Aplicações da Hidrodinâmica

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Teoria

Fala aí! A dinâmica é a parte da física que estuda o movimento dos corpos, é com ela que a gente aprende a dividir o espaço pelo tempo para encontrar a velocidade, por exemplo. Agora, quando a gente taca um “hidro” aí na frente, estamos particularmente interessados no movimento e no cálculo da velocidade dos fluidos, que tendem a se comportar de um jeito um pouquinho diferente.

Essa página aqui vai tratar mais das aplicações da hidrodinâmica (como o Tubo de Venturi) do que dos conceitos iniciais mesmo. Mas fica tranquilo, se é isso que você tá procurando, tenho tudo separadinho aqui pra você 😉👇

Tubo de Venturi

O tubo de Venturi é um equipamento desenvolvido para medir a velocidade de um fluido incompressível que passa por um tubo de diâmetro variável. Olha só, imagine que tenhamos um fluido que escoa dentro de um tubo desse tipo:

Ilustração de um tubo com diâmetro variável.
Ilustração de um tubo com diâmetro variável.

Aquela área da seção transversal é maior do que a área da região menor , concorda? Então, pelo princípio de Bernoulli e da continuidade de massa, se o fluxo de um fluido é constante, mas sua área de escoamento diminui, sua velocidade deve aumentar.

Tá, e onde que entra o tal do Venturi nessa história? Então, se a gente tiver um exemplo parecido com esse aí de cima, com uma velocidade de escoamento conhecida, podemos encontrar a velocidade de saída pelo tubo de seção reduzida por meio deste método que vou descrever agora.

Se liga, geralmente o tubo de Venturi vem com duas colunas instaladas, uma antes e uma depois da redução. e são as pressões exercidas pelo líquido dentro dessas colunas.

Tubo de Venturi.
Tubo de Venturi.

Vamos considerar dois pontos na mesma altitude, um embaixo da primeira coluna e outro embaixo da segunda. Podemos aplicar a equação de Bernoulli para esses dois pontos, da seguinte forma:

Como as alturas e são iguais, podemos ignorá-las. Aí, ficamos com:

Ou melhor:

Beleza, por enquanto usamos só Bernoulli. Agora, vamos usar o princípio de Stevin, lá da hidrostática, para calcular e . Ué, mas tô falando de hidrostática em um problema de hidrodinâmica? Aí que tá a sacada: vamos usar esse princípio só lá naqueles cilindrinhos, pois dentro deles o fluido está parado 😉.

A variação de altura entre as colunas é , e a densidade do fluido que preenche essa diferença é . Com isso, a relação entre as pressões vai ser:

Logo:

Agora, podemos substituir isso na equação anterior.

Repare que ficou porque já tirei o sinal negativo do , beleza?

Mais uma sacada: se o fluido que viemos trabalhando é sempre o mesmo, aquela densidade é constante e podemos cortá-la. Aí, ficamos com:

E, finalmente, chegamos no que queríamos. A velocidade de escoamento na seção menor vai ser:

Tudo isso parece teórico demais para um texto sobre aplicações, né? Mas pode acreditar, esse tubo de Venturi é muito utilizado em várias áreas do mundo real também. A aspiração de ar em um carburador, por exemplo, é realizada por meio de um tubo de Venturi.

Bernoulli e Lançamentos

Sabe aquele exemplo clássico que os livros adoram, de um tanque cheio de água com um vazamento por meio de um buraco ou um tubo? Vamos dar uma conferida:

Tanque de água com vazamento pela lateral.
Tanque de água com vazamento pela lateral.

O que você faria se precisasse calcular a velocidade com que a água escoa por aquele tubo ali na lateral? Não sabe nem por onde começar? Então segue aqui comigo.

Identificamos dois pontos: o Ponto 1, na superfície do líquido do tanque, e o Ponto 2, na iminência da saída do tubo. O primeiro tem as seguintes características:

ã

A pressão vai ser igual à atmosférica porque esse ponto tá lá na superfície, beleza? E a velocidade podemos aproximar para zero se considerarmos a superfície bem paradinha em relação à água que escoa ali pela lateral.

O segundo ponto vai ter a seguinte descrição:

ã

Por que a pressão nesse ponto também é ? Porque estamos considerando o ponto lá no limite da saída do tanque, ou seja, quando ele já está em contato com a atmosfera.

Com isso, podemos escrever a equação de Bernoulli para esta situação.

E o resultado disso é:

Com isso em mãos, o problema passa a ser de lançamento oblíquo 😄.

