Energia Potencial e Trabalho

Teoria Completa

Introdução

Quando a gente fala de questões de energia potencial e trabalho, vamos tratar de três situações possíveis:

1 - Questões de cargas espalhadas no espaço.

2 - Questões de dipolo elétrico

3 - Questões de densidade de energia

Bora dar uma olhada em cada uma delas?

Cargas Espalhadas no Espaço

Vimos já algumas situações em que cargas positivas e negativas estão paradas e espalhadas no espaço. Como podemos mostrar na próxima figura, em três situações diferentes:

A verdade é que, para que fiquem paradas, essas cargas precisam se esforçar. Isso porque, sobre cada uma delas, existe uma força exercida pela outra carga.

Então, na primeira situação, por exemplo, em que temos duas cargas positivas, precisamos ficar segurando essas cargas para que elas não saiam andando por aí.

Acontece que esse esforço que a gente faz representa uma energia que a gente gasta. O lance então é entender como calcular essa energia.

A situação mais simples é a da próxima figura: temos somente duas cargas: Q e q separadas por uma distância r :

Nessa situação, a energia é calculada por:

U = K . Q . q r

Muito parecido com a lei de Coulomb, mas o denominador está elevado a 1 . Só que as questões elas dão uma complicadinha maior, e, geralmente, misturam mais de duas cargas no espaço:

Nessa altura do campeonato é bem importante perceber que as energias são formadas em cima de cada par de cargas.

Ou seja: é a força mútua entre cada par cargas que tem que ser usado para calcular essa energia. Por isso, nesse caso, a energia potencial do sistema será dada por:

U = K . q 1 . q 2   r 12 + K . q 1 . q 3 r 13 + K . q 2 . q 3 r 23

E assim sucessivamente, se tivermos quatro cargas temos que pegar todos os pares possíveis, num total de 6 pares 1 ↔ 2 ,   1 ↔ 3 ,   1 ↔ 4 ,   2 ↔ 3 ,   2 ↔ 4 ,   3 ↔ 4 .

Trabalho e Energia Potencial

Essas questões de cargas espalhadas no espaço podem ainda pedir de vocês o entendimento do conceito de trabalho. É isso:

W = Δ E C = - Δ U

Um bom raciocínio para entender essa equação é seguir essa linha de pensamento:

  1. Se você faz um trabalho positivo numa carga ela ganha velocidade;
  2. Se ela ganha velocidade, a energia cinética aumenta: W = + Δ E C ;
  3. Como a energia do sistema é constante, se a energia cinética aumenta, a energia potencial diminui: E C + U = c o n s t a n t e → Δ E C = W = - Δ U .

Exemplo: Dado o ocorrido com a configuração de cargas abaixo, calcule o trabalho da força elétrica sobre a carga q 1 = 1 μ C que se moveu.

Ok, beleza. Basta calcular a variação da energia potencial e trocar o sinal. Antes tínhamos:

U a = k ( 1 × 10 - 6 ) ( - 3 × 10 - 6 ) 5

E depois? A mesma coisa, pois as cargas são iguais e a distância também:

U d = k ( 1 × 10 - 6 ) ( - 3 × 10 - 6 ) 5

Portanto, a variação de energia é:

Δ U = 0

Segue que o trabalho feito pela força elétrica na carga que se moveu foi zero:

W = 0

Dipolo Elétrico Mais Uma Vez

O dipolo elétrico é uma espécie de cotonete com cargas opostas nas pontas:

Dentre as fórmulas de dipolo elétrico, uma em especial está diretamente relacionada a esse tópico, a energia potencial armazenada no dipolo, dada por:

U = - p → ∙ E →

Onde p → representa omomento de dipolo elétrico, dado por:

p → = q d →

Quando se coloca o dipolo numa região de campo elétrico externo uniforme E → , ele tende a girar. Por conta dessa tendência, quando você coloca o dipolo numa certa posição e segura ele fixo, você armazena energia potencial nessa configuração.

Ao soltar o dipolo ele não tenderá a girar somente se ele estiver em equilíbrio, o que acontece se o momento de dipolo elétrico estiver alinhado com o campo elétrico externo... e é justamente disso que vamos tratar agora.

No dipolo da esquerda, o ângulo entre o campo elétrico E → e o vetor d → é de 0 ° , já no dipolo da direita, o ângulo é de 180 ° . A pergunta que eu te faço é: ambos os dipolos estão em equilíbrio?

Sim! Ambos estão, pois o campo não consegue girar eles, isso ocorre porque o torque sobre o dipolo é igual a zero nas duas situações, se liga:

τ → = p → × E → → τ → = p E sen ⁡ θ

sen ⁡ 0 ° = sen ⁡ 180 ° = 0 → τ → = 0

Portanto se você soltar o bagulho vai ficar parado.

A questão é que em uma das situações temos um equilíbrio estável, enquanto que na outra temos um equilíbrio instável.

Qual deles é qual?

Calma, vou te colocar de cara pro gol😉

  • Equilíbrio estável:
  • θ = 0 º → U = - p E

    Nesse caso, a energia potencial é mínima.

  • Equilíbrio instável:

θ = 180 º → U = p E

Nesse caso, a energia potencial é máxima.

  1. Densidade de Energia

A densidade de energia é uma grandeza que tem a seguinte fórmula:

u = ϵ 0 E 2 2

Mas o que significa a densidade de energia?

A densidade de energia é a quantidade infinitesimal de energia sobre uma unidade infinitesimal de volume do espaço.

Ou seja, podemos escrever a densidade da seguinte forma:

u = d U d V

Onde o d U é a tão falada quantidade infinitesimal de energia no espaço. Quando o sujeito quiser que você ache a energia numa certa região, basta você integrar na região pedida! Só tenha atenção aos limites de integração e às coordenadas que você vai usar. Por exemplo:

Dado o campo elétrico de uma esfera condutora carregada de raio R :

E → = k Q r 2 r ^

r > R

Encontre a energia armazenada por essa carga em todo o espaço.

Bom, partiu integrar.

d U d V = ϵ 0 E 2 2 →   d U = ϵ 0 2 E 2 d V

U = ϵ 0 2 ∫ V E 2 d V

Como o campo é dado em coordenadas esféricas, é nesse sistema de coordenadas que vamos trabalhar, portanto o nosso diferencial de volume vem a ser:

V = 4 3 π r 3 → d V = 4 π r 2 d r

Já o módulo do campo, que é o que entra na fórmula:

E = k Q r 2 → E 2 = k 2 Q 2 r 4

Substituindo, podemos integrar. Como a esfera é condutora, não tem campo em seu interior, portanto:

U = ϵ 0 2 ∫ 0 R 0 × 4 π r 2 d r + ∫ R ∞ k 2 Q 2 r 4 4 π r 2 d r

U = ϵ 0 2 ∫ R ∞ k 2 Q 2 r 4 4 π r 2 d r

Agora a parada é resolver... Arrumando:

U = 2 π k 2 Q 2 ϵ 0 ∫ R ∞ d r r 2

U = 2 π k 2 Q 2 ϵ 0 R

Torturante essas contas, não? Mas felizmente são só contas, não precisa pensar muito. Agora, se estiver fazendo uma questão de múltipla escolha é bom redobrar a atenção...

Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER, MOSCA, FÍSICA PARA CIENTISTAS E ENGENHEIROS, VOLUME II, 6.ED.

Uma carga puntiforme q 1 está na origem e uma segunda carga puntiforme q 2 está no eixo x em x = a . Determine uma expressão para o potencial em qualquer ponto do eixo x como uma função de x .

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Passo 1

Vamos desenhar o que temos nesse problema, uma das cargas está na origem e a outra em x = a e as distâncias são definidas assim

Para resolver esse probleminha, vamos lembrar que o potencial total vai ser a soma dos potenciais devido a cada carga separadamente, ou seja

V = k q 1 r 1 + k q 2 r 2

Passo 2

Substituindo na expressão de V o que já temos, vai ficar assim

V = k q 1 | x | + k q 2 | x - a |

V = k q 1 x + q 2 x - a

Repare que quando x → 0 ou x → a , V → ∞ .

E quando x → ± ∞ , V → 0 .

Resposta

V = k q 1 x + q 2 x - a

Exercício Resolvido #2

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física III – Eletromagnetismo, 12ª ed. São Paulo, 2010, pp. 95

Uma carga puntiforme q 1 = 2,4   μ C é mantida em repouso na origem. Uma segunda carga puntiforme q 2 = - 4,3   μ C se desloca no ponto x = 0,15   m , y = 0 até o ponto x = 0,25   m , y = 0,25   m . Qual é o trabalho realizado pela força elétrica sobra a carga q 2 ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O trabalho é dado pela variação da energia potencial:

W = - Δ U

Ao passo que a fórmula da energia potencial é:

U = k q 1 q 2 r 12

Temos a seguinte situação:

Passo 2

A posição inicial de q 2 é em a e a posição final é em b , portanto temos:

r a = 0.150   m

r b = 0.250   m 2 + 0.250   m 2

r b = 0.250 × 2   m

r b = 0.354   m

Passo 3

Aplicando a fórmula e substituindo os valores que conhecemos temos:

U a = k q 1 q 2 r a

U a = 9 × 10 9 2.4 × 10 - 6 - 4.3 × 10 - 6 0.15

U a = - 0.62   J

Já no ponto b temos:

U b = 9 × 10 9 2.4 × 10 - 6 - 4.3 × 10 - 6 0.354

U b = - 0.26   J

Passo 4

O que produz uma variação de:

W = - U b - U a

W = - - 0.26 + 0.62

W = - 0.36   J

Resposta

O trabalho exercido é:

W = - 0.36   J

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física III – Eletromagnetismo, 12ª ed. São Paulo, 2010, pp. 95

Uma carga puntiforme q 1 é mantida em repouso na origem. Uma segunda carga puntiforme q 2 é colocada em um ponto a e a energia potencial elétrica desse conjunto de duas cargas é igual a 5,4 × 10 - 8 J . Quando a segunda carga se desloca até um ponto b , o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga é igual a - 1,9 × 10 - 8 J . Qual a energia potencial elétrica desse conjunto de cargas quando a segunda carga se encontra no ponto b ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O trabalho se relaciona com a energia elétrica pela seguinte fórmula:

W = - Δ U

Neste caso, a carga vai de a para b :

W a → b = - U b - U a