Potencial Elétrico

Teoria Completa

Fala aí, hoje estamos aqui para falar sobre o potencial elétrico.

O potencial elétrico é uma grandeza intimamente relacionada ao campo elétrico. Em uma região do espaço, que está na presença de um campo elétrico, podemos definir o potencial elétrico em qualquer ponto desse espaço como sendo:

$$V_a=\frac{U_a}{q}$$

Onde:

  • $V_a$ é o potencial elétrico no ponto $a$ do espaço;
  • $U_a$ é a energia potencial no ponto $a$ do espaço, em $Joule$, e;
  • $q$ é a carga elétrico que está gerando o campo elétrico na região do espaço, em $Coulomb$.

Importante: A unidade do potencial elétrico é $Joule/Coulomb~(J/C)$. Também chamamos essa unidade de $Volts~(V)$.

Diferença de potencial elétrico

Se pegarmos dois pontos no espaço, $a$ e $b$, podemos definir a diferença de potencial entre esses dois pontos como sendo:

$$ΔV=-\int_{C}~~\vec{E}~.~\vec{dr}$$

Onde:

  • $ΔV$ é a diferença de potencial entre o ponto $a$ e $b$;
  • $C$ é o caminho entre o ponto $a$ e $b$;
  • $\vec{E}$ é o vetor campo elétrico presente na região, e;
  • $\vec{dr}$ é o vetor unitário de comprimento do caminho entre $a$ e $b$.

Potencial elétrico gerado por uma cagra pontual

Para determinarmos o potencial elétrico que será gerado quando o campo elétrico no espaço é gerado por uma carga pontual e fixa, vamos utilizar a fórmula da diferença de potencial que vimos anteriormente.

Vamos supor que queremos calcular a diferença de potencial entre um ponto $r$ e o $\infty$. Desse modo, teremos:

$$V(r)-V(\infty)=-\int_{C}~~\vec{E}~.~\vec{dr}$$

É comum definir que o potencial elétrico no infinito é igual a zero, então:

$$V(r)=-\int_{C}~~\vec{E}~.~\vec{dr}$$

O campo elétrico gerado por uma carga pontual, $q$, é dado pela seguinte expressão:

$$\vec{E}=k\frac{q}{r^2}~\vec{r}$$

Podemos substituir essa expressão dentro da integral:

$$V(r)=-\int_{C}~~(k\frac{q}{r^2}) ~\vec{r}~.~\vec{dr}$$

Temos o produto escalar entre o vetor unitário $\vec{r}$ (módulo igual a 1) e o vetor $\vec{dr}$. Esses dois vetores possuem a mesma direção e sentido, portanto formam um ângulo de $0°$ entre eles e o produto escalar entre eles será:

$$\vec{r}~.~\vec{dr}=\overbrace{r}^{1}~dr~\overbrace{cos~0°}^{1}=~dr$$

substituindo isso na integral, temos:

$$V(r)=-kq\int_{C}~~(\frac{1}{r^2})dr$$

O caminho que percorremos é do $\infty$ até $r$, então esses são os limites da nossa integração:

$$V(r)=-kq\int_{\infty}^{r}~~\frac{dr}{r^2}$$

Integrando, obtemos;

$$V(r)=\frac{kq}{r}$$

Onde:

  • $k$ é a constante eletrostática;
  • $q$ é a carga que está gerando o campo, e;
  • $r$ é a distância entre o ponto onde estamos o potencial e a carga que está gerando o campo.

E esse é o potencial elétrico gerado por uma carga pontual!

Superfícies Equipotenciais

Uma superfície equipotencial é uma superfície real ou imaginária, na qual o potencial elétrico é igual em todos os pontos.

Vamos pensar no potencial gerado por uma carga pontual. Ele depende da distância $r$ que o ponto no qual estamos calculando o potencial está da nossa carga pontual. Note que em uma superfície esférica com a carga pontual no centro o potencial elétrico é sempre o mesmo. Desse modo, em um campo elétrico gerado por uma carga puntiforme, as superfícies equipotenciais são esferas concêntricas, como mostra a figura:

E fechamos por aqui esse conteúdo irado para você arrasar na prova!

Uma boa dica para fixar mais o conteúdo é fazer bastante exercícios. Nós temos exercícios resolvidos sobre esse tema, só clica e confere: Lista de exercícios de potencial elétrico 😉

Vou deixar aqui também para você uma resolução de um exercício, passo a passo, em vídeo 😱 como é feito em alguns exercícios aqui no Responde Aí. Só dá um clique e conferir!

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 99-4.

Na figura, quando um elétron se desloca de A para B ao longo de uma linha de campo elétrico, esse campo realiza um trabalho de 3,94.10 - 19 J . Quais são as diferenças de potencial elétrico:

(a) V B - V A

(b) V C - V A

(c) V C - V B

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Passo 1

É sempre bom começar pelas informações mais simples: aquelas que a gente pode ver logo de cara. A primeira coisa que a gente pode perceber é que V B = V C já que os pontos B e C estão sobre a mesma superfície equipotencial.

Por isso, podemos concluir, de primeira, duas coisas:

  • V B - V A = V C - V A e, por isso, a resposta da letra (a) deverá ser idêntica à resposta da letra (b).
  • V C - V B = 0 o que nos permite ver que a resposta da letra (c) é zero e já garantimos aquele décimo na prova respondendo uma parte ;)

Passo 2

Escrever a relação do trabalho com o potencial elétrico:

W A B = V A - V B . q → V A - V B = W A B q = 3,94.10 - 19 J - 1,6.10 - 19 C = - 2,46   V

Invertendo o sinal: V B - V A = V C - V A = + 2,46   V

Resposta

(a) e (b): V B - V A = V C - V A = + 2,46   V

(c) V C - V B = 0

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P1-2010.2-ME01

Considere o seguinte corte perpendicular a uma família de quatro superfícies equipotenciais, associadas a um campo eletrostático. Assinale a opção que melhor indica o vetor campo elétrico em cada um dos pontos A e B, respectivamente.

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Passo 1

Sabemos que o campo aponta do maior potencial para o menor. Isto advém do estudo da fórmula:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Onde o delta V tem sinal trocado da integral do campo. Ou seja, deste fato já sabemos que os campos em A e B apontam pra baixo.

Passo 2

Agora vem a parte difícil... Dois jeitos de fazer. Vamos ver qual você prefere. Podemos tratar com qualquer uma das duas fórmulas:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

E → = - ∇ V

O que você tem que saber fazer é uma análise qualitativa dessas duas fórmulas.

Passo 3

Vamos pegar a primeira. Fazer uma análise qualitativa significa que você pode chutar algumas particularizações que não comprometam a sua análise. Ou seja, são particularizações genéricas o suficiente (hahahah) pra você conseguir pensar sem estragar o problema. É sério isso. Vamos lá, vai ficar mais claro na prática. Uma boa é nós pegarmos a primeira fórmula e chutarmos que o campo é uniforme. Por conta disso ele vai sair do produto escalar e da integral:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Δ V = - E ∫ C d r

Não tem problema fazer esta particularização porque só queremos uma aproximação. Fazendo a integral para dois caminhos: um passando por A e outro passando por B , temos:

A diferença de potencial nos caminhos é igual.

Δ V = - E A ∫ C A d r

Δ V = - E B ∫ C B d r

Temos então:

Δ V = - E A C A

Δ V = - E B C B

Entretanto, temos claramente que:

C A < C B

Logo, igualando:

E A C A = E B C B

Único jeito dessas coisas serem iguais é:

E A > E B

Fim de papo. Chegamos à resposta já! Mas vamos ver como seria da outra forma...

Passo 4

ALTERNATIVAMENTE, usando a outra fórmula temos: E → = - ∇ V

Que o campo em um ponto é o gradiente do potencial naquele ponto. Como o gradiente são derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

A gambiarra neste caso é aproximar as derivadas com variações discretas. Já vai ficar claro, na real é +/- intuitivo. Como só importa o campo na direção do eixo y (finge que tem um eixo y lá):

E y = - Δ V Δ y

Ou seja, o campo é a razão entre a variação do potencial e a variação da altura entre os dois pontos. Na região de A temos uma variação menor, portanto:

Δ y A < Δ y B

Já a variação do potencial é igual pros dois:

Δ V Δ y A > Δ V Δ y B

E A > E B

Ah, mas e o sinal de menos? Não importa nesse caso pois nós já sabemos que aponta pra baixo e só estamos preocupados com o módulo mesmo.

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física III – Eletromagnetismo, 12ª ed. São Paulo, 2010, pp. 95

Um campo elétrico uniforme está orientado do oeste para o leste. O ponto B está 2,0   m a oeste do ponto A , o ponto C está 2,0   m a leste do ponto A e o ponto D está 2,0   m ao sul de A . Para cada ponto B , C e D , determine se o potencial do ponto é maior, menor ou igual ao do ponto A .

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Passo 1

Se o campo aponta para leste, temos que:

Δ V = - ∫ C   E → ∙ d r →

O potencial então diminui à medida que vamos para leste. Deste fato segue que:

V B > V A

V C < V A

Passo 2

Além disso, se seguirmos no sentido norte/sul nós estamos perpendiculares ao campo. Então segue que a variação de potencial é nula:

Δ V = 0

V A - V D = 0

V A = V D

Resposta

V B > V A

V C < V A

V A = V D

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 99-12.

Considere uma carga pontual q = 1   μ C , o ponto A a uma distância d 1 = 2 m de q e o ponto B a uma distância d 2 = 1 m de q .

(a) Se A e B estão diametralmente opostos como na figura (a), qual é a diferença de potencial elétrico V A - V B ?

(b) Qual é a diferença de potencial elétrico se A e B estão localizados como na figura (b)?

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Passo 1

O potencial elétrico é uma grandeza escalar e ela pode ser calculada em função somente duas variáveis: a carga e a distância.

V = K . Q D

Note que a distância de B até a carga é a mesma nas duas figuras e a distância de A até a carga também não se altera. Assim, o fato de o ângulo entre as duas distâncias mudar não altera em nada o resultado, ou seja, a reposta dos itens a) e b) é a mesma, belezinha? 😉

Passo 2

Por isso, para as duas situações, basta substituir as distâncias e a carga na equação do passo anterior:

V A - V B = K . q d 1 - K . q d 2 = K . q . d 2 - d 1 d 1 . d 2

Substituindo os valores do enunciado, temos:

V A - V B = 9.10 9 . 1.10 - 6 1 - 2 1.2 = - 4,5.10 3 V

Resposta

a)

V A - V B = - 4,5.10 3 V

b)

V A - V B = - 4,5.10 3 V

Exercício Resolvido #5

UFF-LISTA2-14.

Sabendo que, na figura, a = 4,0   c m e que o módulo de q vale 3,0   n C , responda:

a ) Qual é o valor do potencial elétrico no ponto P ?

b ) Qual é a variação energia potencial elétrica para trazermos uma carga de prova q 0 = 1,0   n C do infinito até o ponto P ?

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Passo 1

Para determinar o potencial elétrico em um ponto gerando por um conjunto de cargas puntiformes, podemos utilizar o princípio da superposição, basta calcular o potencial gerado por cada carga separado e depois somar.

A diferença de potencial é dada por:

Δ V = - ∫ E → . d r →

Lembrando que o campo produzido por uma carga puntiforme é:

E = k . q r 2

Substituindo, temos:

Δ V = - k . q ∫ 1 r 2 d r

Δ V = k . q . r - 1 ∞ d

Lembrando que 1 ∞ tende a zero, temos:

V = k . q . d - 1

Onde d será a distância entre o ponto P e a carga analisada, vamos começar a calcular!

Passo 2

Para 2,0 q , que dista d = 4,0   c m de P , temos:

V 2,0 q P = k . q . 4 × 10 - 2 - 1

V 2,0 q P = 9 × 10 9 .   2,0.3,0 × 10 - 9 . 4 × 10 - 2 - 1

V 2,0 q P = 1350   V

Para - 2,0 q , que dista d = 4,0 . 2   c m de P , temos:

V - 2,0 q P = k . - 2,0 q . 4 . 2 × 10 - 2 - 1

V - 2,0 q P = - 9 × 10 9 .   2,0.3,0 × 10 - 9 . 4 2 × 10 - 2 - 1

V 2,0 q P = - 954,6   V

Para q , que dista d = 4,0   c m de P , temos:

V q P = k . q . 4 × 10 - 2 - 1

V q P = 9 × 10 9 . 3,0 × 10 - 9 . 4 × 10 - 2 - 1

V q P = 675   V

Portanto, o potencial no ponto P , será:

V P = V 2,0 q P + V 2,0 q P + V q P

V P = 1350 - 954,6 + 675 = 1070,4   V

Passo 3

b )

Para determinar a energia para trazer uma carga q 0 do infinito até o ponto P , devemos utilizar a seguinte fórmula:

Δ V = Δ U q

V P - V ∞ = Δ U q 0

1070,4 - 0 = Δ U 1,0 × 10 - 9

Δ U = 1,07 × 10 - 6   J

Resposta

a )   V P = 1070,4   V

b )   Δ U = 1,07 × 10 - 6   J

Exercício Resolvido #6

UNICAMP-P1-2011-1DI-1 B

a ) Calcule o campo elétrico E → no ponto O devido à distribuição octogonal de cargas na figura (use o sistema de coordenadas indicado);

b ) Calcule o potencial elétrico em O ;

c ) Qual será a aceleração instantânea adquirida por uma partícula de massa m , carregada com uma carga positiva q 0 , abandonada em O ?

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Passo 1

a ) Calcule o campo elétrico E → no ponto O devido à distribuição octogonal de cargas na figura (use o sistema de coordenadas indicado);

Vamos começar dando nome às cargas:

O campo elétrico resultante E → será a soma vetorial dos campos elétricos gerados por cada carga.

O campo elétrico gerado por uma carga q é dado por:

E → = 1 4 π ϵ 0 q r 2   r ^

Passo 2

Vamos esboçar o campo gerado por cada carga:

Esses campos serão dados por:

E → 1 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - j →

E → 2 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 2 2 i → + 2 2 j →

E → 3 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - i →

E → 4 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - 2 2 i → + 2 2 j →

E → 5 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 j →

E → 6 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 2 2 i → + 2 2 j →

E → 7 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - i →

E → 8 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 3 2 2 i → - 3 2 2 j →

Assim, o campo elétrico resultante será:

E → = E → 1 + E → 2 + E → 3 + E → 4 + E → 5 + E → 6 + E → 7 + E → 8

E → = 1 4 π ϵ 0 q d 2 2 2 - 1 - 2 2 + 2 2 - 1 + 3 2 2 i → + - 1 + 2 2 + 2 2 + 1 + 2 2 - 3 2 2 j →

E → = 1 4 π ϵ 0 q d 2 2 2 - 2 i →

E → = 1 2 π ϵ 0 q d 2 2 - 1 i →   N C

Passo 3

b ) Calcule o potencial elétrico em O ;

O potencial gerado por uma carga q em um ponto a uma distância r é dado por:

V = 1 4 π ϵ 0 q r

Então só temos que somar os potenciais gerados pelas 8 cargas no ponto O : V = 1 4 π ϵ 0 q d - 1 4 π ϵ 0 q d + 1 4 π ϵ 0 q d + 1 4 π ϵ 0 q d + 1 4 π ϵ 0 q d + 1 4 π ϵ 0 q d - 1 4 π ϵ 0 q d + 1 4 π ϵ 0 3 q d

V = 1 4 π ϵ 0 d q - q + q + q + q + q - q + 3 q

V = 6 q 4 π ϵ 0 d

V = 3 q 2 π ϵ 0 d

Passo 4

c ) Qual será a aceleração instantânea adquirida por uma partícula de massa m , carregada com uma carga positiva q 0 , abandonada em O ?

Já calculamos o campo elétrico na letra a , certo? A força elétrica sobre uma carga q 0 , no ponto O está associada ao campo elétrico por:

F → = q 0 E →

Ou, como estamos trabalhando só com o módulo do campo:

F = q 0 E

Além disso, de acordo com a Segunda Lei de Newton:

F = m a

Logo:

m a = q 0 E → a = q 0 m E

a = q 0 m   1 2 π ϵ 0 q d 2 2 - 1

a = 1 2 π ϵ 0 q 0 q m d 2 2 - 1   m s 2

Resposta

a )

E → = 1 2 π ϵ 0 q d 2 2 - 1 i →   N C

b )

V = 3 q 2 π ϵ 0 d

c )

a = 1 2 π ϵ 0 q 0 q m d 2 2 - 1   m s 2

Exercício Resolvido #7

UFRJ- Física 3 - PF 2017.2 - DIURNO - 2

Uma certa distribuição estática de cargas produz um potencial eletrostático V que depende apenas da distância r até a origem de um sistema de coordenadas. O gráfico de V ( r ) é mostrado na figura abaixo, com quatro regiões destacadas. Sobre o campo eletrostático produzido por essa distribuição,   E → = E r ( r ) r ^ , onde   r ^ é o vetor unitário da direção radial, podemos afirmar que:

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Passo 1

Para matar esse problema, temos que nos lembrar de que, neste caso em que o potencial depende apenas da distância radial r , o campo elétrico é dado por:

E → = E r r   r ^ = - d V d r   r ^  

em r é a distância entre a distribuição de cargas que gera o campo elétrico   E r ( r ) e o ponto sobre o qual queremos calculá-lo. Da expressão acima, a gente vê que o campo elétrico em um ponto r qualquer pode ser calculado como menos a derivada do potencial naquele ponto, isto é:

E r r = - d V d r

Aqui chamo a sua atenção: CUIDADO: O SINAL DE MENOS NESSA EXPRESSÃO É FUNDAMENTAL! NÃO SE ESQUEÇA DELE!!

Só para lembrar você de algo que já tá na sua vida de faculdade há algum tempo: a interpretação geométrica de derivada. Para isso, dá uma olhada no gráfico acima...

A derivada de uma curva em um determinado ponto nada mais é do que a reta tangente àquela curva naquele ponto. Ou seja, a reta tangente da figura acima dá o comportamento de d V d r . Com essa informação mais o sinal de menos, conseguimos avaliar o sinal que o campo elétrico E r r tem em cada uma das quatro regiões de V r ( r ) .

Aposto que agora ficou bem mais fácil, porque na figura acima, as retas em cada uma das regiões representam essas retas tangentes!! Bom, agora é só avaliar se essas derivadas da figura são positivas ou negativas e COLOCAR O SINAL DE MENOS NA FRENTE!O SE ESQUEÇA DESSE SINAL !! Pelo amor de deus...rsrs

Passo 2

Agora, só precisamos analisar cada uma das regiões I , I I , I I I e I V da figura e checar como são as tangentes à curva em cada região (SEM JAMAIS ESQUECER DO SINAL DE MENOS :-) \0/):

  1. Região I : O potencial é constante:   V I r = c o n s t a n t e ⇒ E I r = - d V I d r = 0