Potencial Elétrico de Corpos Extensos

Teoria Completa

E ai? Beleza, nós somos o RespondeAi, e fazemos de tudo para você mandar bem na sua prova de Física da faculdade. No tópico de hoje estaremos interessados em entender como calcular o Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos! Então vamos começar lembrando o que é Potencial Elétrico e como fazemos para calcular ele na faculdade.

Teoricamente temos que, o potencial a uma dada distância $P$ de uma partícula é dada pela fórmula:

Mas para calcular o potencial elétrico de um corpo extenso precisamos calcular a carga elétrica de cada partícula que faz parte do objeto, e não de apenas uma delas. Nem sempre isso é uma tarefa fácil, porque alguns detalhes dependem da forma do objeto, mas em todos os casos vamos ter que usar nossos conhecimentos de calculo diferencial para descobrir esses potencias elétricos.

Como um exemplo vamos calcular o potencial elétrico de uma barra reta sobre o eixo $y$, conforme a figura:

Na maioria das questões que tivermos que calcular o potencial elétrico gerado por um corpo extenso, será dito para você que a carga está uniformemente distribuída sobre o corpo e apesar de muitos relevarem essa informação ela é importantíssima. Porque a maneira em que as cargas estão distribuídas sobre o corpo, influencia diretamente sobre densidade de carga de cada pedaço infinitesimal do objeto.

Com essa densidade de carga uniforme, podemos escrever que:

$$\lambda = \frac{dq}{dy}$$

Que quer dizer que para qualquer pedacinho infinitesimal $dq$ da barra que selecionarmos sobre qualquer pedacinho do eixo $y$ $(dy)$, teremos sempre a mesma densidade de carga $\lambda$. Pare bem para absorver essa parte... Releia se for necessário! E não se esquece de dar uma olhada na figura!

Tente visualizar que a nossa ideia vai ser percorrer todo o eixo $y$ de $-a$ até $a$, pegando todos os possíveis $dq$'s que encontrarmos pelo caminho, e somar todos eles.... Se ainda não esta claro isso para você, não se preocupe, vamos continuar com nosso raciocínio...

Da relação entre a densidade de carga e os elementos infinitesimais, escrevemos:

$$dq = \lambda\text{ }dy$$

Bom já lembramos que a fórmula de potencial elétrico é:

$$V=k\frac{q}{r}$$

Mas como estamos lidando com grandezas infinitesimais, escrevemos:

$$dV=k\frac{dq}{r}$$

E para voltarmos para $V$ temos que integrar dos dois lados, e do lado direito é importante que a gente percorra todo o eixo $y$ de $-a$ até $a$, que são os limites da nossa barra:

$$V = k\int_{-a}^{a}\frac{dq}{r}$$

É agora que usamos a relação que tiramos da densidade de carga, quando isolamos $dq$. Isolando $dq$ podemos fazer uma substituição e mudar nossa variável infinitesimal, de $q$ para $y$.

Sempre nesse tipo de exercício será necessário que você retire $dq$ da integral, no nosso caso temos que mudar para $dy$ porque esse é o eixo em que iremos percorrer integrando de $-a$ até $a$.

Realizando a substituição:

$$V=k\int_{-a}^{a}\frac{\lambda\text{ }dy}{r}$$

Porém temos que reparar que $r$ também ainda está fora do nosso sistema de coordenadas, ou seja, precisamos escrever ele em função de $x$ e $y$. Mas isso é simples para quem manja de trigonometria, pela figura podemos observar que existe um triângulo retângulo, e pelo teorema de Pitágoras podemos escrever:

$$r = \sqrt{x^2+y^2}$$

E finalmente chegamos na integral que define o potencial elétrico de uma barra carregada com uma distribuição de carga uniforme:

$$V=k\lambda\int_{-a}^{a}\frac{dy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Resolvendo essa integral, avaliando para $-a$ e $a$ e brincando algebricamente com os logaritmos que aparecem na resposta, encontramos que:

$$V(x)=k\lambda\ln{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+a}{\sqrt{x^2+y^2}-a}}$$

Caso o exercício não de para você o valor de densidade de carga, você pode descobrir ele você mesmo. Mas isso só é válido por estarmos tratando de uma distribuição uniforme, então podemos escrever que:

$$\lambda=\frac{Q}{L}$$

E por isso muitos escrevem que para uma barra com distribuição uniforme de cargas, o potencial a uma distância $x$ do centro da barra vale:

$$V(x)=k\frac{Q}{L}\ln{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+a}{\sqrt{x^2+y^2}-a}}$$

UFA! Esse foi fogo, e se eu te falasse, que existem raciocínios muito parecidos para um objeto com formato de Anel, para um objeto em formato de Discos e para outros tipos de objetos?

E se eu te falasse que você encontra todos esses raciocínios dentro do nosso tópico de Potencial Elétrico Geral por Corpos Extensos? E outros objetos mais bizarros ainda dentre os exercícios resolvidos pela nossa equipe de Experts? Sei que a matéria não é simples, mas vamos seguir firme e forte na faculdade com o conteúdo do RespondeAi que foi feito especialmente pensando em você!

Exercício

Aproveita e mergulha de cabeça nesse vídeo com menos de 10 minutos que traz para você uma resolução de uma questão de prova da PUC-Rio, onde o enunciado pede para calcular o potencial elétrico de um anel não condutor:

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Exercício Resolvido #1

UFRJ-P1-2010.1-Múltipla Escolha n°4.

A figura à seguir mostra esquematicamente uma seção transversal de um objeto condutor maciço (de carga elétrica total nula) colocado em um campo eletrostático externo, após atingido o equilíbrio eletrostático.

Algumas das linhas de campo elétrico, parcialmente desenhadas na figura, estão erradas e não podem corresponder a uma situação física real. Assinale a seguir cada linha impossível.

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5
  6. 6
  7. 7

[Atenção: nesta questão pode haver mais de um item correto].

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Passo 1

Ok então. Vamos analisar as linhas de campo desta batata uma por uma, só que antes vamos estabelecer alguns critérios que impossibilitariam uma linha de campo de existir numa situação de equilíbrio eletrostático:

  1. Não podem haver linhas de campo dentro do objeto condutor em equilíbrio eletrostático;
    1. Pois isto implicaria em ter cargas em movimento dentro dele.
  • A linha de campo deve fazer 90 º com a superfície do objeto;
    1. Caso contrário haveria uma componente tangente à superfície, o que implicaria nela não ser uma superfície equipotencial (algo obrigatório no equilíbrio eletrostático)
  • Não podem haver linhas de campo que saem da superfície do objeto e voltam até ela.
    1. Caso contrário ela não seria uma superfície equipotencial.
  • Passo 2

    Passando nosso crivo por cada uma das linhas de campo:

    • A primeira linha desobedece nosso segundo critério.
    • A segunda linha de campo está Ok.
    • A terceira está Ok.
    • A quarta, por outro lado, desobedece claramente nosso primeiro critério.
    • A quinta claramente desobedece nosso terceiro critério.
    • A sexta está Ok.
    • A sétima está Ok.

    Resposta

    Letras a, d e e.

    Exercício Resolvido #2

    Halliday, Resnick David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 101-24.

    Uma barra de plástico com uma carga uniformemente distribuída Q = - 25,6   p C tem a forma de um arco de circunferência de raio R = 3,71   c m e um ângulo central ϕ = 120 º . Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto P , o centro de curvatura da barra?

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    Passo 1

    Escrever a contribuição infinitesimal de cada ponto do arco de circunferência para o potencial elétrico no ponto P

    d V = K . d Q R

    Passo 2

    Integrar as contribuições do passo anterior.

    V P = ∫ A R C O d V = ∫ A R C O K . d Q R = K R . ∫ A R C O d Q = K . Q R = 9.10 9 . - 25,6.10 - 12 3,71.10 - 2 = - 6,2   V

    Note que o ângulo não foi importante na determinação do resultado.

    Resposta

    V P = - 6,2   V

    Exercício Resolvido #3

    David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 107-104.

    A figura abaixo mostra três arcos de circunferência não-condutores de raio R = 8,50   cm .

    As cargas dos arcos são q 1 = 4,52   pC , q 2 = - 2,00   q 1 e q 3 = + 3,00   q 1 . Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico dos arcos no centro da curvatura?

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    Passo 1

    Como nós possuímos três arcos carregados, o potencial resultante será a soma dos potenciais. Então temos que calcular o potencial de cada um desses arcos.

    O fato de serem arcos pode acabar te deixando na dúvida. Mas relaxa, é mais simples do que parece.

