calcular as componentes do campo elétrico da seguinte forma:
Superfícies Equipotenciais
A princípio esse assunto não tem nada demais, o problema são as pegadinhas...
Vamos lá, papo reto uma superfície equipotencial é uma superfície (imaginária ou não) cujo potencial é igual em todos os pontos. A zoeira é nós conseguirmos conectar essa ideia com a nossa fórmula de diferença de potencial:
Esse à esquerda da equação nos diz que a integral de linha à direita não depende do caminho escolhido. Quando estamos falando de superfícies equipotenciais, isto significa que, como o potencial é o mesmo, o vai dar zero:
Pra começar, precisamos lembrar que uma linha de campo nada mais é que uma linha que acompanha os vetores do campo. E quando a gente olha para a integral de linha, temos que ficar espertos com o seguinte:
- aumenta quando percorremos uma linha de campo no mesmo sentido que o campo;
- diminui quando percorremos uma linha de campo no sentido oposto ao do campo.
“Mas isso se aplicaà superfície equipotencial?!”
Pra entendermos, vamos jogar o jogo do Pac-Man. As regras são as seguintes:
- O Pac-Man ganhapontos à medida que ele come as setinhas;
- Se ele come a seta pela ponta ela espeta a goela dele e ele perdepontos.
Vamos lá! Se porventura houvesse uma linha de campo que fosse de um ponto da superfície equipotencial até outro, poderíamos fazer o Pac-Man seguir esse caminho.
Só que, como a superfície é equipotencial, os potenciais em todos os pontos são iguais! Logo, ! Ou seja, tem algo estranho, não?
Conclusão:
É completamente impossível ter uma linha de campo que liga dois pontos de uma superfície equipotencial.
Outra consequência dessa análise é o campo na superfície não pode ter nenhuma componente tangente a ela, ou o Pac-Man poderia chegar a um resultado absurdo se fizer um caminho ao longo da superfície.
O aspecto correto de um caminho que liga dois pontos da superfície equipotencial é esse abaixo. Você teria que passar por pelo menos duas linhas de campo, sendo que uma necessariamente teria que ir contra o seu caminho:
Ou seja:
Última coisa que vale comentar é: como é igual a menos a integral, então o campo aponta do maior potencial para o menor. Fato é que é bom você decorar essa frase. ;)
É isso.
Potencial e Condutores no Equilíbrio Eletrostático
Lembra da Lei de Ohm?
Onde uma diferença de potencial entre dois pontos implica em termos corrente elétrica entre esses pontos (se o meio deixar, ou seja, se não for isolante). A frase pra gravar aqui é a seguinte:
No equilíbrio eletrostático um condutor é todo equipotencial.
Se houvesse uma diferença de potencial entre dois pontos do condutor, o que teríamos?! Exato, corrente elétrica, que nada mais é do que cargas em movimento.
Movimento de cargas e equilíbrio eletrostático são coisas opostas!!! Logo, não pode existir uma ddp entre dois pontos de um condutor em equilíbrio eletrostático.
Se existisse ddp, teríamos corrente, e corrente não pode no equilíbrio.
Se houvesse corrente, teríamos uma ddp, e o condutor não seria equipotencial.
Cara, eu falo até encher o saco mesmo. A graça é você acertar na prova!!!
=]
Exercício Resolvido #1
Na figura, quando um elétron se desloca de para ao longo de uma linha de campo elétrico, esse campo realiza um trabalho de . Quais são as diferenças de potencial elétrico:
(a)
(b)
(c)
Passo 1
É sempre bom começar pelas informações mais simples: aquelas que a gente pode ver logo de cara. A primeira coisa que a gente pode perceber é que já que os pontos e estão sobre a mesma superfície equipotencial.
Por isso, podemos concluir, de primeira, duas coisas:
- e, por isso, a resposta da letra (a) deverá ser idêntica à resposta da letra (b).
- o que nos permite ver que a resposta da letra (c) é zero e já garantimos aquele décimo na prova respondendo uma parte ;)
Passo 2
Escrever a relação do trabalho com o potencial elétrico:
Invertendo o sinal:
Resposta
(a) e (b):
(c)
Exercício Resolvido #2
Considere o seguinte corte perpendicular a uma família de quatro superfícies equipotenciais, associadas a um campo eletrostático. Assinale a opção que melhor indica o vetor campo elétrico em cada um dos pontos A e B, respectivamente.
Passo 1
Sabemos que o campo aponta do maior potencial para o menor. Isto advém do estudo da fórmula:
Onde o delta tem sinal trocado da integral do campo. Ou seja, deste fato já sabemos que os campos em e apontam pra baixo.
Passo 2
Agora vem a parte difícil... Dois jeitos de fazer. Vamos ver qual você prefere. Podemos tratar com qualquer uma das duas fórmulas:
O que você tem que saber fazer é uma análise qualitativa dessas duas fórmulas.
