Força, Energia Potencial e Deslocamento

Teoria Completa

Introdução

A gente já conhece as forças conservativas mas como calcular o trabalho realizado por elas? A força é chamada de conservativa, pois toda a energia mecânica no sistema se conserva, isso quer dizer que:

E m ( I n i c i a l ) = E m ( F i n a l )

Ou seja:

∆ E m = 0

Tá mas onde que entra energia cinética e energia potencial nessa história?

Teorema Trabalho x Energia Potencial

É possível relacionar trabalho com energia potencial e vamos descobrir como. Vamos lembrar que toda a energia mecânica num sistema conservativo se mantém e que a energia mecânica é dada por:

E m = K + U

Onde U é a energia potencial e K a cinética.

E se a variação da energia mecânica é zero a gente pode dizer que:

∆ E m = ∆ K + ∆ U = 0  

Como a gente tá tratando de forças, sabemos pelo teorema Trabalho x Energia Cinética que o trabalho de qualquer força é a variação da energia cinética.

W = Δ K

Substituindo no que tínhamos:

W + ∆ U = 0

E enfim temos o teorema Trabalho - Energia Potencial.

W = - ∆ U

Ou seja, o trabalho de uma força conservativa é igual ao inverso da variação da energia potencial associada a essa força.

Vamos entender como funciona isso na prática, qual é o trabalho da força gravitacional em cada caso pra essa bolinha?

No caso da bolinha descendo o que acontece?

W = - Δ U

W = - m g × - h

W = m g h

Repara que para a bolinha descendo o trabalho é positivo, e isso faz sentido, afinal tanto a força peso quanto o deslocamento apontam para baixo, na mesma direção. Já no caso da bolinha subindo...

W = - Δ U

W = - m g + h

W = - m g h

Agora o trabalho é negativo, e isso faz sentido, pois a força peso aponta para baixo, mas o deslocamento aponta para cima!

E no caso desse gráfico de energia potencial? Como calcular o trabalho realizado pela força conservativa entre x i = 0 e x f = 20 m ?

É bem tranquilo!

∆ U = U f - U i = 10 - 0

W = - ∆ U = - 10 J

Sempre lembrando desse sinal que acompanha a fórmula, ok?

Relacionando Energia Potencial e Força

Sabia que a força tem relação com a energia potencial? E aqui falo de qualquer energia potencial, não só a gravitacional. Vamos olhar o teorema trabalho-energia:

W = - ∆ U

Se derivarmos pra x :

d W d x = - d ∆ U d x

Como:

∆ U = U x - U ( x 0 )

E se partirmos de uma posição inicial U x 0 = 0 .

d W d x = - d U x d x

Lembrando que:

F = d W d x

Então:

F = - d U x d x

Beleza, mas como aplicar isso? Temooos muitas aplicações, se liga nesse gráfico de energia potencial com uma equação mostrada:

Pra esse gráfico calcular a força relacionada à essa energia, quando a posição x = 2 m .

Vamos aplicar a nossa relação com a força:

F = - d U x d x

F = - d d x [ 100 x 2 ]

F = - 200 x

E substituindo a posição:

F = - 200 × 2 = - 400 N

Deixa eu te contar um segredo, o que a gente acabou de fazer foi calcular a força elástica que é um tipo de força conservativa que gera energia potencial lembra que:

F e l = - k x

No geral, quando for calcular a força a partir do potencial, pode ter dois casos:

1) Se te derem a função da energia potencial é só derivar para encontrar a força e substituir o ponto para encontrar a força naquele ponto, como nesse exemplo.

2) Se não te derem a função, aí você vai precisar encontrar a derivada pelo gráfico (nesses casos, geralmente o gráfico é composto por retas que são mais fáceis de fazer a derivada).

Energia Mecânica e Pontos de Retorno

A gente já tá cansado de saber que a energia mecânica do sistema se conserva e isso tem algumas aplicações, uma delas é encontrar os pontos de retorno do gráfico e o que são eles?

A gente já viu que a energia mecânica é composta por:

E m = K + U

E que ela é constante, pois a gente tá falando de forças conservativas, então nada sai do sistema, a energia mecânica se transforma de cinética pra potencial e vice-versa.

O ponto de retorno nada mais é do que o ponto onde a energia mecânica é toda energia potencial e com isso a energia cinética é zero.

E m = U   → K = 0

Olha esse exemplo:

Um esquiador de 50 k g desce uma montanha e no ponto x = 10 m , a sua velocidade é 20 m / s para a direita, considerando que só há atuação de forças conservativas, mostre no gráfico de potencial abaixo os pontos de retorno desse movimento.

O primeiro passo é calcular a energia cinética no ponto x = 10 m , pois ela somada a energia potencial nesse ponto vai ser a energia mecânica.

K = m v 2 2

K = 50 × 20 2 2 = 10000 J = 10 k J

Daí fazemos:

E m = K + U = 10 + 10 = 20 k J

E como a energia mecânica é constante ao longo de todo movimento, traçamos uma reta:

Agora com a reta traçada, temos os nossos pontos de retorno desse movimento:

x 1 ≅ 8 m   ;   x 2 ≅ 23 m

Isso nos indica que esse movimento do esquiador estará limitado entre esses dois pontos. Lembra que no início, em x = 10 m , ele estava indo para a direita com v = 20 m / s ?

O esquiador vai continuar indo para a direita até chegar em x = 23 m , quando sua energia cinética é zero e então ele para. Se ele continuar o movimento, terá que ir para a esquerda, e vai chegar em x = 8 m , quando novamente sua energia cinética é zero e ele para. Ou seja, o movimento dele está delimitado entre esses pontos.

O problema pode ficar ainda mais interessante pedindo pra calcular a velocidade em um ponto qualquer do movimento. Imagina que você quer saber a velocidade do esquiador no ponto x = 20 m , como a gente faria isso?

Nesse ponto, olhando para o gráfico, temos que U ≅ 17 k J e sabemos que a energia mecânica é constante:

E m = U + K

20 = 17 + K

K = 3 k J

E lembrando que:

K = m v 2 2

Podemos substituir e igualar:

3 × 10 3 = 50 × v 2 2

Não podemos esquecer que a unidade deve ser J nas contas pra termos a velocidade em m / s .

v 2 = 2 × 3 50 × 10 3

v = 120 = 10,95 m / s

Terminamos, bora praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 230 – 8.

A figura mostra o gráfico de uma função energia potencial U   v e r s u s   x .

  1. Para cada ponto indicado, informa se a componente x da força associada a esta função é positiva, negativa ou zero.
  2. Em que ponto a força tem a maior magnitude?

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Passo 1

Alternativa a)

Já começo falando pra tu ter atenção ali no ponto A pra ver onde ele ta direitinho, porque ele não está em cima do eixo x!

Agora voltando pra analisar, vamos usar essa paradinha aqui ó

F = - d U d x

Como o gráfico é justamente o gráfico do potencial, vamos analisar só a derivada, se a derivada for positiva a força é negativa, se a derivada for negativa a força é positiva.

Passo 2

A → F o r ç a   n e g a t i v a

Como a derivada no ponto A é positiva, a força é negativa!

B → F o r ç a   n u l a

Como a derivada no ponto B é zero, a força é nula!

C → F o r ç a   p o s i t i v a

Como a derivada no ponto C   é negativa, a força é positiva!

D → F o r ç a   n u l a

Como a derivada no ponto D é zero, a força é nula!

E → F o r ç a   n e g a t i v a

Como a derivada no ponto E é positiva, a força é negativa!

F → F o r ç a   n u l a

Como a derivada no ponto F é zero, a força é nula!

Quadro resuminho:

Passo 3

Alternativa b)

Agora temos que encontrar em que ponta a força tem maior magnitude. O que isso quer dizer?

Que temos que achar o ponto que apresenta a menor derivada! Se analisarmos no gráfico, esse será o ponto C.

Resposta

a)

b) O ponto C.

Exercício Resolvido #2

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 231 – 28.

A energia potencial de um corpo restrito ao eixo x é dada por U x = 3 x 2 - 2 x 3 , onde U está em joules e x está em metros. Determine a força F x associada a esta função energia potencial.

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Passo 1

Bom, vamos ter que usar umas derivadas aqui, mas derivada de polinômio é algo tranquilo pra gente, sacou? Vou te lembrar como faz !!!

Sabemos que a relação da força com o potencial é a seguinte expressão:

F = - d U d x

Passo 2

Pra saber como a força F varia de acordo com o potencial, vamos derivar a expressão que foi dada no enunciado:

U x = 3 x 2 - 2 x 3

F = - d U d x

Lembrando que pra derivar polinômio, a gente tira 1 do expoente e multiplica pelo antigo expoente, tipo isso aqui:

x n d x = n x n - 1

Derivando a expressão que ele deu pra gente ficamos com:

F x = 6 x 2 - 6 x

F x = 6 x - 1 ( x )

Resposta

  F x = 6 x 2 - 6 x

Exercício Resolvido #3

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 231 – 27.

A força sobre um corpo é dada por F x = a x 2 . Em x = 5,0 m , sabe-se que a força aponta no sentido - x e tem a magnitude de 25 N . Determine a energia potencial associada a esta força como função de x , atribuindo um valor de referência de - 10 J em x = 2,0 m para a energia potencial.

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Passo 1

Bom, mais uma vez vamos usar a única fórmula que a gente sabe que relaciona a força e a energia potencial, hahahaha

F = - d U d x

Mas pra saber a energia potencial, vamos precisar saber primeiro a força F x

Passo 2

Vamos ver o que o enunciado deu pra gente:

F x = a x 2

F 5 = 25

Assim, é só substituir os valores que a gente consegue achar o valor de a .

- 25 N = a 5 m 2

a = - 625 N m 2