Potencial Elétrico Gerado por Carga Pontual

Teoria Completa

Introdução

O conceito de Potencial Elétrico pode parecer um pouco estranho (e talvez seja mesmo), mas ele está muito relacionado ao campo elétrico.

Se largarmos uma carga elétrica q em uma região com campo elétrico E → , irá agir sobre essa carga uma força elétrica F → dada por:

F → = q E →

Ao mover essa carga ao longo de uma curva qualquer C , a força elétrica vai realizar um trabalho W , definido por:

W = ∫ C F → ∙ d r →

Além disso, sabemos que, ao mover essa carga, esse trabalho gera uma variação de energia potencial Δ U , dada por:

Δ U = - W

A parada é que o conceito de potencial elétrico vem do conceito de energia potencial. Pra ser mais preciso, o potencial elétrico V é a energia potencial por unidade de carga:

V = U q

Ou seja, a unidade de potencial elétrico é Joule/Coulomb, ( J / C ) , também chamamos isso de Volt, ( V ) .

Show! Juntando o que vimos até aqui, temos a seguinte equação:

Δ U = - ∫ C F → ∙ d r →

Se dividirmos os dois lados dessa equação pela nossa carga q , chegamos a uma equação importante demais, que nos diz como calculamos a variação de potencial elétrico, ou diferença de potencial (ddp):

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Essa é uma propriedade que depende somente do campo externo.

Potencial Gerado por Carga Pontual

Pra encontrarmos a expressão do potencial elétrico gerada por uma carga elétrica q isolada, precisamos prestar atenção a alguns detalhes importantes:

  • Precisamos saber o potencial em ao menos um ponto pra utilizar a fórmula da integral (já que temos um ponto inicial e um ponto final);
  • É comum arbitrar que o potencial no infinito é zero.

O campo elétrico gerado por uma carga pontual é dada por:

E → = k q r 2 r ^

Portanto, podemos integrar do infinito (potencial zero) à um ponto arbitrário de distância r de onde está a nossa carga. Logo:

V r - V ∞ = - ∫ ∞ r k q r 2 r ^ ∙ d r →

V r - 0 = - k q ∫ ∞ r d r r 2

V r = k q r

Show! Sabemos encontrar o potencial a partir do campo elétrico.

E se quisermos encontrar o campo elétrico a partir do potencial?

Se utilizarmos equação da diferença de potencial em uma curva fechada, como os pontos inicial e final são iguais, teremos que:

Δ V = V f i n a l - V i n i c i a l = 0

∮ C E → ∙ d r → = 0

O que isso nos diz é que o campo elétrico é um campo conservativo (se isso te traumatizou em cálculo 3, relaxe, não vamos nos aprofundar nisso, ok?).

O fato desse cara ser um campo conservativo significa que podemos escrevê-lo da seguinte forma:

E → = - ∇ V

Pode decorar essa bandida, mas ela é comum de aparecer nos formulários.

O triângulo de cabeça pra baixo é o nosso operador de derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ,   ∂ ∂ z

Logo, podemos calcular as componentes do campo elétrico da seguinte forma:

E → = - ∂ V ∂ x ,   - ∂ V ∂ y , - ∂ V ∂ z

Superfícies Equipotenciais

A princípio esse assunto não tem nada demais, o problema são as pegadinhas...

Vamos lá, papo reto uma superfície equipotencial é uma superfície (imaginária ou não) cujo potencial é igual em todos os pontos. A zoeira é nós conseguirmos conectar essa ideia com a nossa fórmula de diferença de potencial:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Esse Δ V à esquerda da equação nos diz que a integral de linha à direita não depende do caminho C escolhido. Quando estamos falando de superfícies equipotenciais, isto significa que, como o potencial é o mesmo, o Δ V vai dar zero:

V f i n a l = V i n i c i a l → Δ V = 0

Pra começar, precisamos lembrar que uma linha de campo nada mais é que uma linha que acompanha os vetores do campo. E quando a gente olha para a integral de linha, temos que ficar espertos com o seguinte:

  • ∫ C E → ∙ d r → aumenta quando percorremos uma linha de campo no mesmo sentido que o campo;
  • ∫ C E → ∙ d r → diminui quando percorremos uma linha de campo no sentido oposto ao do campo.

“Mas isso se aplicaà superfície equipotencial?!”

Pra entendermos, vamos jogar o jogo do Pac-Man. As regras são as seguintes:

  • O Pac-Man ganhapontos à medida que ele come as setinhas;
  • Se ele come a seta pela ponta ela espeta a goela dele e ele perdepontos.

Vamos lá! Se porventura houvesse uma linha de campo que fosse de um ponto da superfície equipotencial até outro, poderíamos fazer o Pac-Man seguir esse caminho.

