Aplicações da Hidrodinâmica

Teoria Completa

Introdução

Como calculamos a velocidade de algo que se movimenta? Bom a gente viu por aí que é só observar o espaço percorrido e dividir pelo tempo do percurso, mas e quando a gente tem algo como um fluído?

Quando a gente trabalha com fluídos o cálculo da velocidade pode não ser tão visual assim. Nesses casos podemos usar alguns equipamentos pra nos ajudar e é o caso do tubo de Venturi.

Tubo de Venturi

Primeiro, o que é um tubo de Venturi? Ele é um aparelho usado, na maioria das vezes, pra se calcular a velocidade de um escoamento. Se você tiver uma tubulação com uma velocidade conhecida v 1   e precisar fazer uma redução na seção da tubulação é possível encontrar a velocidade de saída usando o tubo de Venturi.

Ele tem um formato que segue um padrão mais ou menos igual a esse:

Como você pode ver, existe um tubo com uma redução de áreas e duas colunas: uma antes e uma depois da redução. As colunas de fluido são os cilindrozinhos verticais com p 1 e p 2 .

Vamos considerar dois pontos: o ponto 1, logo abaixo da coluna de fluido 1, e o ponto 2, logo abaixo da coluna de fluido 2.

Esses dois pontos que estamos considerando estão na direção do escoamento horizontal, e estão na mesma altura.

Aplicando Bernoulli entre os dois pontos:

ρ v 1 2 2 + ρ g h 1 + P 1 = ρ v 2 2 2 + ρ g h 2 + P 2

Como h 1 = h 2 , cortamos as alturas na equação acima:

ρ v 1 2 2 - ρ v 2 2 2 = P 2 - P 1

Beleza? Arrumando isso melhor:

P 2 - P 1 = ρ 2 ( v 1 2 - v 2 2 )

Até aqui só usamos Bernoulli. Agora vem o pulo do gato! Usaremos o princípio de Stevin para calcular as pressões P 1 e P 2 nos cilindrinhos.

Ah, e só podemos usar o princípio de Stevin nos cilindrinhos, pois lá, o fluido está parado, e o princípio de Stevin só pode ser usado na hidrostática, beleza?!

Aqui basta a gente observar que a diferença de altura das colunas é h e essa diferença está preenchida pelo fluído com densidade ρ e com isso teremos a seguinte relação entre essas pressões:

P 1 = P 2 + ρ g h

Assim:

P 2 - P 1 = - ρ g h

Jogando na nossa fórmula anterior:

- ρ g h = ρ 2 v 1 2 - v 2 2

ρ g h = ρ 2 v 2 2 - v 1 2

Se tratando de um único fluído de densidade constante temos então a seguinte relação:

2 g h = v 2 2 - v 1 2

E por fim a velocidade na seção menor fica:

v 2 = v 1 2 + 2 g h  

Filete de Fluido

Você já deve ter percebido que a água que escorre de uma torneira vai se afinando com a queda, não é mesmo?

Dessa forma:

Ou seja, a área A 2 tem uma tendência a ser menor que a área A 1 . Por que isso acontece?

A gente vai ver isso combinando o nosso conhecimento da equação de Bernoulli e da Continuidade.

Vamos chamar de Ponto 1 o ponto que possui área A 1 e altura h , e vamos chamar de Ponto 2 o ponto que possui área A 2 e altura 0 . (Isso mesmo, colocamos o referencial no 2).

Vamos analisar cada ponto:

Ponto 1:

A l t u r a = h

P r e s s ã o = P a t m

V e l o c i d a d e = v 1

Ponto 2:

A l t u r a = 0

P r e s s ã o = P a t m

V e l o c i d a d e = v 2

Uma pergunta interessante: Por que a pressão dos dois pontos é igual?

Essa pressão vai ser a pressão atmosférica por que nesses dois pontos o fluido está em contato com o ar!