    Vamos supor que a gente não saiba como resolver o problema e achássemos que íamos ter que pensar na distribuição de carga.

    O procedimento aqui consistiria em pegar o potencial de uma carga pontual do corpo no centro e integra-lo no corpo todo. Como essa carga é infinitesimalmente pequena se comparada ao corpo, nós montamos a integral assim:

    d V = k d q r

    Assim, como o raio é constante, o potencial de cada arco será dado por:

    V = k R ∫ d q

    Portanto:

    V = k q R

    Viu? Não precisa se preocupar com as distribuições, já que a distância de qualquer elemento infinitesimal d q para o centro vai ser sempre R . Então não tem porque se preocupar.

    Vamos adiante.

    Passo 2

    Como eu falei antes, o potencial resultante será a soma dos potenciais. Sendo assim:

    V = V 1 + V 2 + V 3

    V = k q 1 R + k q 2 R + k q 3 R

    Onde q 2 = - 2 q 1 e q 3 = 3 q 1 .

    V = k q 1 R - 2 k q 1 R + 3 k q 1 R

    V = k q 1 R 1 - 2 + 3

    V = 2 k q 1 R

    Onde:

    k = 9 × 10 9   N m 2 / C 2 ;

    q 1 = 4,52   pC = 4,52 × 10 - 12   C ;

    R = 8,50   cm = 8,5 × 10 - 2   m ;

    Logo:

    V = 2 × 9 × 10 9 × 4,52 × 10 - 12 8,5 × 10 - 2

    V = 0,957   V

    Resposta

    V = 0,957   V

    Exercício Resolvido #4

    David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 101-25 – Modificada
    1. A figura ( a ) a seguir mostra uma barra não-condutora de comprimento L = 6,00   m e densidade linear de cargas positiva uniforme λ = + 3,68   pC/m . Tome V = 0 no infinito.
    2. Qual é o valor de V no ponto P situado a uma distância d = 8,00   m acima do ponto médio da barra?

    3. A figura b mostra uma barra idêntica à do item a , exceto pelo fato de que a metade direta agora está carregada negativamente;

    O valor absoluto da densidade linear de cargas continua a ser 3,68   pC/m em toda a barra. Com V = 0 no infinito, qual o valor de V no ponto P ?

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    1. Qual é o valor de V no ponto P situado a uma distância d = 8,00   m acima do ponto médio da barra?
    2. Como a barra é uniformemente carregada, o procedimento aqui consiste de pegar o potencial de uma carga pontual do corpo no ponto P e integra-lo no corpo todo.

      Como essa carga é infinitesimalmente pequena se comparada ao corpo, nós montamos a integral assim:

      d V = k d q r

      V P = k ∫ d q r

      Passo 2

      É sempre bom analisar graficamente isso para poder montar a integral corretamente.

      A ideia é basicamente essa:

      Daqui podemos tirar algumas conclusões... a primeira é que r pode ser escrito como:

      r = x 2 + d 2

      Outra coisa que podemos tirar daqui é: como a barra é uniformemente carregada, nós podemos usar a densidade linear de carga pra tentar facilitar a nossa vida:

      λ = d q d x

      d q = λ d x

      Substituindo na expressão que encontramos para o potencial:

      V P = k λ ∫ - 3 3 d x x 2 + d 2

      Basicamente, a questão sobre potencial já acabou, o problema agora é resolver essa integral escrota.

      Vou colocar logo pra você a resposta dessa integral.

      V P = k λ ln ⁡ d 2 + x 2 + x - 3 3

      V P = k λ ln ⁡ d 2 + 9 + 3 - ln ⁡ d 2 + 9 - 3

      V P = k λ ln ⁡ d 2 + 9 + 3 d 2 + 9 - 3

      Onde:

      d = 8   m ;

      k = 9 × 10 9 N m 2 / C 2 ;

      λ = + 3,68   pC/m = 3,68 × 10 - 12  C/m ;

      Partiu!

      V P = 9 × 10 9 × 3,68 × 10 - 12 × ln ⁡ 8 2 + 9 + 3 8 2 + 9 - 3

      V P = 24,29   mV

      Passo 3

    3. Para a figura b , qual o valor de V no ponto P ?

    Bom, antes de começar a esquentar a cabeça, vamos dar uma olhada na simetria do problema.

    Como metade da barra é positiva e a outra metade é negativa, vamos pegar dois pontos simétricos em relação ao centro, com cargas de módulo d q , e ver como se comporta o potencial no ponto P .

    Graficamente, a ideia é basicamente essa

    O potencial resultante desses dois elementos de carga, vai ser a soma dos dois potenciais. Portanto:

    d V = d V + + d V -

    d V = + k d q r - k d q r = 0

    Eita! Se isso é verdade para quaisquer dois pontos simétricos, isso vai acontecer para toda a barra.

    Portanto:

    V P = 0

    É razoável pensar também que, como as duas metades são iguais, mas com cargas de sinais opostos e como o potencial elétrico é uma grandeza escalar e não vetorial, as duas metades vão produzir o mesmo potencial, em módulo, no ponto P , mas de sinais opostos.

    Assim, quando for somar as duas, o resultado vai ser nulo.

    Resposta

    1. V P = 24,29   mV ;
    2. V P = 0 ;

    Exercício Resolvido #5

    UFRJ-P1-2010.1-D2

    Um fio retilíneo fino, de comprimento 2 L , está postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na origem desse. A densidade linear de carga de tal fio é dada por:

    λ x = λ 0 x L

    Onde λ 0 = c t e .

    1. Calcule o potencial eletrostático V x = 0 , y , z = 0 para um ponto arbitrário no eixo cartesiano Y , com ordenada y > 0 . Faça, como usual, o potencial igual a zero no infinito [Sugestão: lembre-se que, para x > 0 temos simplesmente x = x ao passo que para x < 0 temos x = - x ].
    2. Calcule, agora, a componente y do vetor campo elétrico E y x = 0 , y , z = 0 em tal ponto;
    3. Determine, por fim, a carga total de tal fio.
    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Bom, como ele pediu o potencial primeiro, eu acho mais jogo calcularmos somando potenciais infinitesimalmente pequenos de cada partícula do fio no ponto 0 , y , 0 com y > 0 . Então partiu:

    V = ∫ fio   d V

    Temos que a fórmula do potencial infinitesimal é:

    d V = k d q r

    Passo 2

    Trocando o diferencial das cargas pela fórmula da densidade:

    λ x = d q d x → d q = λ x d x

    O diferencial é d x pois o fio está ao longo de O x :

    Substituindo:

    V = ∫ fio   k d q r

    Botando a densidade:

    V = ∫ fio   k λ x d x r

    Passo 3

    Pelo desenho tiramos que:

    r 2 = x 2 + y 2

    Analogamente tiramos os limites de integração:

    V = ∫ - L L k λ x d x x 2 + y 2

    Arrumando na vida:

    V = k ∫ - L L λ x d x x 2 + y 2

    Passo 4

    Substituindo a fórmula da densidade:

    V = k ∫ - L L λ 0 x d x L x 2 + y 2

    Como estamos integrando no intervalo - L < x < L temos tanto x negativo quanto positivo. Substituindo a definição do módulo de x :

    V = k λ 0 L ∫ - L 0 - x d x x 2 + y 2 + ∫ 0 L x d x x 2 + y 2

    Arrumando mais:

    V = k λ 0 L ∫ 0 L x d x x 2 + y 2 + ∫ 0 L x d x x 2 + y 2

    V = 2 k λ 0 L ∫ 0 L x d x x 2 + y 2

    Passo 5

    A integral nós matamos com substituição simples:

    v = x 2 + y 2

    d v = 2   x   d x

    x d x x 2 + y 2 ≡ ( d v / 2 ) v

    Resolvemos a indefinida:

    I * = ∫ d v 2 v

    I * = x 2 + y 2

    Então segue que:

    V = 2 k λ 0 L x 2 + y 2 x = 0 x = L

    V = 2 k λ 0 L L 2 + y 2 - y 2

    Como y > 0 , então y 2 = y , assim

    V = 2 k λ 0 L L 2 + y 2 - y

    Ufa. Portanto temos nosso potencial! Se você quiser substituir a constante k = 1 4 π ϵ 0 , a resposta vai ficar:

    V = λ 0 2 π ϵ 0 L L 2 + y 2 - y

    Passo 6

    Continuando, nós desejamos calcular a componente y do campo elétrico. Dado que nós temos o potencial, achar o campo é moleza para fórmula abaixo:

    E → = - ∇ V

    Que é o operador de derivadas parciais. Portanto a componente y vai ser o potencial V derivado com relação a y com sinal trocado:

    E y = - ∂ V ∂ y

    E y = - ∂ ∂ y 2 k λ 0 L L 2 + y 2 - y

    Vê se não me esquece de trocar o sinal pfv! Partiu derivar:

    E y = - 2 k λ 0 L ∂ ∂ y L 2 + y 2 - ∂ ∂ y y

    Temos então:

    ∂ ∂ y L 2 + y 2 = y L 2 + y 2

    E

    ∂ ∂ y y = 1

    O nosso campo ficará

    E y = 2 k λ 0 L 1 - y L 2 + y 2

    Se quiser substituir o valor de k = 1 4 π ϵ 0 , a resposta fica:

    E y = λ 0 2 π ϵ 0 L 1 - y L 2 + y 2

    Passo 7

    Para obter a carga total basta integrar a densidade na barra toda:

    d q = λ x d x

    Q total = ∫ - L L λ 0 x L d x

    Manipulando a função módulo:

    Q total = ∫ - L 0 λ 0 - x L d x + ∫ 0 L λ 0 x L d x

    Q total = ∫ 0 L λ 0 x L d x + ∫ 0 L λ 0 x L d x

    Q total = 2 ∫ 0 L λ 0 x L d x

    Q total = λ 0 L x 2 0 L

    Q total = λ 0 L L 2

    Q total = λ 0 L

    Resposta

    V = λ 0 2 π ϵ 0 L L 2 + y 2 - y

    E y = λ 0 2 π ϵ 0 L 1 - y L 2 + y 2

    Q total = λ 0 L

    Exercício Resolvido #6

    UFRJ-P1-2014.1-D2

    Dois anéis circulares, de mesmo raio L , perpendiculares ao eixo O x , tem seus centros em x = - L e x = L . Ambos possuem a mesma carga total Q , uniformemente distribuída.

    1. Determine o potencial elétrico devido aos anéis, em um ponto genérico do eixo O x , com abscissa x , tomando tal potencial como zero no infinito ( x → ∞ ).
    2. Usando o potencial do item (a), determine o campo elétrico devido aos anéis, no mesmo ponto supracitado.
    3. Considere agora uma partícula de carga q , ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial associada à interação dessa partícula com o campo elétrico produzido pelos anéis!

    MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

    Passo 1

    Como estamos tratando de anéis, a boa aqui é integral do potencial infinitesimal:

    V = ∫ d V

    A expressão para ele nós temos da carga pontual:

    d V = k d q r

    Vamos fazer integrais separadas para cada anel. Para o de centro em - L temos:

    Passo 2

    Como o triângulo verde é retângulo no vértice em que está x = - L , jogamos o Pitágoras: r = L 2 + x + L 2

    Note como a distância é a mesma para todos os pontos do anel. Isso facilita a integral demaaaaais:

    V - L = ∫ a n e l   k d q L 2 + x + L 2

    V - L = k L 2 + x + L 2 ∫ a n e l   d q

    Se você se sentir mais confortável mostrando isso matematicamente, fique à vontade. Basta mostrar que o d q não está em função de d x .

    Passo 3

    Integrando infinitesimais d q em todo o anel obtemos a carga total deste:

    V - L = k L 2 + x + L 2 Q

    Pela mesma lógica fazemos para o anel de centro em x = L . Neste caso temos:

    r = L 2 + x - L 2

    V + L = k L 2 + x - L 2 ∫ a n e l   d q

    V + L = k L 2 + x - L 2 Q

    O potencial total é só a soma dos potenciais:

    V = V - L + V + L

    V = k Q L 2 + x + L 2 + k Q L 2 + x - L 2

    Fim de papo.

    Passo 4

    Dado que temos o potencial, achar o campo é moleza!!! Basta usar a fórmula do bem:

    E → = - ∇ V

    Onde o triangulo de cabeça pra baixo é o nosso operador de derivadas parciais:

    ∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

    Fazendo isso para o potencial, temos:

    E x = - ∂ V ∂ x

    E x = - ∂ ∂ x k Q L 2 + x + L 2 + k Q L 2 + x - L 2

    E x = - k Q ∂ ∂ x L 2 + x + L 2 - 1 2 + L 2 + x - L 2 - 1 2

    E x = - k Q - 1 2 L 2 + x + L 2 - 3 2 × 2 x + L - 1 2 L 2 + x - L 2 - 3 2 × 2 x - L