Passo 3
Vamos pegar a primeira. Fazer uma análise qualitativa significa que você pode chutar algumas particularizações que não comprometam a sua análise. Ou seja, são particularizações genéricas o suficiente (hahahah) pra você conseguir pensar sem estragar o problema. É sério isso. Vamos lá, vai ficar mais claro na prática. Uma boa é nós pegarmos a primeira fórmula e chutarmos que o campo é uniforme. Por conta disso ele vai sair do produto escalar e da integral:
Não tem problema fazer esta particularização porque só queremos uma aproximação. Fazendo a integral para dois caminhos: um passando por e outro passando por , temos:
A diferença de potencial nos caminhos é igual.
Temos então:
Entretanto, temos claramente que:
Logo, igualando:
Único jeito dessas coisas serem iguais é:
Fim de papo. Chegamos à resposta já! Mas vamos ver como seria da outra forma...
Passo 4
ALTERNATIVAMENTE, usando a outra fórmula temos:
Que o campo em um ponto é o gradiente do potencial naquele ponto. Como o gradiente são derivadas parciais:
A gambiarra neste caso é aproximar as derivadas com variações discretas. Já vai ficar claro, na real é +/- intuitivo. Como só importa o campo na direção do eixo (finge que tem um eixo lá):
Ou seja, o campo é a razão entre a variação do potencial e a variação da altura entre os dois pontos. Na região de temos uma variação menor, portanto:
Já a variação do potencial é igual pros dois:
Ah, mas e o sinal de menos? Não importa nesse caso pois nós já sabemos que aponta pra baixo e só estamos preocupados com o módulo mesmo.
Resposta
Letra d
Exercício Resolvido #3
Um campo elétrico uniforme está orientado do oeste para o leste. O ponto está a oeste do ponto , o ponto está a leste do ponto e o ponto está ao sul de . Para cada ponto , e , determine se o potencial do ponto é maior, menor ou igual ao do ponto .
Passo 1
Se o campo aponta para leste, temos que:
O potencial então diminui à medida que vamos para leste. Deste fato segue que:
Passo 2
Além disso, se seguirmos no sentido norte/sul nós estamos perpendiculares ao campo. Então segue que a variação de potencial é nula:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Considere uma carga pontual , o ponto a uma distância de e o ponto a uma distância de .
(a) Se e estão diametralmente opostos como na figura (a), qual é a diferença de potencial elétrico ?
(b) Qual é a diferença de potencial elétrico se e estão localizados como na figura (b)?
Passo 1
O potencial elétrico é uma grandeza escalar e ela pode ser calculada em função somente duas variáveis: a carga e a distância.
Note que a distância de até a carga é a mesma nas duas figuras e a distância de até a carga também não se altera. Assim, o fato de o ângulo entre as duas distâncias mudar não altera em nada o resultado, ou seja, a reposta dos itens a) e b) é a mesma, belezinha? 😉
Passo 2
Por isso, para as duas situações, basta substituir as distâncias e a carga na equação do passo anterior:
Substituindo os valores do enunciado, temos:
Resposta
a)
b)
Exercício Resolvido #5
Sabendo que, na figura, e que o módulo de vale , responda:
Qual é o valor do potencial elétrico no ponto ?
Qual é a variação energia potencial elétrica para trazermos uma carga de prova do infinito até o ponto ?
Passo 1
Para determinar o potencial elétrico em um ponto gerando por um conjunto de cargas puntiformes, podemos utilizar o princípio da superposição, basta calcular o potencial gerado por cada carga separado e depois somar.
A diferença de potencial é dada por:
Lembrando que o campo produzido por uma carga puntiforme é:
Substituindo, temos:
Lembrando que tende a zero, temos:
Onde será a distância entre o ponto e a carga analisada, vamos começar a calcular!
Passo 2
Para , que dista de , temos:
Para , que dista de , temos:
Para , que dista de , temos:
Portanto, o potencial no ponto , será:
Passo 3
Para determinar a energia para trazer uma carga do infinito até o ponto , devemos utilizar a seguinte fórmula:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Calcule o campo elétrico no ponto devido à distribuição octogonal de cargas na figura (use o sistema de coordenadas indicado);
Calcule o potencial elétrico em ;
Qual será a aceleração instantânea adquirida por uma partícula de massa , carregada com uma carga positiva , abandonada em ?
Passo 1
Calcule o campo elétrico no ponto devido à distribuição octogonal de cargas na figura (use o sistema de coordenadas indicado);
Vamos começar dando nome às cargas:
O campo elétrico resultante será a soma vetorial dos campos elétricos gerados por cada carga.
O campo elétrico gerado por uma carga é dado por:
Passo 2
Vamos esboçar o campo gerado por cada carga:
Esses campos serão dados por:
Assim, o campo elétrico resultante será: