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Potencial Elétrico Gerado por Carga Pontual

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Teoria Completa

Introdução

O conceito de Potencial Elétrico pode parecer um pouco estranho (e talvez seja mesmo), mas ele está muito relacionado ao campo elétrico.

Se largarmos uma carga elétrica q em uma região com campo elétrico E → , irá agir sobre essa carga uma força elétrica F → dada por:

F → = q E →

Ao mover essa carga ao longo de uma curva qualquer C , a força elétrica vai realizar um trabalho W , definido por:

W = ∫ C F → ∙ d r →

Além disso, sabemos que, ao mover essa carga, esse trabalho gera uma variação de energia potencial Δ U , dada por:

Δ U = - W

A parada é que o conceito de potencial elétrico vem do conceito de energia potencial. Pra ser mais preciso, o potencial elétrico V é a energia potencial por unidade de carga:

V = U q

Ou seja, a unidade de potencial elétrico é Joule/Coulomb, ( J / C ) , também chamamos isso de Volt, ( V ) .

Show! Juntando o que vimos até aqui, temos a seguinte equação:

Δ U = - ∫ C F → ∙ d r →

Se dividirmos os dois lados dessa equação pela nossa carga q , chegamos a uma equação importante demais, que nos diz como calculamos a variação de potencial elétrico, ou diferença de potencial (ddp):

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Essa é uma propriedade que depende somente do campo externo.

Potencial Gerado por Carga Pontual

Pra encontrarmos a expressão do potencial elétrico gerada por uma carga elétrica q isolada, precisamos prestar atenção a alguns detalhes importantes:

  • Precisamos saber o potencial em ao menos um ponto pra utilizar a fórmula da integral (já que temos um ponto inicial e um ponto final);
  • É comum arbitrar que o potencial no infinito é zero.

O campo elétrico gerado por uma carga pontual é dada por:

E → = k q r 2 r ^

Portanto, podemos integrar do infinito (potencial zero) à um ponto arbitrário de distância r de onde está a nossa carga. Logo:

V r - V ∞ = - ∫ ∞ r k q r 2 r ^ ∙ d r →

V r - 0 = - k q ∫ ∞ r d r r 2

V r = k q r

Show! Sabemos encontrar o potencial a partir do campo elétrico.

E se quisermos encontrar o campo elétrico a partir do potencial?

Se utilizarmos equação da diferença de potencial em uma curva fechada, como os pontos inicial e final são iguais, teremos que:

Δ V = V f i n a l - V i n i c i a l = 0

∮ C E → ∙ d r → = 0

O que isso nos diz é que o campo elétrico é um campo conservativo (se isso te traumatizou em cálculo 3, relaxe, não vamos nos aprofundar nisso, ok?).

O fato desse cara ser um campo conservativo significa que podemos escrevê-lo da seguinte forma:

E → = - ∇ V

Pode decorar essa bandida, mas ela é comum de aparecer nos formulários.

O triângulo de cabeça pra baixo é o nosso operador de derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ,   ∂ ∂ z

Logo, podemos calcular as componentes do campo elétrico da seguinte forma:

E → = - ∂ V ∂ x ,   - ∂ V ∂ y , - ∂ V ∂ z

Superfícies Equipotenciais

A princípio esse assunto não tem nada demais, o problema são as pegadinhas...

Vamos lá, papo reto uma superfície equipotencial é uma superfície (imaginária ou não) cujo potencial é igual em todos os pontos. A zoeira é nós conseguirmos conectar essa ideia com a nossa fórmula de diferença de potencial:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Esse Δ V à esquerda da equação nos diz que a integral de linha à direita não depende do caminho C escolhido. Quando estamos falando de superfícies equipotenciais, isto significa que, como o potencial é o mesmo, o Δ V vai dar zero:

V f i n a l = V i n i c i a l → Δ V = 0

Pra começar, precisamos lembrar que uma linha de campo nada mais é que uma linha que acompanha os vetores do campo. E quando a gente olha para a integral de linha, temos que ficar espertos com o seguinte:

  • ∫ C E → ∙ d r → aumenta quando percorremos uma linha de campo no mesmo sentido que o campo;
  • ∫ C E → ∙ d r → diminui quando percorremos uma linha de campo no sentido oposto ao do campo.

“Mas isso se aplicaà superfície equipotencial?!”

Pra entendermos, vamos jogar o jogo do Pac-Man. As regras são as seguintes:

  • O Pac-Man ganhapontos à medida que ele come as setinhas;
  • Se ele come a seta pela ponta ela espeta a goela dele e ele perdepontos.

Vamos lá! Se porventura houvesse uma linha de campo que fosse de um ponto da superfície equipotencial até outro, poderíamos fazer o Pac-Man seguir esse caminho.

Só que, como a superfície é equipotencial, os potenciais em todos os pontos são iguais! Logo, Δ V = 0 ! Ou seja, tem algo estranho, não?

Conclusão:

É completamente impossível ter uma linha de campo que liga dois pontos de uma superfície equipotencial.

Outra consequência dessa análise é o campo na superfície não pode ter nenhuma componente tangente a ela, ou o Pac-Man poderia chegar a um resultado absurdo se fizer um caminho ao longo da superfície.

O aspecto correto de um caminho C que liga dois pontos da superfície equipotencial é esse abaixo. Você teria que passar por pelo menos duas linhas de campo, sendo que uma necessariamente teria que ir contra o seu caminho:

Ou seja:

Δ V = 0

Última coisa que vale comentar é: como Δ V é igual a menos a integral, então o campo aponta do maior potencial para o menor. Fato é que é bom você decorar essa frase. ;)

É isso.

Potencial e Condutores no Equilíbrio Eletrostático

Lembra da Lei de Ohm?

V = R I

Onde uma diferença de potencial V entre dois pontos implica em termos corrente elétrica I entre esses pontos (se o meio deixar, ou seja, se não for isolante). A frase pra gravar aqui é a seguinte:

No equilíbrio eletrostático um condutor é todo equipotencial.

Se houvesse uma diferença de potencial entre dois pontos do condutor, o que teríamos?! Exato, corrente elétrica, que nada mais é do que cargas em movimento.

Movimento de cargas e equilíbrio eletrostático são coisas opostas!!! Logo, não pode existir uma ddp entre dois pontos de um condutor em equilíbrio eletrostático.

Se existisse ddp, teríamos corrente, e corrente não pode no equilíbrio.

Se houvesse corrente, teríamos uma ddp, e o condutor não seria equipotencial.

Cara, eu falo até encher o saco mesmo. A graça é você acertar na prova!!!

=]

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 99-4.

Na figura, quando um elétron se desloca de A para B ao longo de uma linha de campo elétrico, esse campo realiza um trabalho de 3,94.10 - 19 J . Quais são as diferenças de potencial elétrico:

(a) V B - V A

(b) V C - V A

(c) V C - V B

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Passo 1

É sempre bom começar pelas informações mais simples: aquelas que a gente pode ver logo de cara. A primeira coisa que a gente pode perceber é que V B = V C já que os pontos B e C estão sobre a mesma superfície equipotencial.

Por isso, podemos concluir, de primeira, duas coisas:

  • V B - V A = V C - V A e, por isso, a resposta da letra (a) deverá ser idêntica à resposta da letra (b).
  • V C - V B = 0 o que nos permite ver que a resposta da letra (c) é zero e já garantimos aquele décimo na prova respondendo uma parte ;)

Passo 2

Escrever a relação do trabalho com o potencial elétrico:

W A B = V A - V B . q → V A - V B = W A B q = 3,94.10 - 19 J - 1,6.10 - 19 C = - 2,46   V

Invertendo o sinal: V B - V A = V C - V A = + 2,46   V

Resposta

(a) e (b): V B - V A = V C - V A = + 2,46   V

(c) V C - V B = 0

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P1-2010.2-ME01

Considere o seguinte corte perpendicular a uma família de quatro superfícies equipotenciais, associadas a um campo eletrostático. Assinale a opção que melhor indica o vetor campo elétrico em cada um dos pontos A e B, respectivamente.

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Passo 1

Sabemos que o campo aponta do maior potencial para o menor. Isto advém do estudo da fórmula:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Onde o delta V tem sinal trocado da integral do campo. Ou seja, deste fato já sabemos que os campos em A e B apontam pra baixo.

Passo 2

Agora vem a parte difícil... Dois jeitos de fazer. Vamos ver qual você prefere. Podemos tratar com qualquer uma das duas fórmulas:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

E → = - ∇ V

O que você tem que saber fazer é uma análise qualitativa dessas duas fórmulas.

Passo 3

Vamos pegar a primeira. Fazer uma análise qualitativa significa que você pode chutar algumas particularizações que não comprometam a sua análise. Ou seja, são particularizações genéricas o suficiente (hahahah) pra você conseguir pensar sem estragar o problema. É sério isso. Vamos lá, vai ficar mais claro na prática. Uma boa é nós pegarmos a primeira fórmula e chutarmos que o campo é uniforme. Por conta disso ele vai sair do produto escalar e da integral:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Δ V = - E ∫ C d r

Não tem problema fazer esta particularização porque só queremos uma aproximação. Fazendo a integral para dois caminhos: um passando por A e outro passando por B , temos:

A diferença de potencial nos caminhos é igual.

Δ V = - E A ∫ C A d r

Δ V = - E B ∫ C B d r

Temos então:

Δ V = - E A C A

Δ V = - E B C B

Entretanto, temos claramente que:

C A < C B

Logo, igualando:

E A C A = E B C B

Único jeito dessas coisas serem iguais é:

E A > E B

Fim de papo. Chegamos à resposta já! Mas vamos ver como seria da outra forma...

Passo 4

ALTERNATIVAMENTE, usando a outra fórmula temos: E → = - ∇ V

Que o campo em um ponto é o gradiente do potencial naquele ponto. Como o gradiente são derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

A gambiarra neste caso é aproximar as derivadas com variações discretas. Já vai ficar claro, na real é +/- intuitivo. Como só importa o campo na direção do eixo y (finge que tem um eixo y lá):

E y = - Δ V Δ y

Ou seja, o campo é a razão entre a variação do potencial e a variação da altura entre os dois pontos. Na região de A temos uma variação menor, portanto:

Δ y A < Δ y B

Já a variação do potencial é igual pros dois:

Δ V Δ y A > Δ V Δ y B

E A > E B

Ah, mas e o sinal de menos? Não importa nesse caso pois nós já sabemos que aponta pra baixo e só estamos preocupados com o módulo mesmo.

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física III – Eletromagnetismo, 12ª ed. São Paulo, 2010, pp. 95

Um campo elétrico uniforme está orientado do oeste para o leste. O ponto B está 2,0   m a oeste do ponto A , o ponto C está 2,0   m a leste do ponto A e o ponto D está 2,0   m ao sul de A . Para cada ponto B , C e D , determine se o potencial do ponto é maior, menor ou igual ao do ponto A .

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Passo 1

Se o campo aponta para leste, temos que:

Δ V = - ∫ C   E → ∙ d r →

O potencial então diminui à medida que vamos para leste. Deste fato segue que:

V B > V A

V C < V A

Passo 2

Além disso, se seguirmos no sentido norte/sul nós estamos perpendiculares ao campo. Então segue que a variação de potencial é nula:

Δ V = 0

V A - V D = 0

V A = V D

Resposta

V B > V A

V C < V A

V A = V D

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 99-12.

Considere uma carga pontual q = 1   μ C , o ponto A a uma distância d 1 = 2 m de q e o ponto B a uma distância d 2 = 1 m de q .

(a) Se A e B estão diametralmente opostos como na figura (a), qual é a diferença de potencial elétrico V A - V B ?

(b) Qual é a diferença de potencial elétrico se A e B estão localizados como na figura (b)?

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Passo 1

O potencial elétrico é uma grandeza escalar e ela pode ser calculada em função somente duas variáveis: a carga e a distância.

V = K . Q D

Note que a distância de B até a carga é a mesma nas duas figuras e a distância de A até a carga também não se altera. Assim, o fato de o ângulo entre as duas distâncias mudar não altera em nada o resultado, ou seja, a reposta dos itens a) e b) é a mesma, belezinha? 😉

Passo 2

Por isso, para as duas situações, basta substituir as distâncias e a carga na equação do passo anterior:

V A - V B = K . q d 1 - K . q d 2 = K . q . d 2 - d 1 d 1 . d 2

Substituindo os valores do enunciado, temos:

V A - V B = 9.10 9 . 1.10 - 6 1 - 2 1.2 = - 4,5.10 3 V

Resposta

a)

V A - V B = - 4,5.10 3 V

b)

V A - V B = - 4,5.10 3 V

Exercício Resolvido #5

UFF-LISTA2-14.

Sabendo que, na figura, a = 4,0   c m e que o módulo de q vale 3,0   n C , responda:

a ) Qual é o valor do potencial elétrico no ponto P ?

b ) Qual é a variação energia potencial elétrica para trazermos uma carga de prova q 0 = 1,0   n C do infinito até o ponto P ?

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Passo 1

Para determinar o potencial elétrico em um ponto gerando por um conjunto de cargas puntiformes, podemos utilizar o princípio da superposição, basta calcular o potencial gerado por cada carga separado e depois somar.

A diferença de potencial é dada por:

Δ V = - ∫ E → . d r →

Lembrando que o campo produzido por uma carga puntiforme é:

E = k . q r 2

Substituindo, temos:

Δ V = - k . q ∫ 1 r 2 d r

Δ V = k . q . r - 1 ∞ d

Lembrando que 1 ∞ tende a zero, temos:

V = k . q . d - 1

Onde d será a distância entre o ponto P e a carga analisada, vamos começar a calcular!

Passo 2

Para 2,0 q , que dista d = 4,0   c m de P , temos:

V 2,0 q P = k . q . 4 × 10 - 2 - 1

V 2,0 q P = 9 × 10 9 .   2,0.3,0 × 10 - 9 . 4 × 10 - 2 - 1

V 2,0 q P = 1350   V

Para - 2,0 q , que dista d = 4,0 . 2   c m de P , temos:

V - 2,0 q P = k . - 2,0 q . 4 . 2 × 10 - 2 - 1

V - 2,0 q P = - 9 × 10 9 .   2,0.3,0 × 10 - 9 . 4 2 × 10 - 2 - 1

V 2,0 q P = - 954,6   V

Para q , que dista d = 4,0   c m de P , temos:

V q P = k . q . 4 × 10 - 2 - 1

V q P = 9 × 10 9 . 3,0 × 10 - 9 . 4 × 10 - 2 - 1

V q P = 675   V

Portanto, o potencial no ponto P , será:

V P = V 2,0 q P + V 2,0 q P + V q P

V P = 1350 - 954,6 + 675 = 1070,4   V

Passo 3

b )

Para determinar a energia para trazer uma carga q 0 do infinito até o ponto P , devemos utilizar a seguinte fórmula:

Δ V = Δ U q

V P - V ∞ = Δ U q 0

1070,4 - 0 = Δ U 1,0 × 10 - 9

Δ U = 1,07 × 10 - 6   J

Resposta

a )   V P = 1070,4   V

b )   Δ U = 1,07 × 10 - 6   J

Exercício Resolvido #6

UNICAMP-P1-2011-1DI-1 B

a ) Calcule o campo elétrico E → no ponto O devido à distribuição octogonal de cargas na figura (use o sistema de coordenadas indicado);

b ) Calcule o potencial elétrico em O ;

c ) Qual será a aceleração instantânea adquirida por uma partícula de massa m , carregada com uma carga positiva q 0 , abandonada em O ?

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Passo 1

a ) Calcule o campo elétrico E → no ponto O devido à distribuição octogonal de cargas na figura (use o sistema de coordenadas indicado);

Vamos começar dando nome às cargas:

O campo elétrico resultante E → será a soma vetorial dos campos elétricos gerados por cada carga.

O campo elétrico gerado por uma carga q é dado por:

E → = 1 4 π ϵ 0 q r 2   r ^

Passo 2

Vamos esboçar o campo gerado por cada carga:

Esses campos serão dados por:

E → 1 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - j →

E → 2 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 2 2 i → + 2 2 j →

E → 3 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - i →

E → 4 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - 2 2 i → + 2 2 j →

E → 5 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 j →

E → 6 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 2 2 i → + 2 2 j →

E → 7 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 - i →

E → 8 = 1 4 π ϵ 0 q d 2 3 2 2 i → - 3 2 2 j →

Assim, o campo elétrico resultante será:

E → = E → 1 + E → 2 + E → 3 + E → 4 + E → 5 + E → 6 + E → 7 + E → 8