Energia Cinética + Energia Gravitacional + Energia Elástica

Teoria Completa

Bom, a gente sabe que energia mecânica é:

E m = K + U

Lembre-se que

U = U g + U e l

O que vamos fazer agora é trabalhar com as duas energias potenciais ao mesmo tempo. A ideia é a mesma dos outros problemas, só que agora vamos envolver mais de uma incógnita. Quer ver?

(FATEC 2002) Um bloco de massa 0,60kg é abandonado, a partir do repouso, no ponto A de uma pista no plano vertical. O ponto A está a 2,0m de altura da base da pista, onde está fixa uma mola de constante elástica 150 N/m. São desprezíveis os efeitos do atrito e adota-se g=10m/s2. A máxima compressão da mola vale, em metros, é:

Viu que o bloquinho não sofre nenhuma força não conservativa durante o trajeto né? Então podemos dizer que tanto a energia mecânica no ponto do alto do morro e a energia quando a mola está comprimida são iguais.

E 1 = E 2

Sabendo que:

E m = K + U

Vamos calcular E 1 + E 2 . Como em nenhum dos dois momentos o bloquinho está se movendo, ele não vai possuir energia cinética em nenhum dos pontos.

E 1 = m g h = 0,6 × 2,0 × 10 = 12

E 2 = k x 2 2 = 150 x 2 2

Igualando as duas expressões:

150 x 2 2 = 12

E assimmmm,

tanammmmmm

x = 0,4 m

Agora é contigo, qualquer coisa me grita! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 216

Um bloco de 2,00   kg é empurrado contra uma mola de massa desprezível e constante k = 400   N/m , comprimindo a mola até uma distancia igual a 0,220   m . Quando o bloco é libertado, ele se move ao longo de uma superfície horizontal sem atrito e sobre um plano inclinado de 37,0 ° . a) Qual a velocidade do bloco enquanto ele desliza ao longo da superfície horizontal depois de abandonar a mola? b) Qual a distancia máxima que ele atinge ao subir o plano inclinado até parar antes de voltar para a base do plano?

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Passo 1

a)

Como não temos atrito atuando vamos ter a conservação da energia mecânica. Precisamos calcular a energia mecânica inicial, quando a mola está comprimida. A única energia é a potencial elástica porque ele está parado e vamos considerar a altura inicial como zero.

E m 0 = U e l

E m 0 = k Δ x 2 2

E m 0 = 400 ⋅ 0,220 2 2 = 9,68   J

Passo 2

Vamos agora calcular a energia final, quando ele ainda está na horizontal, que é quando ele solta da mola. Isso nos diz que a única energia é a cinética

E m f = K

E m f = m v 2 2

E m f = 2 ⋅ v 2 2 = v 2

Passo 3

As energias são iguais então

E m f = E m 0

v 2 = 9,68

v = 3,11   m/s

Passo 4

b)

Agora o que vai mudar é nossa energia final, porque vamos considerar o final quanto ele atinge a altura máxima para e volta. Isso diz que a energia final é apenas a potencial gravitacional

E m f = U g

E m f = m g h

E m f = 2 ⋅ 10 ⋅ h = 20 h

Passo 5

Vamos igualar a energia inicial que achamos no passo 1

20 h = 9,68

h = 0,484   m

Mas essa não é a distancia percorrida, essa é a altura que ele chegou. Olha a figura abaixo para entender bem a diferença.

Vamos ter

sen ⁡ 37 ° = h d

0,6 = 0,484 d

d = 0,807   m

Resposta

  1. v = 3,11   m/s
  2. d = 0,807   m

Exercício Resolvido #2

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 232 – 39.

O objeto de 3,00 k g é largado do repouso de uma altura de 5,00 m em uma rampa curva sem atrito. Na base da rampa está uma mola com constante de força de 400   N / m . O objeto desliza rampa abaixo e até a mola, comprimindo-a de uma distância até atingir momentaneamente o repouso.

  1. Encontre x .
  2. Descreva o movimento do objeto (se ocorrer) após o repouso momentâneo.

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Passo 1

Opa! Viu a pegadinha da questão? Claro que não viu! Não tem, hahhahaa

O que vai acontecer na questão é que o bloco vai deslizar pela rampa, ganhar uma velocidade e quando chegar na mola ela vai ser comprimida até parar o bloco. Importante perceber que dois momentos são importantes pra gente: antes do lançamento, quando o bloco ainda está no alto e no momento em que a mola está comprimida.

Como durante o trajeto o bloco ele não perde energia nenhuma, pois não tem forças dissipativas atuando no bloco, podemos conservar a energia nesses dois momentos que são importantes pra gente.

Passo 2

Alternativa a)

Como nos dois momentos importantes pra gente nós sabemos que temos a mesma energia, podemos comparar a energia mecânica dos dois pontos. Vamos chamar de P 1   o momento antes do lançamento e P 2 o momento depois que a mola é comprimida.

Calculando a energia mecânica dos pontos.

  • P 1
  • h = 5,00 m

    v = 0,00   m / s

    m = 3,00 k g

    Como o bloco está em repouso, ele não possui energia cinética e também não possui energia elástica, porque não tem nenhuma mola voando ali.

    E n e r g i a   m e c â n i c a = U p o t e n c i a l + E c i n é t i c a

    E n e r g i a   m e c â n i c a = U g r a v i t a c i o n a l

    E n e r g i a   m e c â n i c a = 3,00   ∙   5,00   ∙   9,81  

    E n e r g i a   m e c â n i c a = 147,15   J

  • P 2

Aqui apesar do bloco quando descer ganhar velocidade, nesse momento ele está parado, ou seja, a velocidade é zero. A mola não ta correndo ali, né? Hahahha

v = 0,00 m / s

m = 3,00 k g

K = 400 N m

h = 0

Sendo assim, nesse momento ele não possui energia gravitacional e também não possui energia cinética, só fica com a elástica mesmo.

E n e r g i a   m e c â n i c a = K x 2 2

E n e r g i a   m e c â n i c a = 400 x 2 2 J

Passo 3

Como já sabemos a energia mecânica nos dois pontos e que elas são iguais, vamos igualar as equações e descobrir quanto vale o nosso x !

400 x 2 2 = 147,15

x = 0,858   m

Passo 4

Alternativa b)

O que vai acontecer depois? Da mesma forma que a mola parou o bloco, quando ela foi comprimida ao máximo ela vai acelerar o bloco no sentido contrário. Ele vai ficar tão rápido quanto estava antes de chegar na mola e vai subir até a altura que ele partiu no inicio, os 5,00 m iniciais.

Resposta

a) 0,858 m

b) Da mesma forma que a mola parou o bloco, quando ela foi comprimida ao máximo ela vai acelerar o bloco no sentido contrário. Ele vai ficar tão rápido quanto estava antes de chegar na mola e vai subir até a altura que ele partiu no inicio, os 5,00 m iniciais.

Exercício Resolvido #3

UNICAMP- Prova 1-2014.2B- Discursivas 1

Dois blocos estão ligados por um fio leve que passa por uma roldana de massa desprezível e sem atrito. O bloco de massa m 1 está sobre uma superfície lisa sem atrito, preso a uma mola de constante elástica k = 0,4   N / m , que por sua vez se prende ao bloco de massa m 2 = 0,1   k g . O sistema é solto, a partir do repouso, com a mola sem qualquer deformação.

a) Faça na figura acima um diagrama das forças atuando nos blocos em algum momento após o sistema ser solto.

b) Através do teorema de trabalho-energia, calcule quanto o sistema se desloca até ficar momentaneamente em repouso novamente.

c) Calcule a velocidade do bloco 2 quando este se deslocou 1,0   m a partir do ponto inicial, quando os blocos estão em repouso.

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Passo 1

a)

Como não temos atrito, as únicas forças são a tração, a normal, a força elástica e a força peso.

Passo 2

b)

Por conservação de energia mecânica temos que a variação da energia potencial elástica é igual à variação da energia potencial gravitacional. Como eles estão ligados por uma corda, a distensão da corda e a altura h são iguais.

m 2 g h = k h 2 2

h = 2 m 2 g k = 2   .   0,1   .   10 0,4 = 5   m

Passo 3

c)

Aplicamos novamente a conservação de energia mecânica, mas agora com energia cinética envolvida já que os blocos não atingiram o repouso ainda.

