Aplicações da Hidrodinâmica

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Teoria

Fala aí! A dinâmica é a parte da física que estuda o movimento dos corpos, é com ela que a gente aprende a dividir o espaço pelo tempo para encontrar a velocidade, por exemplo. Agora, quando a gente taca um “hidro” aí na frente, estamos particularmente interessados no movimento e no cálculo da velocidade dos fluidos, que tendem a se comportar de um jeito um pouquinho diferente.

Essa página aqui vai tratar mais das aplicações da hidrodinâmica (como o Tubo de Venturi) do que dos conceitos iniciais mesmo. Mas fica tranquilo, se é isso que você tá procurando, tenho tudo separadinho aqui pra você 😉👇

Tubo de Venturi

O tubo de Venturi é um equipamento desenvolvido para medir a velocidade de um fluido incompressível que passa por um tubo de diâmetro variável. Olha só, imagine que tenhamos um fluido que escoa dentro de um tubo desse tipo:

Ilustração de um tubo com diâmetro variável.
Ilustração de um tubo com diâmetro variável.

Aquela área da seção transversal é maior do que a área da região menor , concorda? Então, pelo princípio de Bernoulli e da continuidade de massa, se o fluxo de um fluido é constante, mas sua área de escoamento diminui, sua velocidade deve aumentar.

Tá, e onde que entra o tal do Venturi nessa história? Então, se a gente tiver um exemplo parecido com esse aí de cima, com uma velocidade de escoamento conhecida, podemos encontrar a velocidade de saída pelo tubo de seção reduzida por meio deste método que vou descrever agora.

Se liga, geralmente o tubo de Venturi vem com duas colunas instaladas, uma antes e uma depois da redução. e são as pressões exercidas pelo líquido dentro dessas colunas.

Tubo de Venturi.
Tubo de Venturi.

Vamos considerar dois pontos na mesma altitude, um embaixo da primeira coluna e outro embaixo da segunda. Podemos aplicar a equação de Bernoulli para esses dois pontos, da seguinte forma:

Como as alturas e são iguais, podemos ignorá-las. Aí, ficamos com:

Ou melhor:

Beleza, por enquanto usamos só Bernoulli. Agora, vamos usar o princípio de Stevin, lá da hidrostática, para calcular e . Ué, mas tô falando de hidrostática em um problema de hidrodinâmica? Aí que tá a sacada: vamos usar esse princípio só lá naqueles cilindrinhos, pois dentro deles o fluido está parado 😉.

A variação de altura entre as colunas é , e a densidade do fluido que preenche essa diferença é . Com isso, a relação entre as pressões vai ser:

Logo:

Agora, podemos substituir isso na equação anterior.

Repare que ficou porque já tirei o sinal negativo do , beleza?

Mais uma sacada: se o fluido que viemos trabalhando é sempre o mesmo, aquela densidade é constante e podemos cortá-la. Aí, ficamos com:

E, finalmente, chegamos no que queríamos. A velocidade de escoamento na seção menor vai ser:

Tudo isso parece teórico demais para um texto sobre aplicações, né? Mas pode acreditar, esse tubo de Venturi é muito utilizado em várias áreas do mundo real também. A aspiração de ar em um carburador, por exemplo, é realizada por meio de um tubo de Venturi.

Bernoulli e Lançamentos

Sabe aquele exemplo clássico que os livros adoram, de um tanque cheio de água com um vazamento por meio de um buraco ou um tubo? Vamos dar uma conferida:

Tanque de água com vazamento pela lateral.
Tanque de água com vazamento pela lateral.

O que você faria se precisasse calcular a velocidade com que a água escoa por aquele tubo ali na lateral? Não sabe nem por onde começar? Então segue aqui comigo.

Identificamos dois pontos: o Ponto 1, na superfície do líquido do tanque, e o Ponto 2, na iminência da saída do tubo. O primeiro tem as seguintes características:

ã

A pressão vai ser igual à atmosférica porque esse ponto tá lá na superfície, beleza? E a velocidade podemos aproximar para zero se considerarmos a superfície bem paradinha em relação à água que escoa ali pela lateral.

O segundo ponto vai ter a seguinte descrição:

ã

Por que a pressão nesse ponto também é ? Porque estamos considerando o ponto lá no limite da saída do tanque, ou seja, quando ele já está em contato com a atmosfera.

Com isso, podemos escrever a equação de Bernoulli para esta situação.

E o resultado disso é:

Com isso em mãos, o problema passa a ser de lançamento oblíquo 😄.

A partir daí, vai depender do que o enunciado esteja te pedindo: pode ser o alcance máximo, a velocidade ao atingir o solo, a altura máxima… Mas essa velocidade que encontramos é a velocidade inicial do lançamento, beleza?

Sifão

Bora ver mais uma aplicação. Você pode já ter se deparado com uma questão que envolve uma figura parecida com essa aqui:

Sifão.
Sifão.

Esse tubo em “U” invertido é o que chamamos de sifão. Basicamente, ele é um instrumento usado para retirar o fluido de um lugar e escoá-lo para outro.

Geralmente, irão aparecer três pontos em questões desse tipo:

  • O ponto onde ocorre a entrada do fluido (na nossa figura, o ponto ).
  • O ponto mais alto do sistema (ponto ).
  • O ponto onde ocorre a saída do fluido (ponto ).

Para calcular a velocidade de saída do líquido

Vamos começar aplicando Bernoulli entre os pontos e . Para isso, vamos considerar a velocidade de igual a zero, pelos mesmos motivos do exemplo do tanque anterior, as pressões tanto em quanto em iguais à pressão atmosférica (pois eles estão nas linhas das superfícies do líquido) e vamos adotar o ponto como referencial de altura 0. Assim, nossa equação vai ficar:

Essa é a velocidade de saída do líquido pelo ponto 🙂

E para acharmos a pressão no ponto mais alto?

Aplicamos Bernoulli novamente, dessa vez entre os pontos e .

Pelo princípio da continuidade, temos que . Logo:

E para encontrar a altura máxima do ponto mais alto?

Vamos pegar essa última equação e isolar .

Essa altura será máxima quando a pressão em for a menor possível, ou seja, 0.

Tranquilo? Então bora fazer mais uns exercícios 😄

Bernoulli e Lançamentos

Sifão

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

O tubo horizontal mostrado na figura apresenta seção reta com área igual a 40,0 c m 2 em sua parte mais larga e 10,0 c m 2 em sua constrição. A água flui no tubo, e vazão volumétrica é igual a 6,0.10 - 3   m 3 / s ( 6,0   l / s ) , Calcule:

  1. A velocidade do escoamento na parte mais larga e na constrição.
  2. A diferença de pressão entre essas duas partes.
  3. A diferença de altura entre os dois níveis de mercúrio existente no tubo em U.

Dado:

ρ á g u a = 1,0 × 10 3   k g / m 3

ρ H g = 13,6 × 10 3 k g / m 3

Passo 1

a)

Bom, como temos o valor da vazão, fica fácil calcular a velocidade em cada uma das áreas. Isso por causa do princípio da continuidade. Esse princípio nos diz que a vazão é constante. Então basta a gente usar a fórmula:

Q = A v

v = Q A

Na parte larga:

v l a r g a = 6,0.10 - 3 40.10 - 4 = 1,5   m / s

Se liga: Ali 40 c m 2 = 40.10 - 4 m 2

E na constrição:

v c o n s t r i ç ã o = 6,0.10 - 3 10.10 - 4 = 6,0   m / s

Viu como a velocidade aumenta quando a área transversal diminui? Isso acontece porque a vazão é constante (princípio da continuidade) =D

Passo 2

b)

Como o escoamento é horizontal podemos afirmar que: h 1 = h 2 . Então, aplicando Bernoulli nos dois pontos (parte larga e constrição), vamos ter:

ρ v 1 2 2 + P 1 = ρ v 2 2 2 + P 2

Galera, o problema pediu a diferença de pressão, por isso vamos isolar o termo ( P 1 - P 2 ) como um todo.

P 1 - P 2 = ρ 2 . v 2 2 - v 1 2

P 1 - P 2 = 1,0.10 3 2 6 2 - 1,5 2 = 16875   P a

Passo 3

c)

Pra calcular essa diferença vamos usar o os pontos A e B dessa figura acima! Nós vamos fazer porque o líquido no tubo em U está parado e, portanto, podemos utilizar o princípio de Stevin:

P A = P B

A pressão no ponto A vai ser a pressão do ponto 1 somada com a pressão feita pela coluna de água de altura H

P A = P 1 + ρ á g u a g H

Já a pressão no ponto B vai ser a pressão no ponto B somada com as pressões das coluna de água (com altura H - h ) e da coluna de mercúrio (com altura h )

P B = P 2 + ρ á g u a g H - h + ρ H g g h

Passo 4

Igualando as pressões A e B

P A = P B

P 1 + ρ á g u a g H = P 2 + ρ á g u a g H - h + ρ H g g h

Expandindo esse termo com a densidade da água na direita podemos ver que vai cortar o termo ρ á g u a g H

P 1 + ρ á g u a g H = P 2 + ρ á g u a g H - ρ á g u a g h + ρ H g g h

P 1 = P 2 - ρ á g u a g h + ρ H g g h

Agora basta isolar h

P 1 - P 2 = g h ρ H g - ρ á g u a

h = P 1 - P 2 g ρ H g - ρ á g u a

Já calculamos P 1 - P 2 no passo 2! Então agora é só substituir os valores e correr pro abraço!

h = 16875 10 13600 - 1000

h = 0,13 m

Resposta

a)

v l a r g a = 1,5   m / s

v c o n s t r i ç ã o = 6,0   m / s

b)

P 1 - P 2 = 16875   P a

c)

h = 0,13 m

Exercício Resolvido #2

Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas seções. A área (1) é 20   c m 2 , enquanto a da garganta (2) é 10   c m 2 . Um manômetro, cujo fluido manométrico é mercúrio, é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi.

Considere ρ H g = 13600   kg/ m 3

Passo 1

Queremos encontrar a vazão:

Q = A v = constante

⇒ Q = A 1 v 1 = A 2 v 2

Para isso, precisamos da área e velocidade na seção (1) ou na seção (2).

Perceba que temos A 1 e A 2 .

Pela equação da continuidade, podemos relacionar v 1 e v 2 :

A 1 v 1 = A 2 v 2

⇒ v 1 v 2 = A 2 A 1

⇒ v 1 = A 2 A 1 v 2

Passo 2

Substituindo valores:

v 1 = A 2 A 1 v 2

⇒ v 1 = 10   c m 2 20   c m 2 v 2

⇒ v 1 = 1 2 v 2

Observe que não podemos determinar os valores de v 1 e v 2 , mas podemos relacioná-los.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2).

Passo 3

Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2):

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

Se liga: Nesse caso, estamos aplicando a equação de Bernoulli em dois pontos do mesmo fluido.

Por isso temos uma mesma densidade ρ nos dois lados da igualdade. É bom ficar atento pois, como existe outro fluido na questão, você pode acabar se confundindo.

Passo 4

Hipótese: como o escoamento é horizontal, desconsideramos diferença de alturas:

h 1 = h 2

Logo:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

⇒ p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

Passo 5

Rearranjando:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 2 ρ v 1 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2

Vamos lembrar que v 1 e v 2 estão relacionadas pela equação da continuidade:

v 1 = 1 2 v 2

Passo 6

Substituindo:

p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 2 v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 4 v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 1 - 1 4

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 3 4

⇒ p 1 - p 2 = 3 8 ρ v 2 2

Passo 7

Isolando v 2 :

⇒ p 1 - p 2 = 3 8 ρ v 2 2

⇒ ρ v 2 2 = 8 3 p 1 - p 2

⇒ v 2 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

⇒ v 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

Agora, note que não conhecemos ainda p 1 - p 2 .

Para isso, aplicamos o Princípio de Stevin no manômetro em “U”.

Passo 8

Aplicando Princípio de Stevin nos pontos (A) e (B):

p A = p B

⇒ p 1 = p 2 + ρ H g g h

⇒ p 1 - p 2 = ρ H g g h

onde ρ m é a densidade do mercúrio e   h é a altura da coluna de mercúrio.

Pela figura:

h = 10   cm = 0,1   m

Agora é só substituir os valores para determinar p 1 - p 2 .

Passo 9

Substituindo valores:

p 1 - p 2 = ρ H g g h

⇒ p 1 - p 2 = 13600 × 9,8 × 0,1

⇒ p 1 - p 2 = 1,33 × 10 4   Pa

Passo 10

Substituindo na equação anterior, para encontrar v 2 :

v 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

⇒ v 2 = 8 × 1,33 × 10 4 3 × 1000

⇒ v 2 ≅ 6,0     m/s

Passo 11

Agora podemos substituir v 2 para encontrar a vazão:

Q = A 2 v 2

⇒ Q = 10 × 10 - 4   m 2 × 6,0   m / s

Q = 0,006   m³/s

Resposta

Q = 0,006   m³/s

Exercício Resolvido #3

O medidor de Venturi é usado para se obter a velocidade de escoamento estacionário de um fluido não viscoso em uma tubulação. Considere um fluido incompressível, de densidade ρ f , que escoa em uma tubulação com área ade seção transversal A 1 . Na região de estrangulamento, a área é reduzida pra A 2 , e um tubo manométrico é instalado como mostrado abaixo (vide figura). Suponha que o liquido do manômetro também seja incompressível e tenha densidade ρ l . NÃO despreze termos como y 2 - y 1 .

  1. Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidade no ponto 1 v 1 .
  2. Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
  3. Determine a velocidade de escoamento v 1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.

Passo 1

a)

Aqui a gente vai ter que aplicar Bernoulli entre os pontos 1 e 2.

Quando a gente usa Bernoulli, a gente precisa definir um ponto de altura 0 .

O ponto que usamos já tá definido ali na figura, é o nível que saem as alturas y 1 e y 2 .

Ok, então o resto é só aplicar os valores de pressão altura e velocidade:

ρ f g y 1 + ρ f v 1 2 2 + p 1 = ρ f g y 2 + ρ f v 2 2 2 + p 2

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f 2 ( v 2 2 - v 1 2 )

Beleza? Só que a gente não sabe v 2 . Então precisamos usar a equação da continuidade, certo?

A 1 v 1 = A 2 v 2   → v 2 = A 1 v 1 A 2

Então:

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f 2 A 1 v 1 A 2 2 - v 1 2

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f 2 A 1 v 1 A 2 2 - v 1 2

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f v 1 2 2 A 1 A 2 2 - 1

Pronto (:

Passo 2

b)

A gente vai usar o principio de Stevin pra resolver isso. No nível de altura 0 , as pressões são iguais pois tem a mesma altura. Então a pressão do lado esquerdo é a mesma que do lado direito:

p e = p d

A pressão do lado esquerdo vale:

p e = p 1 + ρ f g y 1

OU seja, é a soma da pressão 1 mais a pressão devido a coluna de líquido azul.

Preste atenção nisso, pois temos dois fluidos ali.

E a pressão do lado direito vale:

p d = p 2 + ρ f g y 2 - h + ρ l g h

Ou seja, é a soma da pressão 2, mais a pressão causada pela coluna de fluido ρ f e a coluna de fluido de liquido ρ l .

A altura da coluna de liquido ρ f é y 2 - h (veja na figura).

A altura da coluna de ρ l é h .

Passo 3

Vamos igualar as duas:

ρ e = ρ d

p 1 + ρ f g y 1 = p 2 + ρ f g y 2 - h + ρ l g h

p 1 - p 2 = - ρ f g y 1 + ρ f g y 2 - h + ρ l g h

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + h . g ρ l - ρ f

h = p 1 - p 2 + ρ f g y 1 - y 2 ρ l - ρ f g

Passo 4

c)

Temos duas expressões pra p 1 - p 2 e uma delas tem v 1 . Vamos igualar as duas:

p 1 - p 2 = p 1 - p 2

ρ f g y 2 - y 1 + ρ f v 1 2 2 A 1 A 2 2 - 1 = ρ f g y 2 - y 1 + h . g ρ l - ρ f

ρ f v 1 2 2 A 1 A 2 2 - 1 = h . g ρ l - ρ f

v 1 2 = 2 g h ( ρ l - ρ f ) ρ f A 1 A 2 2 - 1

v 1 = A 2 2 ρ l - ρ f g h ρ f A 1 2 - A 2 2

Resposta

a)

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f v 1 2 2 A 1 A 2 2 - 1

b)

h = p 1 - p 2 + ρ f g y 1 - y 2 ρ l - ρ f g

c)

v 1 = A 2 2 ρ l - ρ f g h ρ f A 1 2 - A 2 2

Exercício Resolvido #4

Considere o encanamento abaixo, por onde corre horizontalmente, em regime estacionário, um fluido não viscoso de densidade ρ . A extremidade do cano vertical está aberta para a atmosfera e a coluna de líquido nele contida não cai.

Considere conhecidas a pressão P A , a seção reta S A e a velocidade v A no ponto A , a altura h do cano vertical, a gravidade g e a pressão atmosférica P 0 .

  1. Quais a velocidade v B e a pressão P B do fluido no ponto B em função da seção reta S B no ponto B ?
  2. Discuta o sinal de Δ p A B ≡ P A - P B a partir das expressões obtidas no item anterior.
  3. Qual o valor de S B para que a coluna vertical de líquido não caia?

Passo 1

Resolvendo item (a):

Queremos a velocidade e pressão no ponto B . O enunciado nos diz que a seção reta em B é S B .

Isso tem cara de equação da continuidade e equação de Bernoulli.

Aplicando a equação da continuidade entre os pontos A e B :

S A v A = S B v B

⇒ v B = S A S B v A

Passo 2

Aplicando equação de Bernoulli entre os pontos A e B :

P A + 1 2 ρ v A 2 + ρ g h A = P B + 1 2 ρ v B 2 + ρ g h B

Como h A = h B , podemos eliminar o último termo de cada lado, pois são iguais:

P A + 1 2 ρ v A 2 = P B + 1 2 ρ v B 2

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 - 1 2 ρ v B 2

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 - v B 2

A pressão P A e a velocidade v A foram dadas e podemos substituir v B pelo que encontramos:

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 - S A S B v A 2

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 - S A S B 2 v A 2

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2

Passo 3

Resolvendo item (b):

Δ p A B = P A - P B

Pelo que acabamos de calcular:

P B = P A + 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2

⇒ P B - P A = 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2