A partir daí, vai depender do que o enunciado esteja te pedindo: pode ser o alcance máximo, a velocidade ao atingir o solo, a altura máxima… Mas essa velocidade que encontramos é a velocidade inicial do lançamento, beleza?

Sifão

Bora ver mais uma aplicação. Você pode já ter se deparado com uma questão que envolve uma figura parecida com essa aqui:

Sifão.
Sifão.

Esse tubo em “U” invertido é o que chamamos de sifão. Basicamente, ele é um instrumento usado para retirar o fluido de um lugar e escoá-lo para outro.

Geralmente, irão aparecer três pontos em questões desse tipo:

  • O ponto onde ocorre a entrada do fluido (na nossa figura, o ponto ).
  • O ponto mais alto do sistema (ponto ).
  • O ponto onde ocorre a saída do fluido (ponto ).

Para calcular a velocidade de saída do líquido

Vamos começar aplicando Bernoulli entre os pontos e . Para isso, vamos considerar a velocidade de igual a zero, pelos mesmos motivos do exemplo do tanque anterior, as pressões tanto em quanto em iguais à pressão atmosférica (pois eles estão nas linhas das superfícies do líquido) e vamos adotar o ponto como referencial de altura 0. Assim, nossa equação vai ficar:

Essa é a velocidade de saída do líquido pelo ponto 🙂

E para acharmos a pressão no ponto mais alto?

Aplicamos Bernoulli novamente, dessa vez entre os pontos e .

Pelo princípio da continuidade, temos que . Logo:

E para encontrar a altura máxima do ponto mais alto?

Vamos pegar essa última equação e isolar .

Essa altura será máxima quando a pressão em for a menor possível, ou seja, 0.

Tranquilo? Então bora fazer mais uns exercícios 😄

Bernoulli e Lançamentos

Sifão

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

O tubo horizontal mostrado na figura apresenta seção reta com área igual a 40,0 c m 2 em sua parte mais larga e 10,0 c m 2 em sua constrição. A água flui no tubo, e vazão volumétrica é igual a 6,0.10 - 3   m 3 / s ( 6,0   l / s ) , Calcule:

  1. A velocidade do escoamento na parte mais larga e na constrição.
  2. A diferença de pressão entre essas duas partes.
  3. A diferença de altura entre os dois níveis de mercúrio existente no tubo em U.

Dado:

ρ á g u a = 1,0 × 10 3   k g / m 3

ρ H g = 13,6 × 10 3 k g / m 3

Passo 1

a)

Bom, como temos o valor da vazão, fica fácil calcular a velocidade em cada uma das áreas. Isso por causa do princípio da continuidade. Esse princípio nos diz que a vazão é constante. Então basta a gente usar a fórmula:

Q = A v

v = Q A

Na parte larga:

v l a r g a = 6,0.10 - 3 40.10 - 4 = 1,5   m / s

Se liga: Ali 40 c m 2 = 40.10 - 4 m 2

E na constrição:

v c o n s t r i ç ã o = 6,0.10 - 3 10.10 - 4 = 6,0   m / s

Viu como a velocidade aumenta quando a área transversal diminui? Isso acontece porque a vazão é constante (princípio da continuidade) =D

Passo 2

b)

Como o escoamento é horizontal podemos afirmar que: h 1 = h 2 . Então, aplicando Bernoulli nos dois pontos (parte larga e constrição), vamos ter:

ρ v 1 2 2 + P 1 = ρ v 2 2 2 + P 2

Galera, o problema pediu a diferença de pressão, por isso vamos isolar o termo ( P 1 - P 2 ) como um todo.

P 1 - P 2 = ρ 2 . v 2 2 - v 1 2

P 1 - P 2 = 1,0.10 3 2 6 2 - 1,5 2 = 16875   P a

Passo 3

c)

Pra calcular essa diferença vamos usar o os pontos A e B dessa figura acima! Nós vamos fazer porque o líquido no tubo em U está parado e, portanto, podemos utilizar o princípio de Stevin:

P A = P B

A pressão no ponto A vai ser a pressão do ponto 1 somada com a pressão feita pela coluna de água de altura H

P A = P 1 + ρ á g u a g H

Já a pressão no ponto B vai ser a pressão no ponto B somada com as pressões das coluna de água (com altura H - h ) e da coluna de mercúrio (com altura h )

P B = P 2 + ρ á g u a g H - h + ρ H g g h

Passo 4

Igualando as pressões A e B

P A = P B

P 1 + ρ á g u a g H = P 2 + ρ á g u a g H - h + ρ H g g h

Expandindo esse termo com a densidade da água na direita podemos ver que vai cortar o termo ρ á g u a g H

P 1 + ρ á g u a g H = P 2 + ρ á g u a g H - ρ á g u a g h + ρ H g g h

P 1 = P 2 - ρ á g u a g h + ρ H g g h

Agora basta isolar h

P 1 - P 2 = g h ρ H g - ρ á g u a

h = P 1 - P 2 g ρ H g - ρ á g u a

Já calculamos P 1 - P 2 no passo 2! Então agora é só substituir os valores e correr pro abraço!

h = 16875 10 13600 - 1000

h = 0,13 m

Resposta

a)

v l a r g a = 1,5   m / s

v c o n s t r i ç ã o = 6,0   m / s

b)

P 1 - P 2 = 16875   P a

c)

h = 0,13 m

Exercício Resolvido #2

Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas seções. A área (1) é 20   c m 2 , enquanto a da garganta (2) é 10   c m 2 . Um manômetro, cujo fluido manométrico é mercúrio, é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi.

Considere ρ H g = 13600   kg/ m 3

Passo 1

Queremos encontrar a vazão:

Q = A v = constante

⇒ Q = A 1 v 1 = A 2 v 2

Para isso, precisamos da área e velocidade na seção (1) ou na seção (2).

Perceba que temos A 1 e A 2 .

Pela equação da continuidade, podemos relacionar v 1 e v 2 :

A 1 v 1 = A 2 v 2

⇒ v 1 v 2 = A 2 A 1

⇒ v 1 = A 2 A 1 v 2

Passo 2

Substituindo valores:

v 1 = A 2 A 1 v 2

⇒ v 1 = 10   c m 2 20   c m 2 v 2

⇒ v 1 = 1 2 v 2

Observe que não podemos determinar os valores de v 1 e v 2 , mas podemos relacioná-los.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2).

Passo 3

Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2):

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

Se liga: Nesse caso, estamos aplicando a equação de Bernoulli em dois pontos do mesmo fluido.

Por isso temos uma mesma densidade ρ nos dois lados da igualdade. É bom ficar atento pois, como existe outro fluido na questão, você pode acabar se confundindo.

Passo 4

Hipótese: como o escoamento é horizontal, desconsideramos diferença de alturas:

h 1 = h 2

Logo:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

⇒ p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

Passo 5

Rearranjando:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 2 ρ v 1 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2

Vamos lembrar que v 1 e v 2 estão relacionadas pela equação da continuidade:

v 1 = 1 2 v 2

Passo 6

Substituindo:

p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - v 1 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 2 v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 - 1 4 v 2 2

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 1 - 1 4

⇒ p 1 - p 2 = 1 2 ρ v 2 2 3 4

⇒ p 1 - p 2 = 3 8 ρ v 2 2

Passo 7

Isolando v 2 :

⇒ p 1 - p 2 = 3 8 ρ v 2 2

⇒ ρ v 2 2 = 8 3 p 1 - p 2

⇒ v 2 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

⇒ v 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

Agora, note que não conhecemos ainda p 1 - p 2 .

Para isso, aplicamos o Princípio de Stevin no manômetro em “U”.

Passo 8

Aplicando Princípio de Stevin nos pontos (A) e (B):

p A = p B

⇒ p 1 = p 2 + ρ H g g h

⇒ p 1 - p 2 = ρ H g g h

onde ρ m é a densidade do mercúrio e   h é a altura da coluna de mercúrio.

Pela figura:

h = 10   cm = 0,1   m

Agora é só substituir os valores para determinar p 1 - p 2 .

Passo 9

Substituindo valores:

p 1 - p 2 = ρ H g g h

⇒ p 1 - p 2 = 13600 × 9,8 × 0,1

⇒ p 1 - p 2 = 1,33 × 10 4   Pa

Passo 10

Substituindo na equação anterior, para encontrar v 2 :

v 2 = 8 p 1 - p 2 3 ρ

⇒ v 2 = 8 × 1,33 × 10 4 3 × 1000

⇒ v 2 ≅ 6,0     m/s

Passo 11

Agora podemos substituir v 2 para encontrar a vazão:

Q = A 2 v 2

⇒ Q = 10 × 10 - 4   m 2 × 6,0   m / s

Q = 0,006   m³/s

Resposta

Q = 0,006   m³/s

Exercício Resolvido #3

O medidor de Venturi é usado para se obter a velocidade de escoamento estacionário de um fluido não viscoso em uma tubulação. Considere um fluido incompressível, de densidade ρ f , que escoa em uma tubulação com área ade seção transversal A 1 . Na região de estrangulamento, a área é reduzida pra A 2 , e um tubo manométrico é instalado como mostrado abaixo (vide figura). Suponha que o liquido do manômetro também seja incompressível e tenha densidade ρ l . NÃO despreze termos como y 2 - y 1 .

  1. Obtenha a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 em termos dos dados e da velocidade no ponto 1 v 1 .
  2. Determine a altura h lida no medidor em função da diferença de pressão entre os pontos 1 e 2.
  3. Determine a velocidade de escoamento v 1 em termos dos dados do problema e das respostas anteriores.

Passo 1

a)

Aqui a gente vai ter que aplicar Bernoulli entre os pontos 1 e 2.

Quando a gente usa Bernoulli, a gente precisa definir um ponto de altura 0 .

O ponto que usamos já tá definido ali na figura, é o nível que saem as alturas y 1 e y 2 .

Ok, então o resto é só aplicar os valores de pressão altura e velocidade:

ρ f g y 1 + ρ f v 1 2 2 + p 1 = ρ f g y 2 + ρ f v 2 2 2 + p 2

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f 2 ( v 2 2 - v 1 2 )

Beleza? Só que a gente não sabe v 2 . Então precisamos usar a equação da continuidade, certo?

A 1 v 1 = A 2 v 2   → v 2 = A 1 v 1 A 2

Então:

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f 2 A 1 v 1 A 2 2 - v 1 2

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f 2 A 1 v 1 A 2 2 - v 1 2

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f v 1 2 2 A 1 A 2 2 - 1

Pronto (:

Passo 2

b)

A gente vai usar o principio de Stevin pra resolver isso. No nível de altura 0 , as pressões são iguais pois tem a mesma altura. Então a pressão do lado esquerdo é a mesma que do lado direito:

p e = p d

A pressão do lado esquerdo vale:

p e = p 1 + ρ f g y 1

OU seja, é a soma da pressão 1 mais a pressão devido a coluna de líquido azul.

Preste atenção nisso, pois temos dois fluidos ali.

E a pressão do lado direito vale:

p d = p 2 + ρ f g y 2 - h + ρ l g h

Ou seja, é a soma da pressão 2, mais a pressão causada pela coluna de fluido ρ f e a coluna de fluido de liquido ρ l .

A altura da coluna de liquido ρ f é y 2 - h (veja na figura).

A altura da coluna de ρ l é h .

Passo 3

Vamos igualar as duas:

ρ e = ρ d

p 1 + ρ f g y 1 = p 2 + ρ f g y 2 - h + ρ l g h

p 1 - p 2 = - ρ f g y 1 + ρ f g y 2 - h + ρ l g h

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + h . g ρ l - ρ f

h = p 1 - p 2 + ρ f g y 1 - y 2 ρ l - ρ f g

Passo 4

c)

Temos duas expressões pra p 1 - p 2 e uma delas tem v 1 . Vamos igualar as duas:

p 1 - p 2 = p 1 - p 2

ρ f g y 2 - y 1 + ρ f v 1 2 2 A 1 A 2 2 - 1 = ρ f g y 2 - y 1 + h . g ρ l - ρ f

ρ f v 1 2 2 A 1 A 2 2 - 1 = h . g ρ l - ρ f

v 1 2 = 2 g h ( ρ l - ρ f ) ρ f A 1 A 2 2 - 1

v 1 = A 2 2 ρ l - ρ f g h ρ f A 1 2 - A 2 2

Resposta

a)

p 1 - p 2 = ρ f g y 2 - y 1 + ρ f v 1 2 2 A 1 A 2 2 - 1

b)

h = p 1 - p 2 + ρ f g y 1 - y 2 ρ l - ρ f g

c)

v 1 = A 2 2 ρ l - ρ f g h ρ f A 1 2 - A 2 2

Exercício Resolvido #4

Considere o encanamento abaixo, por onde corre horizontalmente, em regime estacionário, um fluido não viscoso de densidade ρ . A extremidade do cano vertical está aberta para a atmosfera e a coluna de líquido nele contida não cai.

Considere conhecidas a pressão P A , a seção reta S A e a velocidade v A no ponto A , a altura h do cano vertical, a gravidade g e a pressão atmosférica P 0 .

  1. Quais a velocidade v B e a pressão P B do fluido no ponto B em função da seção reta S B no ponto B ?
  2. Discuta o sinal de Δ p A B ≡ P A - P B a partir das expressões obtidas no item anterior.
  3. Qual o valor de S B para que a coluna vertical de líquido não caia?

Passo 1

Resolvendo item (a):

Queremos a velocidade e pressão no ponto B . O enunciado nos diz que a seção reta em B é S B .

Isso tem cara de equação da continuidade e equação de Bernoulli.

Aplicando a equação da continuidade entre os pontos A e B :

S A v A = S B v B

⇒ v B = S A S B v A

Passo 2

Aplicando equação de Bernoulli entre os pontos A e B :

P A + 1 2 ρ v A 2 + ρ g h A = P B + 1 2 ρ v B 2 + ρ g h B

Como h A = h B , podemos eliminar o último termo de cada lado, pois são iguais:

P A + 1 2 ρ v A 2 = P B + 1 2 ρ v B 2

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 - 1 2 ρ v B 2

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 - v B 2

A pressão P A e a velocidade v A foram dadas e podemos substituir v B pelo que encontramos:

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 - S A S B v A 2

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 - S A S B 2 v A 2

⇒ P B = P A + 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2

Passo 3

Resolvendo item (b):

Δ p A B = P A - P B

Pelo que acabamos de calcular:

P B = P A + 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2

⇒ P B - P A = 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2

Multiplicando por - 1 nos dois lados:

⇒ P A - P B = - 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2

⇒ P A - P B = 1 2 ρ v A 2 S A S B 2 - 1

Logo:

Δ p A B = 1 2 ρ v A 2 S A S B 2 - 1

Passo 4

Vamos analisar o sinal dessa expressão.

Para isso, basta analisarmos o termo entre colchetes, pois ρ e v A 2 são sempre positivos.

Sabemos, pela figura, que S A > S B

Logo:

S A S B > 1

Ao quadrado:

S A S B 2 > 1

⇒ S A S B 2 - 1 > 0

Logo, o termo entre colchetes também é positivo.

Então Δ p A B é positivo!

Passo 5

Resolvendo item (c):

Se você achou estranho essa coluna de líquido “flutuando”, saiba que não foi só você que achou isso!

Mas o fato é que, se essa coluna está parada, vale a equação da hidrostática:

p = p 0 + ρ g h

Olhando para a coluna de líquido, sabemos que, no fundo da coluna, a pressão é P 0 , a pressão no topo é P B e a profundidade é h .

Logo:

P 0 = P B + ρ g h

Se isso não te convenceu, podemos fazer de outra maneira.

Passo 6

Se você entendeu o passo anterior, pode pular para o passo 7!

Como essa coluna está parada, então a soma das forças que atuam nela é zero!

Fazendo o diagrama de corpo livre na coluna de líquido:

Note que, na parte superior da coluna, temos a pressão P B aplicada na área superior; e, na parte inferior, temos a pressão atmosférica P 0 atuando na área inferior.

Além disso, temos o peso da coluna de líquido.

Lembrando que pressão é força sobre área, podemos calcular as forças nas extremidades da coluna de líquido, multiplicando as pressões P B e P 0 pela área, que podemos chamar de A :

P B = F B A ⇒ F B = P B × A

P 0 = F 0 A ⇒ F 0 = P 0 × A

Além disso, o peso é calculado como M g , sendo M a massa total do líquido.

Pela figura, a força F B aponta para baixo e a força P 0 aponta para cima.

Somando as forças e igualando a zero:

F 0 - F B - M g = 0

⇒ P 0 A - P B A - M g = 0

Nós não sabemos o valor da área A da coluna de líquido, nem a massa M , mas sabendo sua altura h .

Lembrando que volume é área vezes altura, podemos eliminar essa área da equação substituindo M pelo produto da densidade pelo volume:

ρ = M V ⇒ M = ρ V

Mas V = A h , então:

M = ρ A h

Substituindo na equação:

P 0 A - P B A - M g = 0

⇒ P 0 A - P B A - ρ A h g = 0

Cancelando A :

P 0 - P B - ρ g h = 0

⇒ P 0 = P B + ρ g h

Uau! Que volta! Mas o resultado é o mesmo. Te convenci?

Passo 7

Agora é só substituir P B na equação que encontramos:

P 0 = P B + ρ g h

⇒ P B = P 0 - ρ g h

⇒ P A + 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2 = P 0 - ρ g h

Mas o que queremos mesmo?

Ah, sim! A área S B . Então vamos isolar S B :

P A + 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2 = P 0 - ρ g h

⇒ 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2 = P 0 - ρ g h - P A

⇒ 1 - S A S B 2 = P 0 - ρ g h - P A 1 2 ρ v A 2

⇒ 1 - S A S B 2 = 2 P 0 - P A - ρ g h ρ v A 2

⇒ - S A S B 2 = 2 P 0 - P A - ρ g h ρ v A 2 - 1

Multiplicando por - 1 os dois Laos:

⇒ S A S B 2 = - 2 P 0 - P A - ρ g h ρ v A 2 + 1

⇒ S A S B 2 = 2 P A - P 0 + ρ g h ρ v A 2 + 1

⇒ S A S B = 2 P A - P 0 + ρ g h ρ v A 2 + 1

⇒ S A = S B 2 P A - P 0 + ρ g h ρ v A 2 + 1

⇒ S B = S A 2 P A - P 0 + ρ g h ρ v A 2 + 1

Pronto! Esse monstrinho é o que procurávamos!