m 2 g h = m 1 + m 2 v 2 2 + k h 2 2

m 1 + m 2 v 2 = 2 m 2 g h - k h 2

v = 2 g h m 2 m 1 + m 2 - k m 1 + m 2 h 2 = 20 0,1 m 1 + 0,1 - 0,4 m 1 + 0,1

v = 2 m 1 + 0,1 - 0,4 m 1 + 0,1 = 1,6 m 1 + 0,1

v = 4 0,1 m 1 + 0,1

Resposta

a)

b) h = 5   m

c)

v = 4 0,1 m 1 + 0,1

Exercício Resolvido #4

UFRJ-Física 1-Prova 1-2012.2-Múltipla Escolha-5

Um pequeno bloco de massa m está sobre uma superfície horizontal sem atrito ligado a uma mola de constande elástica k cuja outra extremidade é fixa em uma parede, como mostra a figura. O bloco é deslocado para x = A , a partir da posição de equilíbrio, x e q = 0 e liberado a partir do repouso. Para qualquer instante posterior, o módulo da sua velocicade é dado por:

  1. v = k m A 2 - x 2
  2. v = k m A 2 + x 2
  3. v = 2 k m A 2 + x 2
  4. v = k m   x
  5. v = k m   A
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Passo 1

Os dados do enunciado são

D a d o s m k A

Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.

Como não temos atrito, não temos trabalho sendo feito então

E m A = E m p o n t o   q u a l q u e r

Passo 2

Temos

E m A = U e l

E m A = k Δ x 2 2

Onde

Δ x = A - 0 = A

Que foi o quanto a mola ficou deformada.

Então

E m A = k A 2 2

Passo 3

E m p o n t o   q u a l q u e r = U e l + K

Onde

U e l = k Δ x 2 2

Com

Δ x = x - 0 = x

Que foi o quanto a mola ficou deformada em um ponto x qualquer. Além disso,

K = m v 2 2

Passo 4

Teremos então

k A 2 2 = k x 2 2 + m v 2 2

v 2 = k A 2 - x 2 m

v = k m A 2 - x 2

Resposta

Letra A

Exercício Resolvido #5

ITA - 2006

Um anel de peso 30   N está preso a uma mola e desliza sem atrito num fio circular situado num plano vertical, conforme a figura.

Considerando que a mola não se deforma quando o anel se encontra na posição P e que a velocidade do anel seja a mesma nas posições P e Q , a constante elástica da mola deve ser de:

  1. 3,0   x   10 3 N / m  
  2. 7,5   x   10 3   N / m
  3. 3,0   x   10 4   N / m
  4. 4,5   x   10 3   N / m
  5. 1,2   x   10 4   N / m
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Passo 1

DEUS DU CÉU, VISHI MAINHA, OH MY JESUS, QUE QUI TA ACONTECENU AQUI.

Calma filho, ta tudo calmo, ta tudo 2. O que ta acontecendo aqui é que nós temos um anel que fica rodando nesse círculo ai e tem uma mola presa ali. Alí ó , naquele pontinho ali! Ela não sai dali, sacou?

E olha que maneiro, o que ta variando direto ali é a velocidade, mas em dois pontos o problema falou que a velocidade é igual! Vamos usar esses dois pontos pra ficar mais fácil, pode ser?

Além disso, vamos usar esses dois pontos porque novamente não tem forças dissipativas atuando no anel. Se não tem, é só conservar energia nos dois pontos que ta tudo tranquilo.

E p = E q

Vamos usar o ponto Q como referência, fechou?

Passo 2

Calculando a energia no ponto Q :

E m e c â n i c a = U g r a v i t a c i o n a l + U e l á s t i c o + E c i n é t i c a

h = 0

v e l o c i d a d e = v

Δ x = 12 - 8 = 4 c m

P = 30 N  

E m e c â n i c a = 30 x 0 + k 0 , 04 2 2 + m v 2 2

Lembrando que como a mola não está deformada no ponto P , a mola tem comprimento de 8 cm. O que importa aqui é a variação!!

Passo 3

Calculando a energia no ponto P:

E m e c â n i c a = U g r a v i t a c i o n a l + U e l á s t i c o + E c i n é t i c a

h = 0,2 m

v e l o c i d a d e = v

Δ x = 8 - 8 = 0 c m

P = 30 N

E m e c â n i c a = 30 x 0,2 + k 0,00 2 2 + m v 2 2

Passo 4

Fica atento ali nas unidade S I , ein? Sempre temos que trabalhar em metros!!!

Como sabemos que os dois tem a mesma energia, vamos igualar as duas equações que achamos e encontramos o valor de x !

30 x 0,2 + k 0,00 2 2 + m v 2 2 = 30 x 0 x 9,81 + k 0 , 04 2 2 + m v 2 2

K = 7500 N m

Resposta

l e t r a   b )

Exercício Resolvido #6

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 234 – 59.

Um pêndulo está suspenso do teto e preso a uma mola que, por sua vez, está presa ao chão em um ponto diretamente abaixo do suporte do pêndulo. A massa da bolinha do pêndulo é m , o comprimento do pêndulo é L e a constante da força é k . O comprimento da mola frouxa é L 2 e a distância entre o chão e o teto é 1,5 L . O pêndulo é puxado lateralmente, de modo a formar um ângulo θ com a vertical e é então liberado do repouso. Obtenha uma expressão para a rapidez da bolinha, quando ela passa pelo ponto diretamente abaixo do suporte do pêndulo.

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Passo 1

Essa questão é no mesmo estilo das que a gente resolveu antes: vamos conservar a energia em dois pontos (um vai ser no momento que ela é solta e o outro é quando ela está diretamente abaixo do suporte) e comparar cada fórmula da energia mecânica, masssss, pera pera pera pera.

Calcular a gravitacional ... a gente sabe, vai ser algo com o cos ⁡ θ ali ..

Calcular a velocidade ... a gente sabe, é a incógnita do problema ...

Calcular a elástica ... opa, pera ai, como faço isso ?

Vamos puxar um pitagoras, mas calma que a gente vai vendo durante a questão!

Passo 2

Vamos escolher o ponto mais baixo da trajetória como sendo h = 0 . O que vai acontecer na questão é que a energia gravitacional e a energia elástica que a bolinha possui no ponto 1 vai ser transformada em energia cinética quando chegar no ponto 2 .

Vamos conservar energia nos dois pontos (olha, mais uma vez!) porque não temos forças dissipativas atuando na bolinha.

Passo 3

Pra descobrir a deformação x da mola temos que aplicar Pitágoras no triângulo de baixo, só que não temos o cateto horizontal. E como acha? É só aplicar Pitágoras no triângulo de cima! Vamos chamar esse cateto de d

Assim

L 2 = d 2 + L c o s θ 2

d 2 = L 2 1 - cos ⁡ θ 2

Eu sei que você quer tirar a raiz quadrada desse valor aí mas não precisa por que quando formos usar o teorema de Pitágoras no triângulo de baixo vai aparecer d 2 também!

Passo 4

Agora vamos olhar o triângulo de baixo. Pra facilitar a vida, vamos reescrever o cateto vertical como

L - L c o s θ + L 2 = L 3 2 - cos ⁡ θ

Assim, aplicando Pitágoras

x + L 2 2 = d 2 + L 3 2 - cos ⁡ θ 2

Substituindo d 2 do passo anterior

x + L 2 2 = L 2 1 - cos ⁡ θ 2 + L 3 2 - cos ⁡ θ 2

Agora vamos desenvolver esse bicho feio. Primeira coisa é botar L 2 em evidência

x + L 2 2 = L 2 1 - cos ⁡ θ 2 + 3 2 - cos ⁡ θ 2

Agora vamos abrir o quadrado no final da expressão

x + L 2 2 = L 2 1 - cos ⁡ θ 2 + 9 4 - 2 × 3 2 cos ⁡ θ + cos ⁡ θ 2

O cos ⁡ θ 2 vai embora e ficamos com

x + L 2 2 = L 2 1 + 9 4 - 2 × 3 2 cos ⁡ θ = L 2 13 4 - 3 cos ⁡ θ

Agora sim podemos tirar a raiz dos dois lados

x + L 2 = L 13 4 - 3 cos ⁡ θ

Isolando x e botando L em evidência

x = L 13 4 - 3 cos ⁡ θ - 1 2

Passo 5

Agora que já sabemos a deformação da mola, podemos comparar a energia mecânica nos dois pontos

E m e c â n i c a 1 = E m e c â n i c a 2

m g h + k x 2 2 = m v 2 2

Como queremos saber a velocidade

v 2 = 2 g h + k x 2 m

v = 2 g h + k x 2 m

Substituindo os valores que a gente conhece na equação temos:

v = 2 g L - L c o s θ + k m L 13 4 - 3 cos ⁡ θ - 1 2 2

Isolando a velocidade ficamos com:

v = 2 g L 1 - c o s θ + k L 2 m 13 4 - 3 cos ⁡ θ - 1 2 2

Eu falei que os números eram não muito bonitos ... hahahhaha

Resposta

= 2 g L 1 - c o s θ + k L 2 m 13 4 - 3 cos ⁡ θ - 1 2 2

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