Só que, como a superfície é equipotencial, os potenciais em todos os pontos são iguais! Logo, Δ V = 0 ! Ou seja, tem algo estranho, não?

Conclusão:

É completamente impossível ter uma linha de campo que liga dois pontos de uma superfície equipotencial.

Outra consequência dessa análise é o campo na superfície não pode ter nenhuma componente tangente a ela, ou o Pac-Man poderia chegar a um resultado absurdo se fizer um caminho ao longo da superfície.

O aspecto correto de um caminho C que liga dois pontos da superfície equipotencial é esse abaixo. Você teria que passar por pelo menos duas linhas de campo, sendo que uma necessariamente teria que ir contra o seu caminho:

Ou seja:

Δ V = 0

Última coisa que vale comentar é: como Δ V é igual a menos a integral, então o campo aponta do maior potencial para o menor. Fato é que é bom você decorar essa frase. ;)

É isso.

Potencial e Condutores no Equilíbrio Eletrostático

Lembra da Lei de Ohm?

V = R I

Onde uma diferença de potencial V entre dois pontos implica em termos corrente elétrica I entre esses pontos (se o meio deixar, ou seja, se não for isolante). A frase pra gravar aqui é a seguinte:

No equilíbrio eletrostático um condutor é todo equipotencial.

Se houvesse uma diferença de potencial entre dois pontos do condutor, o que teríamos?! Exato, corrente elétrica, que nada mais é do que cargas em movimento.

Movimento de cargas e equilíbrio eletrostático são coisas opostas!!! Logo, não pode existir uma ddp entre dois pontos de um condutor em equilíbrio eletrostático.

Se existisse ddp, teríamos corrente, e corrente não pode no equilíbrio.

Se houvesse corrente, teríamos uma ddp, e o condutor não seria equipotencial.

Cara, eu falo até encher o saco mesmo. A graça é você acertar na prova!!!

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Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 99-4.

Na figura, quando um elétron se desloca de A para B ao longo de uma linha de campo elétrico, esse campo realiza um trabalho de 3,94.10 - 19 J . Quais são as diferenças de potencial elétrico:

(a) V B - V A

(b) V C - V A

(c) V C - V B

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Passo 1

É sempre bom começar pelas informações mais simples: aquelas que a gente pode ver logo de cara. A primeira coisa que a gente pode perceber é que V B = V C já que os pontos B e C estão sobre a mesma superfície equipotencial.

Por isso, podemos concluir, de primeira, duas coisas:

  • V B - V A = V C - V A e, por isso, a resposta da letra (a) deverá ser idêntica à resposta da letra (b).
  • V C - V B = 0 o que nos permite ver que a resposta da letra (c) é zero e já garantimos aquele décimo na prova respondendo uma parte ;)

Passo 2

Escrever a relação do trabalho com o potencial elétrico:

W A B = V A - V B . q → V A - V B = W A B q = 3,94.10 - 19 J - 1,6.10 - 19 C = - 2,46   V

Invertendo o sinal: V B - V A = V C - V A = + 2,46   V

Resposta

(a) e (b): V B - V A = V C - V A = + 2,46   V

(c) V C - V B = 0

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P1-2010.2-ME01

Considere o seguinte corte perpendicular a uma família de quatro superfícies equipotenciais, associadas a um campo eletrostático. Assinale a opção que melhor indica o vetor campo elétrico em cada um dos pontos A e B, respectivamente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que o campo aponta do maior potencial para o menor. Isto advém do estudo da fórmula:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Onde o delta V tem sinal trocado da integral do campo. Ou seja, deste fato já sabemos que os campos em A e B apontam pra baixo.

Passo 2

Agora vem a parte difícil... Dois jeitos de fazer. Vamos ver qual você prefere. Podemos tratar com qualquer uma das duas fórmulas:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

E → = - ∇ V

O que você tem que saber fazer é uma análise qualitativa dessas duas fórmulas.

Passo 3

Vamos pegar a primeira. Fazer uma análise qualitativa significa que você pode chutar algumas particularizações que não comprometam a sua análise. Ou seja, são particularizações genéricas o suficiente (hahahah) pra você conseguir pensar sem estragar o problema. É sério isso. Vamos lá, vai ficar mais claro na prática. Uma boa é nós pegarmos a primeira fórmula e chutarmos que o campo é uniforme. Por conta disso ele vai sair do produto escalar e da integral:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Δ V = - E ∫ C d r

Não tem problema fazer esta particularização porque só queremos uma aproximação. Fazendo a integral para dois caminhos: um passando por A e outro passando por B , temos:

A diferença de potencial nos caminhos é igual.

Δ V = - E A ∫ C A d r