Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

Teoria Completa

Introdução

Nesse tópico vamos ver casos onde calculamos o Potencial Elétrico gerado por Corpos Extensos. Por isso o material é extenso! hehehe xD

Mas, o que você precisa ter em mente aqui é: quando esse tipo de questão aparece em provas, o problema geralmente não vai querer que você simplesmente aplique a fórmula do potencial e, sim, demonstre a dedução do potencial elétrico para determinado caso.

Por isso o tamanho desse tópico assusta, porque aqui vamos fazer todas as deduções que você pode ter que usar na prova, beleza?

Princípio que vamos utilizar

Já sabemos que uma carga puntiforme gera a uma distância d um potencial que pode ser calculado assim:

V P = k . Q d

Vale para essa situação o teorema da superposição: se tivermos duas ou mais cargas, podemos somar os potenciais gerados por cada carga isoladamente. Com essa informação e um pouco mais de contas, a gente pode calcular o potencial elétrico gerado por um corpo extenso.

Começamos sempre olhando para um pedaço infinitesimal do corpo carregado.

Devemos pegar cada pontinho do corpo, cada um com uma carga d Q e com uma distância r diferente do ponto onde queremos calcular o potencial, e somá-los (ou seja, integrar).

Esse é o chamado método da integral dos potenciais gerado por cargas infinitesimais.

Potencial Elétrico em Linhas de Cargas – Caso da barra reta

Temos na figura abaixo uma barra uniformemente carregada com densidade λ :

A missão aqui é calcular o potencial num ponto arbitrário do eixo x .

Começamos olhando pra um pedaço bem pequeno dessa barra. O potencial desse ponto de carga d q e comprimento d y , num ponto arbitrário de x será:

d V = k d q r

Agora basta integrar em toda a barra para achar o potencial naquele ponto:

V r = k ∫ - a a d q r

Agora vamos trabalhar essas variáveis para conseguir fazer a integral. O d q trocamos por um diferencial de espaço usando a equação da densidade linear de cargas:

λ = d q d y → d q = λ d y

Obs.: Estamos utilizando d y porque a barra, nesse caso, está sobre o eixo y .

Repare que x , y e r formam um triângulo retângulo. Sendo assim, podemos expressar r em termos das outras paradas usando o Pitágoras mesmo:

r = x 2 + y 2

Substituindo lá na expressão do nosso potencial:

V x = k ∫ - a a λ d y x 2 + y 2

E colocando o que é constante para fora:

V x = k λ ∫ - a a d y x 2 + y 2

Sei que essa integral pode assustar, mas recentemente as provas têm vindo com fórmulas prontas para resolver essas malvadas. Dito isso, o resultado da integral será:

V x = k λ ln ⁡ x 2 + y 2 + y | a - a

E substituindo os limites de integração:

V x = k λ ln ⁡ x 2 + a 2 + a - ln ⁡ x 2 + - a 2 - a

Agora é só organizar o logaritmo, lembrando que a subtração de logaritmos é o logaritmo da divisão:

V x = k λ ln ⁡ x 2 + a 2 + a x 2 + a 2 - a

E fechou!! Mas e se a questão não tivesse dado o λ , mas sim a carga total Q da barra?

Nesse caso, como a carga está distribuída uniformemente, a gente pode substituir o λ dessa forma:

λ = Q L

V x = k Q L ln ⁡ x 2 + a 2 + a x 2 + a 2 - a

Potencial elétrico em linha de cargas – Caso do anel de cargas

Se você achar esse caso na prova, pode levantar e dar um abraço no seu professor, ou professora... tá liberado!

E isso por uma razão simples: o centro tem a mesma distância de todos os pontos, isso faz com que muitos termos pulem para fora da integral. Vamos ver de perto?

A pergunta aqui é: Quanto seria o potencial elétrico no ponto P em função da distância z , do raio a e da carga Q ? Bora começar pela velha fórmula que vimos lá em cima:

d V = k d q r

Primeiro precisamos descobrir quem é r . Por Pitágoras, temos:

r = z 2 + a 2

E quem seria d q ? É o pedacinho infinitesimal de carga no anel, quando integrarmos vamos somar todos esses pedacinhos ao longo do anel, beleza?

V z = ∫ A k . d q r = ∫ A k . d q z 2 + a 2

Vamos jogar tudo constante para fora da integral e...

V z = k z 2 + a 2 . ∫ A d q

Agora, independentemente de o anel estar uniformemente carregado ou não... essa integral será justamente a carga total Q do anel, logo:

∫ A d q = Q

V z = k . Q z 2 + a 2

“E se o problema não me der a carga do anel?!”

Nesse caso, se o anel for uniformemente carregado, dizemos que ele tem uma densidade linear de cargas uniforme:

λ = Q L → Q = L λ

E o comprimento L do anel é o comprimento de uma circunferência:

L = 2 . π . a

Q = 2 . π . a . λ

V z = k . 2 . π . a . λ z 2 + a 2

Já no caso em que o anel tem uma densidade linear variável, a gente vai integrar o produto dessa densidade pelos pequenos comprimentos do anel e achar a carga total.

Q = ∫ λ . d l

Mas e se o anel que aparecer na prova tiver essa carinha aqui?

Calma, calma! Se esse anel cair na prova é muito simples, o jeito de calcular o potencial elétrico é o mesmo!

Q = ∫ A d q

V = k . Q z 2 + a 2

Isso acontece porquê essa integral não depende do comprimento do anel, mas sim das cargas contidas ao longo dele.

Potencial em Discos de Cargas

O disco acima possui uma densidade superficial de cargas σ e queremos saber qual é o potencial elétrico no ponto P da figura, que está a uma distância de z deste disco de raio R .

A ideia é dividir esse disco em infinitos disquinhos (como o disco azul representado acima) e que estão afastados do ponto P por uma distância d .

O potencial infinitesimal gerado por cada disquinho desses é o seguinte:

d V = k . d q d

A carga de cada disquinho desses é dada pela densidade superficial de cargas:

σ = d q d A

d q = σ d A

Para encontrar a área infinitesimal, precisamos derivar a área de um disco, que é uma circunferência:

A = π . r 2

d A d r = π . 2 . r

d A = 2 . π . r . d r

Substituindo d A = 2 π r d r :

d q = σ 2 π r d r

Agora, falta encontrarmos a distância d , para isso, vamos olhar o triângulo retângulo formado:

Dessa forma, d pode ser calculada por Pitágoras:

d 2 = r 2 + z 2 → d = r 2 + z 2

Maneiro, agora vamos substituir todo mundo na fórmula do potencial:

d V = k . d q D ( r ) → d V = k . σ . 2 . π . r . d r r 2 + z 2

Vamos integrar essa expressão e tirar todo mundo que não depende de r da integral:

V z = ∫ 0 R σ . k . 2 . π . r . d r r 2 + z 2 = σ . k . 2 . π . ∫ 0 R r r 2 + z 2 d r

A boa agora é utilizar substituição, onde:

a = r 2 + z 2

d a d r = 2 r → r . d r = d a 2

E os nossos limites de integração

0 ≤ r ≤ R

agora vão ficar com essa cara aqui:

z 2 ≤ a ≤ R 2 + z 2

Fazendo as substituições e resolvendo a integral, teremos, finalmente:

V z = σ . k . π . ∫ z 2 z 2 + R 2 d a a = σ . k . π . 2 a z 2 z 2 + R 2

Substituindo os limites de integração:

V z = 2 . σ . k . π z 2 + R 2 - z 2

Logo:

V z = 2 . σ . k . π . z 2 + R 2 - z

E se a questão não tiver te dado a densidade superficial σ , mas tiver dado a carga total do disco Q , é só substituir sabendo que como a carga está uniformemente distribuída:

σ = Q A = Q π R 2

V z = 2 . Q . k R 2 z 2 + R 2 - z

Até aqui usamos sempre o mesmo método, que foi começar olhando pra um pedaço infinitesimal do corpo que estamos analisando.

Bora fazer uns exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P1-2010.1-Múltipla Escolha n°4.

A figura à seguir mostra esquematicamente uma seção transversal de um objeto condutor maciço (de carga elétrica total nula) colocado em um campo eletrostático externo, após atingido o equilíbrio eletrostático.

Algumas das linhas de campo elétrico, parcialmente desenhadas na figura, estão erradas e não podem corresponder a uma situação física real. Assinale a seguir cada linha impossível.

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
  6. 6
  7. 7

[Atenção: nesta questão pode haver mais de um item correto].

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Ok então. Vamos analisar as linhas de campo desta batata uma por uma, só que antes vamos estabelecer alguns critérios que impossibilitariam uma linha de campo de existir numa situação de equilíbrio eletrostático:

  1. Não podem haver linhas de campo dentro do objeto condutor em equilíbrio eletrostático;
    1. Pois isto implicaria em ter cargas em movimento dentro dele.
  • A linha de campo deve fazer 90 º com a superfície do objeto;
    1. Caso contrário haveria uma componente tangente à superfície, o que implicaria nela não ser uma superfície equipotencial (algo obrigatório no equilíbrio eletrostático)
  • Não podem haver linhas de campo que saem da superfície do objeto e voltam até ela.
    1. Caso contrário ela não seria uma superfície equipotencial.
  • Passo 2

    Passando nosso crivo por cada uma das linhas de campo:

    • A primeira linha desobedece nosso segundo critério.
    • A segunda linha de campo está Ok.
    • A terceira está Ok.
    • A quarta, por outro lado, desobedece claramente nosso primeiro critério.
    • A quinta claramente desobedece nosso terceiro critério.
    • A sexta está Ok.
    • A sétima está Ok.

    Resposta

    Letras a, d e e.

    Exercício Resolvido #2

    Halliday, Resnick David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 101-24.

    Uma barra de plástico com uma carga uniformemente distribuída Q = - 25,6   p C tem a forma de um arco de circunferência de raio R = 3,71   c m e um ângulo central ϕ = 120 º . Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto P , o centro de curvatura da barra?

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Escrever a contribuição infinitesimal de cada ponto do arco de circunferência para o potencial elétrico no ponto P

    d V = K . d Q R

    Passo 2

    Integrar as contribuições do passo anterior.

    V P = ∫ A R C O d V = ∫ A R C O K . d Q R = K R . ∫ A R C O d Q = K . Q R = 9.10 9 . - 25,6.10 - 12 3,71.10 - 2 = - 6,2   V

    Note que o ângulo não foi importante na determinação do resultado.

    Resposta

    V P = - 6,2   V

    Exercício Resolvido #3

    David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 107-104.

    A figura abaixo mostra três arcos de circunferência não-condutores de raio R = 8,50   cm