Aplicações da Hidrodinâmica
Teoria
Introdução
Como calculamos a velocidade de algo que se movimenta? Bom a gente viu por aí que é só observar o espaço percorrido e dividir pelo tempo do percurso, mas e quando a gente tem algo como um fluído?
Quando a gente trabalha com fluídos o cálculo da velocidade pode não ser tão visual assim. Nesses casos podemos usar alguns equipamentos pra nos ajudar e é o caso do tubo de Venturi.
Tubo de Venturi
Primeiro, o que é um tubo de Venturi? Ele é um aparelho usado, na maioria das vezes, pra se calcular a velocidade de um escoamento. Se você tiver uma tubulação com uma velocidade conhecida e precisar fazer uma redução na seção da tubulação é possível encontrar a velocidade de saída usando o tubo de Venturi.
Ele tem um formato que segue um padrão mais ou menos igual a esse:
Como você pode ver, existe um tubo com uma redução de áreas e duas colunas: uma antes e uma depois da redução. As colunas de fluido são os cilindrozinhos verticais com e .
Vamos considerar dois pontos: o ponto 1, logo abaixo da coluna de fluido 1, e o ponto 2, logo abaixo da coluna de fluido 2.
Esses dois pontos que estamos considerando estão na direção do escoamento horizontal, e estão na mesma altura.
Aplicando Bernoulli entre os dois pontos:
Como , cortamos as alturas na equação acima:
Beleza? Arrumando isso melhor:
Até aqui só usamos Bernoulli. Agora vem o pulo do gato! Usaremos o princípio de Stevin para calcular as pressões e nos cilindrinhos.
Ah, e só podemos usar o princípio de Stevin nos cilindrinhos, pois lá, o fluido está parado, e o princípio de Stevin só pode ser usado na hidrostática, beleza?!
Aqui basta a gente observar que a diferença de altura das colunas é e essa diferença está preenchida pelo fluído com densidade e com isso teremos a seguinte relação entre essas pressões:
Assim:
Jogando na nossa fórmula anterior:
Se tratando de um único fluído de densidade constante temos então a seguinte relação:
E por fim a velocidade na seção menor fica:
Filete de Fluido
Você já deve ter percebido que a água que escorre de uma torneira vai se afinando com a queda, não é mesmo?
Dessa forma:
Ou seja, a área tem uma tendência a ser menor que a área . Por que isso acontece?
A gente vai ver isso combinando o nosso conhecimento da equação de Bernoulli e da Continuidade.
Vamos chamar de Ponto o ponto que possui área e altura , e vamos chamar de Ponto 2 o ponto que possui área e altura (Isso mesmo, colocamos o referencial no 2).
Vamos analisar cada ponto:
Ponto 1:
Ponto 2:
Uma pergunta interessante: Por que a pressão dos dois pontos é igual?
Essa pressão vai ser a pressão atmosférica por que nesses dois pontos o fluido está em contato com o ar!
Assim, aplicando Bernoulli entre os pontos 1 e 2:
Cortando e isolando
Como a velocidade do ponto inferior varia com a altura, podemos chamá-la de já que a medida que a altura varia a aumenta:
Estamos quase lá! Vamos usar agora o Princípio da Continuidade. Se considerarmos que o filete de água não tem perdas de massa (não respinga, por exemplo), poderemos aplicar a equação da continuidade:
Agora, isolando
Substituindo o valor de que encontramos:
Usando: , já que é positiva:
Se aumentarmos , o denominador da equação acima cresce, o que diminui a área .
Bernoulli e Lançamentos
Em alguns casos a água pode ser lançada obliquamente, se tivermos um tanque com uma grande abertura e fizermos um furo na lateral do tanque esse fenômeno ocorrerá, se liga:
Mas e aí, será que dá pra gente calcular a velocidade com que a água atinge o solo?
O que iremos fazer é o seguinte: primeiro, vamos descobrir a velocidade no ponto 2. Faremos isso usando a equação de Bernoulli.Após isso, vamos analisar a cinemática do problema.
Bom, no nosso exemplo, qual é a velocidade no ponto 2?
Vamos analisar as características de cada ponto.
Ponto 1(na superfície do líquido do tanque):
Como você pode ver, a pressão é igual à pressão atmosférica e a velocidade na superfície quando comparada a velocidade do furo é tão pequena que pode ser desprezada e aproximada a 0.
Ponto 2 (no tubo, no limite da saída do tanque):
Por que a pressão nesse ponto também é ? Porque estamos considerando que esse ponto está na no limite da saída do tanque, ou seja, está em contato com a atmosfera.
Assim:
Bom, achando o valor da velocidade, o problema passa a ser um problema de lançamento oblíquo.
A partir daí, vai depender do enunciado: pode ser que seja pedido o alcance máximo, a altura máxima, a velocidade ao atingir o solo, mas o importante é que a velocidade que encontramos será a velocidade inicial do lançamento, beleza?
Sifão
Você já deve ter se deparado com uma questão que envolve uma figura parecida com essa aqui:
Nós chamamos esse tubo em “U” invertido de sifão.
O sifão é basicamente um instrumento que retira fluido de um tanque e o transporta pra outro lugar. No caso da figura, o fluido está saindo do ponto e sendo levado ao ponto , onde é despejado para fora do sistema.
Nessas questões, geralmente irão aparecer três pontos:
- O ponto onde ocorre a entrada do fluido (no caso da figura, o ponto ).
- O ponto mais alto (no caso da figura, o ponto
- O ponto onde ocorre a saída do fluido (no caso da figura, o ponto
Pra se calcular a velocidade de saída faremos assim: aplicaremos Bernoulli entre os pontos e
Pra isso, vamos adotar altura pro ponto . A diferença de altura entre os pontos será
Bom, nós podemos aproximar a velocidade de por . Assim, o regime naquele ponto é o hidrostático, o que nos permite aplicar Stevin entre o ponto e qualquer ponto logo ao lado fora do tubo.
A pressão de , no caso da figura, é a pressão atmosférica, ou seja, . Como sabemos disso? Basta dá uma olhada na figura e ver que o ponto se encontra na superfície do fluido.
Mas o ponto está dentro de um tubo, isso não afeta em nada?
Como Stevin nos diz que pontos de alturas iguais possuem a mesma pressão, podemos dizer que a pressão em é a pressão atmosférica, já que os pontos próximos de mesma altura são pontos da superfície , aberta à atmosfera, e que, portanto, possuem
Show?
E a pressão no ponto Como ele é aberto pra atmosfera, também será: . Assim, aplicando Bernoulli entre os pontos:
E essa é a velocidade de saída (:
E se a questão tiver um tubo que vai um pouco abaixo da linha d’água do fluido? Tipo assim:
Bom, nesse caso, devemos comparar não com , mas com o ponto na mesma vertical, que esteja na superfície do fluido. Em um dos nossos exercícios isso ficará mais claro. O resto do raciocínio da questão, achar a pressão em e a altura máxima, continuam o mesmo.
Pressão no ponto mais alto
Podemos achar a pressão no ponto mais alto da seguinte maneira: aplicando Bernoulli entre os pontos e
Lembrando que:
Pelo princípio da continuidade e como temos áreas iguais no tubo, temos que: .
Assim:
Na qual é a altura do ponto mais alto até o nível de referência, que no caso, é o ponto de saída
Altura máxima do ponto mais alto
Podemos encontrar a maior altura possível pro ponto no topo do sifão, analisando a equação encontrada antes que relaciona a pressão em e
E como maximizamos essa altura? Quando a pressão em for a menor possível, ou seja, 0.
E representa a altura desde o nível do ponto até o ponto mais alto do sifão.
Vamos fazer umas questões agora. (:
Bernoulli e Lançamentos
Sifão
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 101 – Modificado
O tubo horizontal mostrado na figura apresenta seção reta com área igual a em sua parte mais larga e em sua constrição. A água flui no tubo, e vazão volumétrica é igual a (, Calcule:
- A velocidade do escoamento na parte mais larga e na constrição.
- A diferença de pressão entre essas duas partes.
- A diferença de altura entre os dois níveis de mercúrio existente no tubo em U.
Dado:
Passo 1
a)
Bom, como temos o valor da vazão, fica fácil calcular a velocidade em cada uma das áreas. Isso por causa do princípio da continuidade. Esse princípio nos diz que a vazão é constante. Então basta a gente usar a fórmula:
Na parte larga:
Se liga: Ali
E na constrição:
Viu como a velocidade aumenta quando a área transversal diminui? Isso acontece porque a vazão é constante (princípio da continuidade) =D
Passo 2
b)
Como o escoamento é horizontal podemos afirmar que: . Então, aplicando Bernoulli nos dois pontos (parte larga e constrição), vamos ter:
Galera, o problema pediu a diferença de pressão, por isso vamos isolar o termo como um todo.
Passo 3
c)
Pra calcular essa diferença vamos usar o os pontos A e B dessa figura acima! Nós vamos fazer porque o líquido no tubo em está parado e, portanto, podemos utilizar o princípio de Stevin:
A pressão no ponto A vai ser a pressão do ponto somada com a pressão feita pela coluna de água de altura
Já a pressão no ponto B vai ser a pressão no ponto B somada com as pressões das coluna de água (com altura ) e da coluna de mercúrio (com altura )
Passo 4
Igualando as pressões A e B
Expandindo esse termo com a densidade da água na direita podemos ver que vai cortar o termo
Agora basta isolar
Já calculamos no passo 2! Então agora é só substituir os valores e correr pro abraço!
Resposta
a)
b)
c)
Exercício Resolvido #2
Aula teórica, Fenômenos de Transporte, Profª. Érica Cristine
Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas seções. A área (1) é , enquanto a da garganta (2) é . Um manômetro, cujo fluido manométrico é mercúrio, é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi.
Considere
Passo 1
Queremos encontrar a vazão:
Para isso, precisamos da área e velocidade na seção (1) ou na seção (2).
Perceba que temos e .
Pela equação da continuidade, podemos relacionar e :
Passo 2
Substituindo valores:
Observe que não podemos determinar os valores de e , mas podemos relacioná-los.
Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2).
Passo 3
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2):
Se liga: Nesse caso, estamos aplicando a equação de Bernoulli em dois pontos do mesmo fluido.
Por isso temos uma mesma densidade nos dois lados da igualdade. É bom ficar atento pois, como existe outro fluido na questão, você pode acabar se confundindo.
Passo 4
Hipótese: como o escoamento é horizontal, desconsideramos diferença de alturas:
Logo:
Passo 5
Rearranjando:
Vamos lembrar que e estão relacionadas pela equação da continuidade:
Passo 6
Substituindo:
Passo 7
Isolando :
Agora, note que não conhecemos ainda .
Para isso, aplicamos o Princípio de Stevin no manômetro em “U”.
Passo 8
Aplicando Princípio de Stevin nos pontos (A) e (B):
onde é a densidade do mercúrio e é a altura da coluna de mercúrio.
Pela figura:
Agora é só substituir os valores para determinar .
Passo 9
Substituindo valores:
Passo 10
Substituindo na equação anterior, para encontrar :
Passo 11
Agora podemos substituir para encontrar a vazão:
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFRJ-P1-2013.1-D2
O medidor de Venturi é usado para se obter a velocidade de escoamento estacionário de um fluido não viscoso em uma tubulação. Considere um fluido incompressível, de densidade , que escoa em uma tubulação com área ade seção transversal Na região de estrangulamento, a área é reduzida pra , e um tubo manométrico é instalado como mostrado abaixo (vide figura). Suponha que o liquido do manômetro também seja incompressível e tenha densidade . NÃO despreze termos como
- Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidade no ponto 1
- Determine a altura lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
- Determine a velocidade de escoamento em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.
Passo 1
a)
Aqui a gente vai ter que aplicar Bernoulli entre os pontos 1 e 2.
Quando a gente usa Bernoulli, a gente precisa definir um ponto de altura
O ponto que usamos já tá definido ali na figura, é o nível que saem as alturas e
Ok, então o resto é só aplicar os valores de pressão altura e velocidade:
Beleza? Só que a gente não sabe . Então precisamos usar a equação da continuidade, certo?
Então:
Pronto (:
Passo 2
b)
A gente vai usar o principio de Stevin pra resolver isso. No nível de altura , as pressões são iguais pois tem a mesma altura. Então a pressão do lado esquerdo é a mesma que do lado direito: