Atrito e Forças não Conservativas

Teoria Completa

Introdução

A gente já viu os casos onde a energia se conserva, e pra esses casos tomamos como verdade a seguinte equação:

E i n i c i a l = E f i n a l

Beleza, mas e se por acaso as forças atuantes não forem todas conservativas?

Esse é o caso do atrito, ao longo do percurso a força de atrito vai dissipando energia, então quando a gente fala desse tipo de força para nós a energia não se conserva:

E i n i c i a l ≠ E f i n a l

E toda aquela conservação de energia que estamos acostumados a fazer vai por água a baixo!

Mas calma! Ainda tem uma luz no fim do túnel.

Agora precisamos levar em consideração o trabalho realizado pelas forças não conservativas que atuam no nosso sistema, pois ele vai ser importante nos nossos cálculos. Vem comigo!

Influência da trajetória

No caso das forças conservativas como, por exemplo, a força gravitacional, vimos que a trajetória não influencia no trabalho realizado, apenas vai importar a posição inicial e a final.

Já para as forças não-conservativas, a trajetória influencia no trabalho realizado!

Vamos fazer um exemplo aqui pra gente visualizar o que acontece com a energia no percurso quando a gente tem o atrito no meio. Na figura abaixo você pode ver o skatista percorrendo duas pistas, ambas possuem o mesmo coeficiente de atrito e a mesma altura, em qual delas o trabalho da f a t será maior?

Repara o seguinte aqui, ambas as pistas começam na altura h e terminam em 0, então a gente pode dizer que em ambas o trabalho da força gravitacional será o mesmo.

W g 1 = W g 2

Ambas as pistas possuem o mesmo coeficiente de atrito, maaas o pulo do gato está na trajetória, você lembra como se calcula o trabalho de uma força?

W = F → | d → | c o s ( θ )

Onde F é a força, d é a distância percorrida e θ é o ângulo entre os dois vetores.

No nosso caso, a força de atrito está sempre contrária ao movimento, e por isso faz 180 °

com a distância d → .

E como o cos ⁡ 180 º = - 1 , teremos:

W f a t = | f a t →   | × | d → | c o s 180 ° = - | f a t → | × | d → |

E o que significa esse sinal negativo no trabalho da f a t ?

Basicamente, significa que o trabalho da f a t é um trabalho negativo, isso é, ele irá diminuir a energia do sistema.

Agora vamos analisar o que acontece em cada pista, na pista 1 vamos chamar a trajetória de d 1 .

W f a t 1 = - f a t × d 1

E na pista 2 vamos chamar a trajetória de d 2 .

W f a t 2 = - f a t × d 2

Como:

d 2 > d 1

A gente pode dizer que:

W f a t 2 > W f a t 1

Ou seja, a distância percorrida influencia no trabalho da força de atrito e vai influenciar no trabalho de qualquer força não-conservativa.

Variação da Energia Mecânica

Vimos que no caso da f a t , ela irá gerar um trabalho negativo no nosso sistema, que fará com que o sistema vá perdendo energia ao longo do movimento. Mas o que isso pode causar?

A velocidade com que um objeto chega no final do percurso acaba sendo muito menor quando há atrito envolvido. E para um objeto que irá subir uma rampa, a altura que o objeto atinge também será menor, pois o atrito vai dissipando energia no caminho.

Mas será que as forças não-conservativas vão sempre gerar um trabalho negativo e diminuir a energia do sistema? A resposta é NÃO!

Imagina um esquiador descendo uma rampa, e ao longo dessa rampa, a força do vento está ajudando sua descida.

Nesse caso, como a força do vento F v e n t o → está na mesma direção do deslocamento do esquiador, ela irá gerar um trabalho dado por:

W F v e n t o = F v e n t o → × | d → | c o s ⁡ ( 0 º )

E como o cos ⁡ 0 º = 1 , temos que:

W F v e n t o = F v e n t o → × | d → |

E nesse caso, o trabalho será positivo, o que indica que a energia do sistema irá aumentar, ou seja, esse esquiador vai chegar na base dessa rampa com uma velocidade maior do que no caso onde não haveria essa força do vento.

Mas como podemos calcular essa variação de energia?

O grande lance é que o trabalho de uma força não-conservativa vai ser a variação da energia mecânica do sistema:

W n ã o _ c o n s = Δ E m

Por isso que um trabalho positivo faz o sistema ganhar energia e um trabalho negativo faz o sistema perder energia.

Arrumando essa equação, nós temos:

W n ã o _ c o n s = E m f i n a l - E m i n i c i a l

E m i n i c i a l + W n ã o _ c o n s = E m f i n a l

Essa equação aí em cima é bem parecida com a que a gente tá acostumado de conservação de energia, só que agora temos que considerar o trabalho das forças não conservativas.

Para mostrar como funciona isso aí, vamos fazer outro exemplo.

Um carrinho com massa m = 200 k g , desce a montanha russa com coeficiente de atrito cinético μ = 0,4 , determine a velocidade quando o carrinho chega na altura 0 , se inicialmente ele sai do repouso. Depois, compare com a velocidade caso a montanha russa não possuísse atrito.

Beleza, a primeira parada que a gente deve fazer aqui é analisar na equação da energia quem está atuando no problema:

E i + W n ã o _ c o n s = E f

O carrinho não possui velocidade no início, sendo assim só atua a energia potencial gravitacional:

E i = M g h

E i = 200 × 9,81 × 15 = 29430 J

A energia final do carrinho é apenas a energia cinética:

E f = M v 2 2

Onde v é a velocidade que procuramos.

Ao longo desse percurso, temos a força de atrito atuando e sabemos que ela é a nossa força não-conservativa.

W n ã o _ c o n s = W f a t = f a t → | d → | c o s ⁡ ( θ )

Já vimos que a f a t faz 180 ° com a distância percorrida, por isso temos que:

W f a t = - | f a t → | | d → |

E para encontrar a f a t a gente faz o DCL do carrinho:

:

Em um plano inclinado, sabemos que:

P y = P c o s θ

E pelo somatório das forças na vertical a gente tem que:

P y = N

E enfim calculamos o módulo da f a t :

f a t = μ N = μ P y

f a t = 0,4 × 200 × 9,81 × cos ⁡ 30 º

f a t = 680 N

Enfim o trabalho da força de atrito depende da trajetória e a distância a gente tira do triângulo também fazendo uma relação trigonométrica:

d = 15 sen ⁡ 30 = 30 m

E agora é só substituir na fórmula:

W f a t = - | f a t → | × | d → |

W f a t = - 680 × 30 = - 20400 J

Por fim, na equação da energia:

E i + W n ã o _ c o n s = E f

Podemos substituir:

29430 - 20400 = 200 × v 2 2

Isolando v :

v = 2 × 9030 200 = 9,5 m / s

O problema também pede pra gente comparar com a energia caso não houvesse atrito, assim faríamos:

E i = E f

M g h = M v 2 2

v = 2 g h = 2 × 9,81 × 15 = 17,155 m / s

Ou seja, quando há atrito envolvido, há uma perda de energia no movimento. Desconfie se você calcular pros dois casos e com atrito a velocidade estiver maior e atenção aos sinais.

Bora praticar nos exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 218 – Modificado

O freio de um caminhão de massa m deixa de funcionar quando ele está descendo uma estrada de montanha com gelo inclinada de um ângulo α . Inicialmente o caminhão desce a montanha com velocidade v 0 . Depois de percorrer, com atrito desprezível, uma distância L até a base da montanha, o motorista vira o voltante e faz o caminhão seguir por uma estrada de emergência para caminhões. A estrada para caminhões é pavimentada com areia fofa que possui um atrito de rolamento igual a μ t . Qual é à distância percorrida pelo caminhão desde a rampa até parar? Use o método da energia.

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Passo 1

Vamos seguir a recomendação do enunciado e usar o método da energia.

Antes, vamos escrever os dados do problema

D a d o s α μ t L v 0 m g

Ele quer a distância percorrida (vamos chamá-la de d ), mas lembre-se ela não é dada.

A única força não conservativa q temos é a f a t

W f a t = Δ E m

E m 0 = K 0 + U 0

E m f = K f + U f

Como o corpo está parado, e está no chão

K f = U f = 0

Temos então

W f a t = - K 0 + U 0

Devemos encontrar cada energia e o trabalho da força de atrito

Passo 2

Vamos achar as energias primeiro,

K 0 = m v 0 2 2

Passo 3

U 0 = m g h

Repare que não temos a altura do caminhão, porém temos

Então, vamos “decompor” L

h = L sen ⁡ α

Então

U 0 = m g L sen ⁡ α

Passo 4

Vamos agora achar o trabalho da f a t , para isso devemos achar primeiro o seu módulo

Para encontrarmos f a t , vamos usar sua fórmula

f a t = N . μ t

Nessa região a normal será igual ao peso (não estamos mais no plano inclinado)

N = P = m g

f a t = m g μ t

Passo 5

Para encontrarmos seu trabalho

W f a t = - f a t . d

Isso porque a força está no sentido contrário ao deslocamento.

Então

W f a t = - m g d μ t

Passo 6

Recapitulando

Queremos resolver

W f a t = - K 0 + U 0

Tendo

K 0 = m v 0 2 2

U 0 = m g L sen ⁡ α

W f a t = - m g d μ t

Substituindo teremos

W f a t = - K 0 + U 0

- m g d μ t = - m g L sen ⁡ α + m v 0 2 2

g d μ t = g L sen ⁡ α + v 0 2 2

d = L sen ⁡ α μ t + v 0 2 2 g μ t

Beleza, então achamos a distância d , que é quanto o caminhou andou na parte reta. Mas, notem que a questão pede a distância total que o camihão andou desde a rampa até parar. Então, a distância total, d T , vai ser a distância da rampa, L , mais a parte reta, d .

d T = L + d

d T = L + L sen ⁡ α μ t + v 0 2 2 g μ t

Resposta

d = L + L sen ⁡ α μ t + v 0 2 2 g μ t

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-Física I-Prova 2-2013.2-Questão 2

I ) Dois blocos idênticos de massa 2,0   k g ligados por um fio ideal estão dispostos como mostra na figura abaixo. O bloco 1 , se encontra sobre uma superfície horizontal cujo coeficiente de atrito cinético vale 0,5 enquanto o bloco 2 encontra-se pendurado. O sistema parte do repouso e ambos os blocos tem a mesma velocidade até o momento em que o bloco 2 toca a mola. A constante elástica da mola é desconhecida. Determine:

a ) o trabalho realizado pela força de atrito no sistema quando o bloco 2 cai uma altura h = 0,20   m . Este trabalho é positivo ou negativo? Justifique.

b ) A velocidade do bloco 2 ao tocar a mola.

I I ) Quando o bloco 2 toca a mola, o fio entre os blocos é cortado instantaneamente. Observa-se que a velocidade do bloco 2 neste instante é de 1,0   m / s . Sabendo que a compressão máxima que será produzida na mola é 1,5   m . Determine:

c ) a constante elástica da mola em N / m .

d ) a que distância abaixo do ponto inicial de contato entre o bloco 2 e a mola encontra-se o ponto de equilíbrio do sistema bloco 2 e mola.

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Passo 1

a )

Para determinar o trabalho realizado pela força de atrito, devemos lembrar da definição de trabalho:

W = F . d

Pelo fato de existir um vínculo entre os blocos, se o bloco 2 , cai uma altura de h = 0,20   m , isso significa que o bloco 1 também se deslocou d = 0,20   m . Voltando à equação do trabalho, lembrando que a força de atrito cinético, nesse caso, é dada por F a t = μ C . N = μ C . m . g , temos:

W = μ C . m . g . d

Substituindo os valores conhecidos, temos:

W = 0,5 .   2,0   . 10 .   0,20 = 2,0   J

Pelo fato de a força de atrito se opor ao movimento, temos que o trabalho realizado é negativo, portanto:

W = - 2,0   J

Passo 2

b )

Para determinar a velocidade do bloco 2 ao tocar na mola, devemos utilizar o seguinte teorema que relaciona o trabalho das forças não conservativas com a variação da energia mecânica, pois existe uma força de atrito, que não é conservativa, atuando.

W ñ   c o n s e r v a t i v a s = Δ E m e c

Já calculamos o trabalho realizado por essa força, ele vale - 2,0   J . A variação da energia mecânica, pode ser determinada da seguinte forma:

W ñ   c o n s e r v a t i v a s = Δ U + Δ K

Pensando em nosso sistema, que é composto pelos dois blocos, temos a seguinte variação da energia mecânica:

W ñ   c o n s e r v a t i v a s = m 2 . g . 0 - m 2 . g . h + m 1 + m 2 . v f 2 2 - m 1 + m 2 . 0 2 2

Lembrando que somente o bloco 2 está variando de altura, ou seja, somente ele possui Δ U , além do fato de que por estarem ligados por um fio, os blocos possuem a mesma velocidade. Por partirem do repouso, a velocidade inicial é zero!

W ñ   c o n s e r v a t i v a s = - m 2 . g . h + m 1 + m 2 . v f 2 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

- 2,0 = - 2,0 .   10 .   0,20 + 2,0 + 2,0 . v f 2 2

v f 2 = 1

v f = 1   m / s

Passo 3

c )

Para determinar a constante elástica da mola, vamos utilizar a conservação da energia mecânica, entre o momento antes de o bloco tocar na mola, e o momento em que a deformação é máxima:

E m e c a n t e s = E m e c d e p o i s

m . v f 2 2 + m . g . y = k . y 2 2

Perceba que o meu potencial zero está na altura da deformação máxima da mola, que é 1,5   m . Substituindo os valores, temos:

2,0 .   1 2 2 + 2,0   .   10 .   1,5 = k . 1,5 2 2

k . 1,5 2 2 = 31

k = 27,6   N / m

Passo 4

d )

Na situação de equilíbrio do sistema bloco mola, temos que satisfazer a seguinte relação:

m . g = F e l

Onde o peso do bloco deve ser igual à força elástica, temos então:

m . g = k . y

Substituindo os valores, temos:

2,0   . 10 = 27,6 .   y

y = 0,72   m

Resposta

a ) W = - 2,0   J , negativo, pois a força de atrito se opõem ao movimento.

b ) v f = 1   m / s

c ) k = 27,6   N / m

d ) y = 0,72   m

Exercício Resolvido #3

UFRJ-Física 1-Prova 1-2013.1 Múltipla Escolha n°2

Um pequeno bloco de massa m sobre uma mesa horizontal comprime uma mola de constante elástica k de uma distância d , a partir da posição relaxada da mola em O , como mostra a figura. Liberado a partir do repouso, ele realiza um movimento retilíneo horizontal para a direita, onde ele perde o contato com a mola depois da posição O , percorrendo em seguida uma distância d ' , quando atinge o repouso; há uma força de atrito constante da supercifie da mesa sobre o bloco em toda a extensão do movimento. O coeficiente de atrito cinético μ c entre a superfície e o bloco é:

  1. k 2 m g d - d '
  2. k 2 m g d + d '
  3. k m g d + d '
  4. k m g d '
  5. k d 2 2 m g ( d + d ' )
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Passo 1

Vamos começar escrevendo os dados do problema

D a d o s k m d d ' g

Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.

No enunciado ele pede o coeficiente de atrito cinético, que é o coeficiente quando ele está se movendo. Nesse problema temos uma força dissipativa atuando, que é a força de atrito. Então

W d i s s i p a t i v a s = Δ E m

W F = E m - E m 0

Onde E m é a energia mecânica em d ' e E m 0 é a energia mecânica em d .

Precisamos achar W F , E m é e E m 0 .

Começando por W F

W F = - f a t . μ e

O sinal do trabalho é negativo porque a força de atrito é no sentido contrário do movimento.

Já vimos em muitos outros exercícios que, no caso do bloco no plano

f a t = μ e ⋅ N = μ e m g

Então

W f a t = - μ m g ⋅ ( d + d ' )

Vamos agora achar as energias mecânicas. Em ambos os pontos não temos velocidade nem mudança de altura. A única energia é a potencial elástica, que está presente apenas no inicio.

Como ele perde contato com a mola no ponto d ' ele não tem energia elástica

E m 0 = k d 2 2

E m = 0

Lembrando rapidinho

W F = E m - E m 0

- μ e m g d + d ' = 0 - k d 2 2

μ e m g d + d ' = k d 2 2

μ e = k d 2 2 m g d + d '

Resposta

μ e = k d 2 2 m g d + d '

Letra ( e )

Exercício Resolvido #4

UFRJ-Física 1-Prova 1-2014.1 Questão n°2

A figura mostra o perfil suave de uma calha com um trecho inclinado A B , seguido de um trecho horizontal B C , que é seguido de um outro trecho inclinado C D ; as alturas do ponto A e do ponto D acima do solo são iguais a h 0 e o comprimento do trecho horizontal B C é igual a 2 h 0 . Um bloco de massa m e dimensões desprezíveis desce a partir do ponto A , onde o módulo da sua velocidade é v A e percorre os trechos A B , B C e C D . O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a calha no trecho B C é μ , e entre o bloco e a calha nos trechos A B e C D é zero. Considerando como dados m , v A , h 0 e o módulo g da aceleração da gravidade, calcule: