Ok então. Vamos analisar as linhas de campo desta batata uma por uma, só que antes vamos estabelecer alguns critérios que impossibilitariam uma linha de campo de existir numa situação de equilíbrio eletrostático:

1. Não podem haver linhas de campo dentro do objeto condutor em equilíbrio eletrostático;
   1. Pois isto implicaria em ter cargas em movimento dentro dele.

A linha de campo deve fazer com a superfície do objeto;

1. Caso contrário haveria uma componente tangente à superfície, o que implicaria nela não ser uma superfície equipotencial (algo obrigatório no equilíbrio eletrostático)

Não podem haver linhas de campo que saem da superfície do objeto e voltam até ela.

1. Caso contrário ela não seria uma superfície equipotencial.

Passando nosso crivo por cada uma das linhas de campo:

• A primeira linha desobedece nosso segundo critério.
• A segunda linha de campo está Ok.
• A terceira está Ok.
• A quarta, por outro lado, desobedece claramente nosso primeiro critério.
• A quinta claramente desobedece nosso terceiro critério.
• A sexta está Ok.
• A sétima está Ok.

Escrever a contribuição infinitesimal de cada ponto do arco de circunferência para o potencial elétrico no ponto

Integrar as contribuições do passo anterior.

Note que o ângulo não foi importante na determinação do resultado.

Como nós possuímos três arcos carregados, o potencial resultante será a soma dos potenciais. Então temos que calcular o potencial de cada um desses arcos.

O fato de serem arcos pode acabar te deixando na dúvida. Mas relaxa, é mais simples do que parece.

Vamos supor que a gente não saiba como resolver o problema e achássemos que íamos ter que pensar na distribuição de carga.

O procedimento aqui consistiria em pegar o potencial de uma carga pontual do corpo no centro e integra-lo no corpo todo. Como essa carga é infinitesimalmente pequena se comparada ao corpo, nós montamos a integral assim:

Assim, como o raio é constante, o potencial de cada arco será dado por:

Portanto:

Viu? Não precisa se preocupar com as distribuições, já que a distância de qualquer elemento infinitesimal para o centro vai ser sempre . Então não tem porque se preocupar.

Vamos adiante.

Como eu falei antes, o potencial resultante será a soma dos potenciais. Sendo assim:

Onde e .

Onde:

;

;

;

Logo:

1. Qual é o valor de no ponto situado a uma distância acima do ponto médio da barra?

Como a barra é uniformemente carregada, o procedimento aqui consiste de pegar o potencial de uma carga pontual do corpo no ponto e integra-lo no corpo todo.

Como essa carga é infinitesimalmente pequena se comparada ao corpo, nós montamos a integral assim:

Passo 2

É sempre bom analisar graficamente isso para poder montar a integral corretamente.

A ideia é basicamente essa:



Daqui podemos tirar algumas conclusões... a primeira é que pode ser escrito como:

Outra coisa que podemos tirar daqui é: como a barra é uniformemente carregada, nós podemos usar a densidade linear de carga pra tentar facilitar a nossa vida:

Substituindo na expressão que encontramos para o potencial:

Basicamente, a questão sobre potencial já acabou, o problema agora é resolver essa integral escrota.

Vou colocar logo pra você a resposta dessa integral.

Onde:

;

;

;

Partiu!

Passo 3

2. Para a figura , qual o valor de no ponto ?

Bom, antes de começar a esquentar a cabeça, vamos dar uma olhada na simetria do problema.

Como metade da barra é positiva e a outra metade é negativa, vamos pegar dois pontos simétricos em relação ao centro, com cargas de módulo , e ver como se comporta o potencial no ponto .

Graficamente, a ideia é basicamente essa

O potencial resultante desses dois elementos de carga, vai ser a soma dos dois potenciais. Portanto:

Eita! Se isso é verdade para quaisquer dois pontos simétricos, isso vai acontecer para toda a barra.

Portanto:

É razoável pensar também que, como as duas metades são iguais, mas com cargas de sinais opostos e como o potencial elétrico é uma grandeza escalar e não vetorial, as duas metades vão produzir o mesmo potencial, em módulo, no ponto , mas de sinais opostos.

Assim, quando for somar as duas, o resultado vai ser nulo.

Bom, como ele pediu o potencial primeiro, eu acho mais jogo calcularmos somando potenciais infinitesimalmente pequenos de cada partícula do fio no ponto com . Então partiu:

Temos que a fórmula do potencial infinitesimal é:

Trocando o diferencial das cargas pela fórmula da densidade:

O diferencial é pois o fio está ao longo de :

Substituindo:

Botando a densidade:

Pelo desenho tiramos que:

Analogamente tiramos os limites de integração:

Arrumando na vida:

Substituindo a fórmula da densidade:

Como estamos integrando no intervalo temos tanto negativo quanto positivo. Substituindo a definição do módulo de :

Arrumando mais:

A integral nós matamos com substituição simples:

Resolvemos a indefinida:

Então segue que:

Como , então , assim

Ufa. Portanto temos nosso potencial! Se você quiser substituir a constante , a resposta vai ficar:

Continuando, nós desejamos calcular a componente do campo elétrico. Dado que nós temos o potencial, achar o campo é moleza para fórmula abaixo:

Que é o operador de derivadas parciais. Portanto a componente vai ser o potencial derivado com relação a com sinal trocado:

Vê se não me esquece de trocar o sinal pfv! Partiu derivar:

Temos então:

E

O nosso campo ficará

Se quiser substituir o valor de , a resposta fica:

Para obter a carga total basta integrar a densidade na barra toda:

Manipulando a função módulo:

Como estamos tratando de anéis, a boa aqui é integral do potencial infinitesimal:

A expressão para ele nós temos da carga pontual:

Vamos fazer integrais separadas para cada anel. Para o de centro em temos:

Como o triângulo verde é retângulo no vértice em que está , jogamos o Pitágoras:

Note como a distância é a mesma para todos os pontos do anel. Isso facilita a integral demaaaaais:

Se você se sentir mais confortável mostrando isso matematicamente, fique à vontade. Basta mostrar que o não está em função de .

Integrando infinitesimais em todo o anel obtemos a carga total deste:

Pela mesma lógica fazemos para o anel de centro em . Neste caso temos:

O potencial total é só a soma dos potenciais:

Fim de papo.

Dado que temos o potencial, achar o campo é moleza!!! Basta usar a fórmula do bem:

Onde o triangulo de cabeça pra baixo é o nosso operador de derivadas parciais:

Fazendo isso para o potencial, temos:

Já as outras derivadas, graças à Deus, dão zero pois o potencial não depende de nem de :

Logo: