Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Teoria Completa

Introdução

Eu não sei você, mas a primeira coisa que eu faço quando abro um tópico no Responde Aí é olhar pro tamanho da barrinha na barra de rolagem (no canto direito da sua tela) pra saber se tem muito texto, ou não.

Sim! Eu sei! Assusta!

O que acontece é o seguinte... nesse tópico vamos ver casos onde calculamos o Potencial Elétrico gerado por Corpos Extensos. Por isso o material é extenso! hehehe xD

Mas, o que você precisa ter em mente aqui é: quando esse tipo de questão aparece em provas, o problema geralmente não vai querer que você simplesmente aplique a fórmula do potencial e, sim, demonstre a dedução da potencial elétrico para determinado caso.

Por isso o tamanho desse tópico assusta, porque aqui vamos fazer todas as deduções que você pode ter que usar na prova, beleza?

Então respira fundo e #PARTIUPASSAR !

Princípio que vamos utilizar

Já sabemos que uma carga puntiforme gera a uma distância d um potencial que pode ser calculado assim:

V P = k . Q d

Vale para essa situação o teorema da superposição: se tivermos duas ou mais cargas, podemos somar os potenciais gerados por cada carga isoladamente.

Com essa informação e um pouco mais de contas, a gente pode calcular o potencial elétrico gerado por um corpo extenso.

Os corpos extensos podem aparecer nas questões em três tipos:

O princípio que vamos usar em todos esses casos vai ser muitas vezes o mesmo. Começamos sempre olhando para um pedaço infinitesimal do corpo carregado.

Uma figura fala mais que mil palavras:

Devemos pegar cada pontinho do corpo, cada um com uma carga d Q e com uma distância r diferente do ponto onde queremos calcular o potencial, e somá-los (ou seja, integrar).

Esse é o chamado método da integral dos potenciais gerado por cargas infinitesimais. Existe ainda outro, o método da integral de linha do campo elétrico, onde:

Δ V = - ∫ E x → . d x →

Vamos ver mais sobre ele daqui a pouco.

Voltando ao método da integral dos potenciais gerado por cargas infinitesimais...

Quem é d Q ?

  • Quando for o caso de uma linha de cargas, vamos ter: d Q = λ . d l , onde λ é a densidade linear de cargas e d l é um pequeno pedaço unidimensional do fio;
  • Já para uma superfície de cargas, vamos ter: d Q = σ . d S , onde σ é a densidade superficial de cargas, e d S é uma pequena variação de área na superfície;
  • Finalmente, para um corpo tridimensional: d Q = ρ . d V , onde ρ é a densidade volumétrica de cargas, e d V é uma pequena variação no volume.

Potencial Elétrico em Linhas de Cargas – Caso da barra reta

Temos na figura abaixo uma barra uniformemente carregada com densidade λ :

A missão aqui é calcular o potencial num ponto arbitrário do eixo x .

Começamos olhando pra um pedaço bem pequeno dessa barra. O potencial desse ponto de carga d q e comprimento d y , num ponto arbitrário de x será:

d V = k d q r

Agora basta integrar em toda a barra para achar o potencial naquele ponto:

V r = k ∫ - a a d q r

Agora vamos trabalhar essas variáveis para conseguir fazer a integral. O d q trocamos por um diferencial de espaço usando a equação da densidade:

λ = d q d y → d q = λ d y

Obs.: Estamos utilizando d y porque a barra, nesse caso, está sobre o eixo y .

Repare que x , y e r formam um triângulo retângulo. Sendo assim, podemos expressar r em termos das outras paradas usando o Pitágoras mesmo:

r = x 2 + y 2

Substituindo lá na expressão do nosso potencial:

V x = k ∫ y = - a y = a λ d y x 2 + y 2

Sei que essa integral pode assustar, mas recentemente as provas têm vindo com fórmulas prontas para resolver essas malvadas. Dito isso, o resultado da integral será:

V x = k λ ln ⁡ x 2 + a 2 + a x 2 + a 2 - a

É, é horrível.

Mas beleza, e se fizéssemos pelo outro método? Necessariamente a resposta final tem que ser a mesma, mas vou te adiantar... seria bem mais desagradável.

“Ok! Mas como eu faço pra saber qual método eu utilizo?!”

Cara, sério... muito boa a sua pergunta! Meus olhos chegam a suar!

Na verdade, é o tipo de coisa que vai clareando com a prática, mas eu costumo fazer da seguinte forma:

  • Se o campo gerado pelo corpo é calculado pela integral do d E → Método da integral dos potenciais i n t e g r a n d o   d V ;
  • Se consigo calcular o campo pela Lei de Gauss Método da integral de linha do campo elétrico Δ V .

Como eu disse, isso fica mais claro com a prática, mas isso pode ajudar.

Potencial elétrico em linha de cargas – Caso do anel de cargas

Se você achar esse caso na prova, pode levantar e dar um abraço no seu professor, ou professora... tá liberado!

Quando um anel ou um anel cortado está carregado, fazer as integrais pra calcular o campo elétrico ou o potencial elétrico no centro do anel ou no eixo dele não gera muitas contas.

E isso por uma razão simples: o centro tem a mesma distância de todos os pontos, isso faz com que muitos termos pulem para fora da integral. Vamos ver de perto?

A pergunta aqui é: Quanto seria o potencial elétrico no ponto P em função da distância Z , do raio a e da carga q ? Bora começar pela velha fórmula que vimos lá em cima:

d V = k d q r

Primeiro precisamos descobrir quem é r . Por Pitágoras, temos:

r = z 2 + a 2

E quem seria d q ? Não importa nesse caso (pelo menos não ainda)... dá uma olhada no que vai acontecer na integral nesse caso:

V = ∫ A k . d q r = ∫ A k . d q z 2 + a 2

Vamos jogar tudo constante para fora da integral e...

V = k z 2 + a 2 . ∫ A d q

Agora, independentemente de o anel estar uniformemente carregado ou não... essa integral será justamente a carga total Q do anel, logo:

Q = ∫ A d q → V = k . Q z 2 + a 2

A resposta seria a mesma ainda que o anel estivesse quebrado, ainda que fosse um pedaço de arco de anel.

“E se o problema não me der a carga do anel?!”

Nesse caso, se o anel for uniformemente carregado, com densidade λ , você não precisa integrar para achar a carga total:

Q = 2 . π . a . λ

Já no caso em que o anel tem uma densidade linear variável, é integrar o produto dessa densidade pelos pequenos comprimentos do anel e achar a carga total.

Q = ∫ λ . d l

Potencial em Discos de Cargas

O disco acima possui uma densidade superficial σ e queremos saber qual é o potencial elétrico no ponto M da figura, que está a uma distância de z deste disco de raio R .

A ideia é dividir esse disco em infinitos disquinhos (como o disco amarelo representado acima) com uma espessura infinitesimal d r . A área infinitesimal dele vale:

A r = π . r 2 → d A d r = 2 . π . r → d A = 2 . π . r . d r

Onde 0 ≤ r ≤ R .

A carga infinitesimal de cada disquinho pode ser escrita como:

d q = σ d A = σ 2 π r d r

O potencial infinitesimal gerado por cada um deles é dado por:

d V = k . d q D ( r )

Estamos chamando a distância P M entre o disco amarelo e o ponto considerado de D ( r ) , já que essa distância depende de r . Dessa forma, D r pode ser calculada por Pitágoras:

D 2 = r 2 + z 2 → D = r 2 + z 2

Maneiro, agora vamos substituir todo mundo na fórmula do potencial:

d V = k . d q D ( r ) → d V = k . σ . 2 . π . r . d r r 2 + z 2

Vamos integrar essa expressão e tirar todo mundo que não depende de r da integral:

V = ∫ 0 R σ . k . 2 . π . r . d r r 2 + z 2 = σ . k . 2 . π . ∫ 0 R r r 2 + z 2 d r

A boa agora é utilizar substituição, onde:

a = r 2 + z 2

d a d r = 2 r → r . d r = d a 2

0 ≤ r ≤ R → z 2 ≤ a ≤ R 2 + z 2

Fazendo as substituições e resolvendo a integral, teremos, finalmente:

V = σ . k . π . ∫ z 2 z 2 + R 2 d a a = σ . k . π . 2 . a z 2 z 2 + R 2

Logo:

V = 2 . σ . k . π . z 2 + R 2 - z

Se você usar a permissividade ϵ 0 ao invés da constante k , vai encontrar o seguinte:

k = 1 4 π . ϵ 0 → V = σ 2 ϵ 0 . z 2 + R 2 - z

Obs.: Se fizermos o raio R tender ao infinito nessa equação podemos encontrar o potencial elétrico de uma placa infinita carregada. Afinal, um disco infinito se torna um plano infinito se você parar para imaginar. A ideia é notar que:

R ≫ z → z 2 + R 2 ≈ R

Beleza, até aqui usamos sempre o mesmo método, que foi começar olhando pra um pedaço infinitesimal do corpo que estamos analisando. A partir de agora vamos ver alguns corpos onde teremos que usar outro método.

Potencial Elétrico em Cilindros – Método da Integral de Linha

A ideia que temos no problema do cilindro carregado é a seguinte:

Uma casca cilíndrica se encontra dentro da outra. As duas cascas possuem comprimento muito grande, a ponto de podermos considerá-los infinitos.

Na direita vemos esses dois caras de cima: o cilindro de dentro possui raio a e está carregado positivamente + Q , enquanto o cilindro de fora possui raio b e está carregado negativamente - Q .

Obs.: Um nome pomposo para essa montagem da figura é “capacitor cilíndrico infinito” e pode ser que você encontre com esse nome nas questões da prova.

O lance é: queremos calcular o potencial elétrico para posições situadas entre os dois cilindros, ou seja:

a ≤ r ≤ b

A nossa estratégia aqui é a seguinte:

  1. Usamos a Lei de Gauss e calculamos o campo elétrico;
  2. Φ E → = ∯ G E → . d A → = Q i n t ϵ 0

  3. Utilizamos o campo elétrico para calcular o potencial elétrico.

V b - V r = - ∫ E → ∙ d r →

No entanto, antes de partir para as contas, vamos usar a figura abaixo pra analisar duas regiões: a região dentro do cilindro interior (gaussiana roxa) e a região fora do cilindro exterior (gaussiana verde).

Nos dois casos, a carga dentro da gaussiana é igual a zero!

Então, pela Lei de Gauss, nos dois casos, não há campo elétrico nenhum. Isso significa que o potencial elétrico também será igual a zero nessas regiões?

NÃO! Muito cuidado com isso! Na verdade, isso significa que o potencial nessas regiões é constante. Ou seja:

  • Para r < a → V a = V r ;
  • Para r > b → V b = V r .

Show! Agora estamos preparados pra voltar ao problema.

Precisamos saber agora o quanto ele vale na região a < r < b .

Para isso, vamos aplicar a Lei de Gauss, usando como gaussiana cilíndrica finita de raio r e comprimento L , coaxial aos outros cilindros e localizada entre eles. Dessa forma, a gaussiana apenas englobará parte do cilindro de carga + Q