Assim, aplicando Bernoulli entre os pontos 1 e 2:

ρ v 1 2 2 + ρ g h + P a t m = ρ v 2 2 2 + P a t m

ρ v 1 2 2 + ρ g h = ρ v 2 2 2

Cortando ρ e isolando v 2 2

v 2 2 = v 1 2 + 2 g h

Como a velocidade do ponto inferior varia com a altura, podemos chamá-la de v h já que a medida que a altura varia a v 2 aumenta:

v 2 = v h = v 1 2 + 2 g h

Estamos quase lá! Vamos usar agora o Princípio da Continuidade. Se considerarmos que o filete de água não tem perdas de massa (não respinga, por exemplo), poderemos aplicar a equação da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Agora, isolando A 2 :

A 2 = A 1 v 1 v 2

Substituindo o valor de v 2 que encontramos:

A 2 = A 1 v 1 v 1 2 + 2 g h

Usando: v 1 = v 1 2 , já que v 1 é positiva:

A 2 = A 1 . v 1 2 v 1 2 + 2 g h = A 1 v 1 2 v 1 2 + 2 g h

A 2 = A 1 1 1 + 2 g h v 1 2

Se aumentarmos h , o denominador da equação acima cresce, o que diminui a área A 2 .

Bernoulli e Lançamentos

Em alguns casos a água pode ser lançada obliquamente, se tivermos um tanque com uma grande abertura e fizermos um furo na lateral do tanque esse fenômeno ocorrerá, se liga:

Mas e aí, será que dá pra gente calcular a velocidade com que a água atinge o solo?

O que iremos fazer é o seguinte: primeiro, vamos descobrir a velocidade no ponto 2. Faremos isso usando a equação de Bernoulli.Após isso, vamos analisar a cinemática do problema.

Bom, no nosso exemplo, qual é a velocidade no ponto 2?

Vamos analisar as características de cada ponto.

Ponto 1(na superfície do líquido do tanque):

A l t u r a = H

P r e s s ã o = P 0

V e l o c i d a d e ≅ 0

Como você pode ver, a pressão é igual à pressão atmosférica e a velocidade na superfície quando comparada a velocidade do furo é tão pequena que pode ser desprezada e aproximada a 0.

Ponto 2 (no tubo, no limite da saída do tanque):

A l t u r a = 0

P r e s s ã o = P 0

V e l o c i d a d e = v 2

Por que a pressão nesse ponto também é P 0 ? Porque estamos considerando que esse ponto está na no limite da saída do tanque, ou seja, está em contato com a atmosfera.

Assim:

P 0 + ρ g H + 0 = P 0 + ρ v 2 2 2

v 2 = 2 g H

Bom, achando o valor da velocidade, o problema passa a ser um problema de lançamento oblíquo.

A partir daí, vai depender do enunciado: pode ser que seja pedido o alcance máximo, a altura máxima, a velocidade ao atingir o solo, mas o importante é que a velocidade que encontramos será a velocidade inicial do lançamento, beleza?

Sifão

Você já deve ter se deparado com uma questão que envolve uma figura parecida com essa aqui:

Nós chamamos esse tubo em “U” invertido de sifão.

O sifão é basicamente um instrumento que retira fluido de um tanque e o transporta pra outro lugar. No caso da figura, o fluido está saindo do ponto A e sendo levado ao ponto C , onde é despejado para fora do sistema.

Nessas questões, geralmente irão aparecer três pontos:

  • O ponto onde ocorre a entrada do fluido (no caso da figura, o ponto A ).
  • O ponto mais alto (no caso da figura, o ponto B ) .
  • O ponto onde ocorre a saída do fluido (no caso da figura, o ponto C ) .

Pra se calcular a velocidade de saída faremos assim: aplicaremos Bernoulli entre os pontos A e C .

Pra isso, vamos adotar altura 0 pro ponto C . A diferença de altura entre os pontos será h :

Bom, nós podemos aproximar a velocidade de A por v A = 0 . Assim, o regime naquele ponto é o hidrostático, o que nos permite aplicar Stevin entre o ponto A e qualquer ponto logo ao lado fora do tubo.

A pressão de A , no caso da figura, é a pressão atmosférica, ou seja, P A = P A T M . Como sabemos disso? Basta dá uma olhada na figura e ver que o ponto A se encontra na superfície do fluido.

Mas o ponto A está dentro de um tubo, isso não afeta em nada?

Como Stevin nos diz que pontos de alturas iguais possuem a mesma pressão, podemos dizer que a pressão em A é a pressão atmosférica, já que os pontos próximos de mesma altura são pontos da superfície , aberta à atmosfera, e que, portanto, possuem P = P a t m .

Show?

E a pressão no ponto C ? Como ele é aberto pra atmosfera, também será: P C = P a t m . Assim, aplicando Bernoulli entre os pontos:

P A + ρ g h A + ρ v A 2 2 = P C + ρ g h C + ρ v C 2 2

P a t m + ρ g h + 0 = P a t m + 0 + ρ v C 2 2 → v C = 2 g h

E essa é a velocidade de saída (:

E se a questão tiver um tubo que vai um pouco abaixo da linha d’água do fluido? Tipo assim:

Bom, nesse caso, devemos comparar C não com A , mas com o ponto D   na mesma vertical, que esteja na superfície do fluido. Em um dos nossos exercícios isso ficará mais claro. O resto do raciocínio da questão, achar a pressão em B e a altura máxima, continuam o mesmo.

Pressão no ponto mais alto

Podemos achar a pressão no ponto mais alto da seguinte maneira: aplicando Bernoulli entre os pontos B e C .

P B + ρ g h B + ρ v B 2 2 = P C + ρ g h C + ρ v c 2 2

Lembrando que:

P c = P a t m

h c = 0

Pelo princípio da continuidade e como temos áreas iguais no tubo, temos que: v c = v B = v .

Assim:

P B + ρ g h B + ρ v 2 2 = P c + ρ v 2 2

P B = P c - ρ g h B

Na qual h B é a altura do ponto mais alto até o nível de referência, que no caso, é o ponto de saída C .

Altura máxima do ponto mais alto

Podemos encontrar a maior altura possível pro ponto B no topo do sifão, analisando a equação encontrada antes que relaciona a pressão em B e C .

P B = P c - ρ g h B

ρ g h b = P c - P b

h b = P c - P b ρ    

E como maximizamos essa altura? Quando a pressão em B for a menor possível, ou seja, 0.

P B = 0

h b = P c ρ g = P a t m ρ g

E h b representa a altura desde o nível do ponto C   até o ponto mais alto do sifão.

Vamos fazer umas questões agora. (:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 101 – Modificado

O tubo horizontal mostrado na figura apresenta seção reta com área igual a 40,0 c m 2 em sua parte mais larga e 10,0 c m 2 em sua constrição. A água flui no tubo, e vazão volumétrica é igual a 6,0.10 - 3   m 3 / s ( 6,0   l / s ) , Calcule:

  1. A velocidade do escoamento na parte mais larga e na constrição.
  2. A diferença de pressão entre essas duas partes.
  3. A diferença de altura entre os dois níveis de mercúrio existente no tubo em U.

Dado:

ρ á g u a = 1,0 × 10 3   k g / m 3

ρ H g = 13,6 × 10 3 k g / m 3

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Passo 1

a)

Bom, como temos o valor da vazão, fica fácil calcular a velocidade em cada uma das áreas. Basta a gente usar a fórmula:

Q = A v → v = Q A

Na parte larga:

v l a r g a = 6,0.10 - 3 40.10 - 4 = 1,5   m / s

Se liga: Ali 40 c m 2 = 40.10 - 4 m 2

E na constrição:

v c o n s t r i ç ã o = 6,0.10 - 3 10.10 - 4 = 6,0   m / s

Passo 2

b)

Como o escoamento é horizontal, vamos fazer aquela suposição de que: h 1 ≅ h 2 . Então, aplicando Bernoulli nos dois pontos (parte larga e constrição), vamos ter:

ρ v 1 2 2 + P 1 = ρ v 2 2 2 + P 2

P 1 - P 2 = ρ 2 . v 2 2 - v 1 2 = 1,0.10 3 2 6 2 - 1,5 2 = 16875   P a

Passo 3

c)

Pra calcular essa diferença vamos usar o os pontos A e B dessa figura acima!

Como está em equilíbrio temos que as pressões nesses pontos são iguais

P A = P B

A pressão no ponto A vai ser a pressão do ponto 1 somada com a pressão feita pela coluna de água de altura H

P A = P 1 + ρ á g u a g H

Já a pressão no ponto B vai ser a pressão no ponto B somada com as pressões das coluna de água (com altura H - h ) e da coluna de mercúrio (com altura h )

P B = P 2 + ρ á g u a g H - h + ρ H g g h

Passo 4

Igualando as pressões A e B

P A = P B

P 1 + ρ á g u a g H = P 2 + ρ á g u a g H - h + ρ H g g h

Expandindo esse termo com a densidade da água na direita podemos ver que vai cortar o termo ρ á g u a g H

P 1 + ρ á g u a g H = P 2 + ρ á g u a g H - ρ á g u a g h + ρ H g g h

P 1 = P 2 - ρ á g u a g h + ρ H g g h

Agora basta isolar h

P 1 - P 2 = g h ρ H g - ρ á g u a

h = P 1 - P 2 g ρ H g - ρ á g u a

Já calculamos P 1 - P 2 no passo 2! Então agora é só substituir os valores e correr pro abraço!

h = 16875 10 13600 - 1000

h = 0,13 m

Resposta

a)

v l a r g a = 1,5   m / s

v c o n s t r i ç ã o = 6,0   m / s

b)

P 1 - P 2 = 16875   P a

c)

h = 0,13 m

Exercício Resolvido #2

Aula teórica, Fenômenos de Transporte, Profª. Érica Cristine

Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas seções. A área (1) é 20   c m 2 , enquanto a da garganta (2) é 10   c m 2 . Um manômetro, cujo fluido manométrico é mercúrio, é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi.

Considere ρ H g = 13600   kg/ m 3

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Passo 1

Queremos encontrar a vazão:

Q = A v = constante

⇒ Q = A 1 v 1 = A 2 v 2

Para isso, precisamos da área e velocidade na seção (1) ou na seção (2).

Perceba que temos A 1 e A 2 .

Pela equação da continuidade, podemos relacionar v 1 e v 2 :

A 1 v 1 = A 2 v 2

⇒ v 1 v 2 = A 2 A 1

⇒ v 1 = A 2 A 1 v 2

Passo 2

Substituindo valores:

v 1 = A 2 A 1 v 2

⇒ v 1 = 10   c m 2 20   c m 2 v 2

⇒ v 1 = 1 2 v 2

Observe que não podemos determinar os valores de v 1 e v 2 , mas podemos relacioná-los.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2).

Passo 3

Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2):

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

Se liga: Nesse caso, estamos aplicando a equação de Bernoulli em dois pontos do mesmo fluido.

Por isso temos uma mesma densidade ρ nos dois lados da igualdade. É bom ficar atento pois, como existe outro fluido na questão, você pode acabar se confundindo.

Passo 4

Hipótese: como o escoamento é horizontal, desconsideramos diferença de alturas:

h 1 = h 2

Logo:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

⇒ p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

Passo 5

Rearranjando:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 2 ρ v 1 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2

Vamos lembrar que v 1 e v 2 estão relacionadas pela equação da continuidade:

v 1 = 1 2 v 2

Passo 6

Substituindo:

p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 2 v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 4 v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 1 - 1 4

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 3 4

⇒ p 1 - p 2 = 3 8 ρ v 2 2

Passo 7

Isolando v 2 :

⇒ p 1 - p 2 = 3 8 ρ v 2 2

⇒ ρ v 2 2 = 8 3 p 1 - p 2

⇒ v 2 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

⇒ v 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

Agora, note que não conhecemos ainda p 1 - p 2 .

Para isso, aplicamos o Princípio de Stevin no manômetro em “U”.

Passo 8

Aplicando Princípio de Stevin nos pontos (A) e (B):

p A = p B

⇒ p 1 = p 2 + ρ H g g h

⇒ p 1 - p 2 = ρ H g g h

onde ρ m é a densidade do mercúrio e   h é a altura da coluna de mercúrio.

Pela figura:

h = 10   cm = 0,1   m

Agora é só substituir os valores para determinar p 1 - p 2 .

Passo 9

Substituindo valores:

p 1 - p 2 = ρ H g g h

⇒ p 1 - p 2 = 13600 × 9,8 × 0,1

⇒ p 1 - p 2 = 1,33 × 10 4   Pa

Passo 10

Substituindo na equação anterior, para encontrar v 2 :

v 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

⇒ v 2 = 8 × 1,33 × 10 4 3 × 1000

⇒ v 2 ≅ 6,0     m/s

Passo 11

Agora podemos substituir v 2 para encontrar a vazão:

Q = A 2 v 2

⇒ Q = 10   c m 2 × 6,0   m / s

Precisamos converter unidades.

Passo 12

Convertendo unidades:

Convertendo A 2 :

1   cm = 10 - 1   dm

⇒ 1   cm 2 = 10 - 1   dm 2

⇒ 1   c m 2 = 10 - 2   d m 2

10   c m 2 = 10 × 10 - 2   d m 2

⇒ 10   c m 2 = 1 × 10 - 1   d m 2

Convertendo v 2 :

1   m = 10   dm

v 2 = 6,0   m/s

⇒ v 2 = 6,0 × 10   dm/s

⇒ v 2 = 60   dm/s

Passo 13

Substituindo com unidades convertidas:

Q = A 2 v 2

⇒ Q = 1 × 10 - 1   d m 2 × 60 dm / s

⇒ Q = 6,0  d m 3 /s