Aplicações da Hidrodinâmica

Teoria Completa

Vamos aqui ver algumas aplicações da Hidrodinâmica e como elas podem aparecer em prova, beleza?

Tubo de Venturi

Primeiro, o que é um tubo de Venturi? Ele é um aparelho usado, na maioria das vezes, pra se calcular a velocidade de um escoamento.

Ele tem um formato que segue um padrão mais ou menos igual a esse:

Como você pode ver, existe um tubo com uma restrição e duas colunas: uma antes e uma depois da restrição. Restrição é onde o tubo fica com uma área menor, ok? E colunas de fluido são esses cilindrozinhos verticais com p 1 e p 2 .

Vamos considerar dois pontos: o ponto 1, logo abaixo da coluna de fluido 1, e o ponto 2, logo abaixo da coluna de fluido 2.

Esses dois pontos que estamos considerando estão na direção do escoamento horizontal, e estão na mesma altura.

Aplicando Bernoulli entre os dois pontos:

ρ v 1 2 2 + ρ g h 1 + P 1 = ρ v 2 2 2 + ρ g h 2 + P 2

Como h 1 = h 2 , cortamos as alturas na equação acima:

ρ v 1 2 2 - ρ v 2 2 2 = P 2 - P 1

Beleza? Arrumando isso melhor:

P 2 - P 1 = ρ 2 ( v 1 2 - v 2 2 )

Até aqui só usamos Bernoulli. Agora vem o pulo do gato! Nós podemos medir essa diferença de pressão dada acima usando o Princípio de Stevin:

P 1 = P 2 + ρ g h

Assim:

P 2 - P 1 = - ρ g h

Jogando na nossa fórmula anterior:

- ρ g h = ρ 2 v 1 2 - v 2 2

ρ g h = ρ 2 v 2 2 - v 1 2

Pronto! Essa é a ideia básica desse tipo de questão. Seguindo esse caminho, você pode encontrar uma relação entre as duas velocidades usando o princípio de Stevin!

Filete de Fluido

Você já deve ter percebido que a água que escorre de uma torneira vai se afinando com a queda, não é mesmo?

Dessa forma:

Ou seja, a área A 2 tem uma tendência a ser menor que a área A 1 . Por que isso acontece?

A gente vai ver isso combinando o nosso conhecimento da equação de Bernoulli e da Continuidade.

Explicação1: Usando Bernoulli.

Vamos chamar de Ponto 1 o ponto que possui área A 1 e altura h , e vamos chamar de Ponto 2 o ponto que possui área A 2 e altura 0 . (Isso mesmo, colocamos o referencial no 2).

Vamos analisar cada ponto:

Ponto 1:

A l t u r a = h

P r e s s ã o = P a t m

V e l o c i d a d e = v 1

Ponto 2:

A l t u r a = 0

P r e s s ã o = P a t m

V e l o c i d a d e = v 2

Uma pergunta interessante: Por que a pressão dos dois pontos é igual?

Você poderia pensar: Eu deveria aplicar P = ρ g h ali, já que existe uma diferença de altura.

Mas você não pode aplicar essa fórmula ali. Por quê?

Por que você já aplicou na equação de Bernoulli! Essa pressão vai ser a pressão atmosférica por que nesses dois pontos o fluido está em contato com o ar!

Beleza?Vamo que vamo então!

Assim, aplicando Bernoulli entre os pontos 1 e 2:

ρ v 1 2 2 + ρ g h + P a t m = ρ v 2 2 2 + P a t m

ρ v 1 2 2 + ρ g h = ρ v 2 2 2

Cortando ρ e isolando v 2 2

v 2 2 = v 1 2 + 2 g h

Como a velocidade do ponto inferior varia com a altura, podemos chamá-la de v h :

v 2 = v h = v 1 2 + 2 g h

Explicação2: Usando a continuidade.

Estamos quase lá! Vamos usar agora o Princípio da Continuidade. Se considerarmos que o filete de água não tem perdas de massa (não respinga, por exemplo), poderemos aplicar a equação da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Agora, isolando A 2 :

A 2 = A 1 v 1 v 2

Substituindo o valor de v 2 que encontramos:

A 2 = A 1 v 1 v 1 2 + 2 g h

Usando: v 1 = v 1 2 , já que v 1 é positiva:

A 2 = A 1 . v 1 2 v 1 2 + 2 g h = A 1 v 1 2 v 1 2 + 2 g h

A 2 = A 1 1 1 + 2 g h v 1 2

Se aumentarmos h , o denominador da equação acima cresce, o que diminui a área A 2 .

Tranquilo?

Bernoulli e Lançamentos

Agora vamos ver como resolver problemas como esse aqui:

O que iremos fazer é o seguinte: primeiro, vamos descobrir a velocidade no ponto 2. Faremos isso usando a equação de Bernoulli.Após isso, vamos analisar a cinemática do problema.

Bom, no nosso exemplo, qual é a velocidade no ponto 2?

Vamos analisar as características de cada ponto.

Ponto 1(na superfície do líquido do tanque):

A l t u r a = H

P r e s s ã o = P 0

V e l o c i d a d e ≅ 0

Como você pode ver, a pressão é igual à pressão atmosférica e a velocidade é bem próxima de zero, já que estamos analisando um ponto na superfície do tanque.

Ponto 2 (no tubo, na limite da saída do tanque):

A l t u r a = 0

P r e s s ã o = P 0

V e l o c i d a d e = v 2

Por que a pressão nesse ponto também é P 0 ? Porque estamos considerando que esse ponto está na no limite da saída do tanque, ou seja, está em contato com a atmosfera.

Assim:

P 0 + ρ g H + 0 = P 0 + ρ v 2 2 2

v 2 = 2 g H

Bom, achando o valor da velocidade, o problema passa a ser um problema de lançamento oblíquo.

A partir daí, vai depender do enunciado: pode ser que seja pedido o alcance máximo, a altura máxima, a velocidade ao atingir o solo, etc.

Sifão

Você já deve ter se deparado com uma questão que envolve uma figura parecida com essa aqui:

Nós chamamos esse tudo em “U” invertido de sifão.

O sifão é basicamente um instrumento que retira fluido de um tanque e o transporta pra outro lugar. No caso da figura, o fluido está saindo do ponto A e sendo levado ao ponto C , onde é despejado para fora do sistema.

Nessas questões, geralmente irão aparecer três pontos:

  • O ponto onde ocorre a entrada do fluido (no caso da figura, o ponto A ).
  • O ponto mais alto (no caso da figura, o ponto B ) .
  • O ponto onde ocorre a saída do fluido (no caso da figura, o ponto C ) .

Pra se calcular a velocidade de saída faremos assim: aplicaremos Bernoulli entre os pontos A e C .

Pra isso, vamos adotar altura 0 pro ponto C . A diferença de altura entre os pontos será h :

A pressão de A , no caso da figura, é a pressão atmosférica. Como sabemos disso? Basta dá uma olhada na figura e ver que o ponto A se encontra na superfície do fluido.

Mas o ponto A está dentro de um tubo, isso não afeta em nada?

Bom, nós podemos aproximar a velocidade de A por v A = 0 . Assim, o regime naquele ponto é o hidrostático, o que nos permite aplicar Stevin entre o ponto A e qualquer ponto logo ao lado fora do tubo.

Como Stevin nos diz que pontos de alturas iguais possuem a mesma pressão, podemos dizer que a pressão em A é a pressão atmosférica, já que os pontos próximos de mesma altura são pontos da superfície , aberta à atmosfera, e que, portanto, possuem P = P a t m .

Show?

E a pressão no ponto C ? Como ele é aberto pra atmosfera, também será: P = P a t m . Assim, aplicando Bernoulli entre os pontos:

P A + ρ g h A + ρ v A 2 2 = P C + ρ g h C + ρ v C 2 2

h C = 0

h A = h

v A = 0

P A = P C = P a t m

P a t m + ρ g h + 0 = P a t m + 0 + ρ v C 2 2 → v C = 2 g h

E essa é a velocidade de saída (:

E se a questão tiver um tubo que vai um pouco abaixo da linha d’água do fluido? Tipo assim:

Bom, nesse caso, devemos comparar C não com A , mas com o ponto mais acima de A , na mesma vertical, que esteja na superfície do fluido. Em um dos nossos exercícios isso ficará mais claro. O resto do raciocínio da questão, achar a pressão em B e a altura máxima, continuam o mesmo.

Pressão no ponto mais alto

Podemos achar a pressão no ponto mais alto da seguinte maneira: aplicando Bernoulli entre os pontos B e C .

P B + ρ g h B + ρ v B 2 2 = P C + ρ g h C + ρ v c 2 2

Lembrando que:

P c = P a t m

h c = 0

Pela princípio da continuidade, temos que: v c = v B = v .

Assim:

P B + ρ g h B + ρ v 2 2 = P c + ρ v 2 2

P B = P c - ρ g h B

Na qual h B é a altura do ponto mais alto até o nível de referência, que no caso, é o ponto de saída C .

Altura máxima do ponto mais alto

Pra achar a pressão no ponto mais alto, basta a gente analisar a situação extrema: Quando a pressão em B for nula:

P B = 0

0 = P c - ρ g H → H = P c ρ g = P a t m ρ g

E H representa a altura desde o nível do ponto C até o ponto mais alto do sifão.

Vamos fazer umas questões agora. (:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 101 – Modificado

O tubo horizontal mostrado na figura apresenta seção reta com área igual a 40,0 c m 2 em sua parte mais larga e 10,0 c m 2 em sua constrição. A água flui no tubo, e vazão volumétrica é igual a 6,0.10 - 3   m 3 / s ( 6,0   l / s ) , Calcule:

  1. A velocidade do escoamento na parte mais larga e na constrição.
  2. A diferença de pressão entre essas duas partes.
  3. A diferença de altura entre os dois níveis de mercúrio existente no tubo em U.

Dado:

ρ á g u a = 1,0 × 10 3   k g / m 3

ρ H g = 13,6 × 10 3 k g / m 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Bom, como temos o valor da vazão, fica fácil calcular a velocidade em cada uma das áreas. Basta a gente usar a fórmula:

Q = A v → v = Q A

Na parte larga:

v l a r g a = 6,0.10 - 3 40.10 - 4 = 1,5   m / s

Se liga: Ali 40 c m 2 = 40.10 - 4 m 2

E na constrição:

v c o n s t r i ç ã o = 6,0.10 - 3 10.10 - 4 = 6,0   m / s