Resposta

  1. v B = S A S B v A

    P B = P A + 1 2 ρ v A 2 1 - S A S B 2

  2. Δ p A B > 0

S B = S A 2 P A - P 0 + ρ g h ρ v A 2 + 1

Exercício Resolvido #5

Uma torneira aberta deixa vazar água continuamente em regime permanente. Considere que a água é um fluido incompressível.

Nota-se que o filete de água vai se estreitando. Por que isso acontece?

Passo 1

Temos um escoamento em regime permanente. Neste caso, podemos usar a equação de continuidade:

Q m = c o n s t a n t e

⇒ ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2

Como estamos considerando a água incompressível:

ρ 1 = ρ 2

Então nossa equação da continuidade fica assim:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Passo 2

Agora podemos explicar por que o filete de água estreita.

Sabemos que deve obedecer à equação da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Como a água está caindo, ela está ganhando velocidade.

Por quê?

Porque, saindo da torneira, a água tem energia potencial (altura) que vai se convertendo em energia cinética (velocidade). Ou seja: por conservação de energia, a água ganha velocidade.

Logo:

v 2 > v 1

Passo 3

Vamos rearrumar a nossa equação da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

⇒ v 2 = A 1 A 2 v 1

Como v 2 > v 1 :

A 1 A 2 v 1 ⏟ v 2 > v 1

⇒ A 1 A 2 > 1

⇒ A 1 > A 2

Ou, em outras palavras:

A 2 < A 1

Pronto! Como a velocidade aumenta, a área necessariamente tem que diminuir para manter a vazão constante, isto é, para obedecer à equação de continuidade:

Q m = c o n s t a n t e

⇒ A 1 v 1 = A 2 v 2

Resposta

Como a velocidade aumenta, pela transformação de energia potencial mecânica em cinética, a área transversal necessariamente diminui à mesma proporção, para satisfazer a equação de continuidade.

Exercício Resolvido #6

A figura abaixo mostra um garrafão de água mineral, hermeticamente fechado, que se encontra cheio até uma altura H = 0,30   m acima da boca da torneira. A área da boca da torneira é de 0,60   c m 2 ( A 0 = 0,60 × 10 - 4   m 2 ), muito menor do que a área da superfície da água dentro do garrafão. O ar acima da superfície da água está a uma pressão menor do que a pressão atmosférica, pressão manométrica ρ m a n = - 2,0 × 10 3   P a . Considere o escoamento ideal, a aceleração da gravidade g = 10   m / s 2 e ρ á g u a = 1,00 × 10 3   k g / m 3 .

  1. Determine a velocidade com que o fluido escoa.
  2. Calcule a vazão da torneira e determine o tempo necessário para se encher um copo de 300   m l (volume igual a 0,30 × 10 - 3   m 3 ).
  3. Ao sair da torneira, o jato de água fica mais fino durante a queda. Determine a área do jato após cair de uma altura h = 0,40   m abaixo da boca da torneira.

Passo 1

a)

Vamos calcular a velocidade de escoamento após o fluido percorrer a altura H do garrafão.

Vamos usar a equação de Bernoulli:

P 1 + ρ g h 1 + ρ v 1 2 2 = P 2 + ρ g h 2 + ρ v 2 2 2

Sendo que h 2 = 0 , h 1 = H , , P 2 = P a t m = 10 5 P a e v 1 = 0 :

Pra encontramos P 1 precisamos usar a definição de pressão manométrica:

P m a n = P a b s - P a t m → P a b s = P m a n + P a t m

Logo:

P 1 = - 2 x 10 3 + 10 5

Então, a equação de Bernoulli fica:

- 2 x 10 3 + 10 5 + 10 3 . 10 . H + ρ . 0 2 = 10 5 + 0 + ρ v 2 2 2

- 2,0 x 10 3 + 10 5 + 3 x 10 3 = 10 5 + 10 3 v 2 2 2

1 x 10 3 = 10 3 v 2 2 2 → v 2 = 2 ≅ 1,4 m / s

Passo 2

b)

Como a gente já tem a velocidade, fica fácil calcular a vazão, já que vazão é velocidade vezes a área:

V ' = A . v = 0,60 x 10 - 4 . 1,4 = 0,84 x 10 - 4

E essa é a taxa de variação do volume. Pra descobrirmos o tempo necessário pra se encher o copo, podemos usar a relação:

∆ t = V V ' = 0,3 x 10 - 3 0,84 x 10 - 4 ≅ 3,6 s

Passo 3

c)

Aqui iremos usar o princípio da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2 = V ' = c t e

O que acontece nessa situação? Bom, enquanto o fluido vai caindo, a sua velocidade vai aumentando. Como o princípio da continuidade deve ser respeitado, o aumento da velocidade gera uma diminuição da área.

Bom, então vamos calcular a velocidade do fluido quando h = 0,40 m .:

Vamos aplicar Bernoulli entre o ponto da torneira e o ponto de altura h = - 0,4 m .

Vamos aplicar, então, Bernoulli entre a torneira e o ponto de altura h = - 0,4 m . Vamos considerar, então, o ponto da torneira como h = 0 .   ( E é por isso como que colocamos a outra altura como negativa).

10 5 + 10 3 2 2 2 = - 10 3 . 10.0,4 + 10 5 + 10 3 v 2 2 2     ↔ 10 3 + 4 x 10 3 = 10 3 v 2 2 2

5 x 10 3 = 10 3 v 2 2 2 → v 2 = 10 = 3,16 m / s

Então, vamos usar agora aquela equação do início:

A 2 v 2 = 0,84 x 10 - 4 → A 2 = 0,84 x 10 - 4 3,16 ≅ 0,26 x 10 - 4 = 2,6 x 10 - 5 m 2

Resposta

a)

v 2 ≅ 1,4 m / s

b)

∆ t = V V ' ≅ 3,6 s

c)

A 2 = 2,6 x 10 - 5 m 2

Exercício Resolvido #7

A água sai de uma torneira aberta de forma a formar um feixe que se afina, sem se dividir, conforme a água flui em direção ao ralo, como indica a figura. Supondo que a seção transversal deste feixe se mantém circular no decorrer do fluxo, com raio r 0 e velocidade da água v 0 imediatamente após sair da torneira, e considerando a água um fluido incompressível sem viscosidade (considere a aceleração da gravidade g conhecida), estime:

  1. A velocidade do fluido v ( h ) , em função da diferença de altura h a partir da torneira.
  2. O raio de seção transversal do feixe, r ( v ) em função do módulo de velocidade v → nesta seção do fluido.
  3. O raio de uma seção transversal de um feixe, r ( h ) , agora em função da diferença de altura h a partir da torneira.

Passo 1

a)Vamos usar Bernoulli aqui!

Vamos fazer assim: O ponto de altura zero será o ponto onde as moléculas do fluido terão uma velocidade v ( h ) . A altura cresce de baixo pra cima.

Então, calculando entre esse ponto e o ponto da boca da torneira:

ρ v 0 2 2 + ρ g h + P 0 = ρ v h 2 2 + P 0

v h 2 = v 0 2 + 2 g h   → v h = v 0 2 + 2 g h

Passo 2

b)

Aqui a gente usa o principio da continuidade, ou seja:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Vamos tomar A 1 v 1 como a vazão que a gente calcula bem na boca da torneira. Como ela tem raio r 0 :

A 1 = r 0 2 π

Então:

A 1 v 1 = r 0 2 π v 0

A outra vazão é calculada pelo produto da área da seção que vai diminuindo( r v 2 π ) pela velocidade v . Então:

A 2 v 2 = r v 2 π . v

Igualando as duas:

r 0 2 π v 0 = r v 2 π . v   → r v = r 0 v 0 v

Passo 3

c)

Po, bem tranquila essa. Já temos a equação da velocidade em função da altura em a), basta a gente substituir na equação encontrada em b):

r v = r 0 v 0 v   → r h = r 0 v 0 v 0 2 + 2 g h

r h = r 0 . 1 + 2 g h v 0 2 - 1 4

Resposta

a)

v h = v 0 2 + 2 g h

b)

r v = r 0 v 0 v

c)

r h = r 0 . 1 + 2 g h v 0 2 - 1 4

Exercício Resolvido #8

A água de uma grande tanque aberto com paredes verticais possui uma profundidade H ( figura abaixo). Um orifício é aberto na parede vertical a uma profundidade h abaixo da superfície da água.

  1. Qual é a distância R entre a base do tanque e o ponto onde a corrente atinge o solo?
  2. Qual a distância acima da base do tanque devemos fazer um segundo furo para que a corrente que emerge dele tenha um alcance que igual ao do primeiro furo?

Passo 1

a)

Bom, o que você precisa fazer primeiro aqui?

Você precisa, primeiro, calcular a velocidade do esguicho de água. Como a gente viu na teoria, vamos tomar o ponto na superfície da água e ponto na saída do jato.

Passo 2

Assim:

P 0 + ρ g h = P 0 + ρ v 2 2

v = 2 g h

Beleza. Agora precisamos achar a distância horizontal que esse jato percorre antes de atingir o solo.

Pra issoo, vamos ter que primeiro achar o tempo de queda.

Esse jato cai da seguinte altura:

S = H - h

Como a velocidade vertical inicial é nula, podemos usar a fórmula:

1 2 g t q 2 = H - h

t q = 2 H - h g

A distância horizontal percorrida vai ser esse tempo vezes a velocidade achada:

R = 2 g h . 2 H - h g = 2 h ( H - h )

Passo 3

b)

Agora nós vamos pegar uma distância em relação à base do tanque. Vamos chamá-la de s .

Como a medida vai ser a altura do jato, o tempo de queda livre vai ser dado por:

t q = 2 s g

Como nós fizemos no caso anterior.

Já a altura em relação à superfície vai ser dada por:

H - s

Assim, a velocidade do jato vai ser:

P 0 + ρ g ( H - s ) = P 0 + ρ v 2 2

v = 2 g H - s

Assim, a distância horizontal será:

∆ S = 2 s g . 2 g H - s = 2 s H - s

Fazendo ∆ S = R :

2 s H - s = 2 h ( H - h )

Comparando, percebemos que:

s = h

Ou seja, pra se ter a mesma distância, basta pegar a mesma altura h , só que agora sendo medida a partir da base.

Resposta

a)

2 h H - h

b)

h

Exercício Resolvido #9

Considere um grande reservatório contendo um líquido de massa específica ρ . Suponha que a altura do líquido seja H e que é feito um furo pequeno no reservatório a 3 4 da altura H , conforme mostra a figura. Saindo pelo orifício, o líquido atinge uma distância d 1 da base do reservatório.

a) Calcule essa distância d 1 .

b) Calcule a altura de um segundo furo feito abaixo do primeiro e tal que o alcance do líquido saindo dele seja igual ao do primeiro. Para os seus cálculos, suponha que o nível do reservatório não se altera durante todo o processo.

Passo 1

a)

Vamos aplicar Bernoulli entre a superfície do fluido e o ponto onde há o fluido, usando o nível do chão como o nível zero de referência.

P 0 + ρ g H = P 0 + ρ g 3 4 H + ρ v 2 2

ρ g H 4 = ρ v 2 2

v = g H 2

E essa é a velocidade com que o fluido sai pelo orifício. Agora vamos dar uma lembrada de Física 1( Caso não se lembre, acesse o nosso material de Física 1):

O tempo de queda de um corpo submetido a uma altura h e sujeito à uma gravidade g é:

t q = 2 h g

Como h = 3 4 H :

t q = 3 H 2 g

Então a distância d 1 será:

d 1 = v . t q = g H 2 . 3 H 2 g = H . 3 2

Passo 2

b)

Vamos chamar de x a distância da superfície até o ponto que queremos achar. Logo, a altura que a gente procura vai ser h = H - x . Aplicando Bernoulli entre o ponto do furo e a superfície:

P 0 + ρ g H = P 0 + ρ g H - x + ρ v 2 2

v = 2 g x

O tempo de queda do fluido será:

t q = 2 h g = 2 H - x g

Logo:

d = v t q = 2 g x . 2 H - x g = 2 x H - x

Comparando esse resultado com d 1 :

2 x H - x = H . 3 2

4 x H - x = H 2 . 3 4

- 16 x 2 + 16 x H = 3 H 2

16 x 2 - 16 x H + 3 H 2 = 0

Resolvendo essa equação, encontramos:

x = 3 4 H   e   x = H 4

O caso x = H 4 corresponde ao caso do enunciado, pois ai a altura fica: h = H - x = 3 4 H . Então a gente deve usar x = 3 4 H :

h 2 = H - x = H 4

Pronto (:.

Resposta

a)

H . 3 2

b)

H 4

Exercício Resolvido #10

Um tanque contém água até uma altura H . É feito um pequeno orifício na sua parede à profundidade h da superfície, conforme a figura.

a ) Mostre que a distância x   da base da parede até onde o jato atinge o solo é dada por x = 2 h H - h .

b )   Calcule a profundidade do buraco para que o jato emergente atinja o solo a uma distância máxima da base do tanque.

Passo 1

Primeiramente: Vamos analisar o problema sob a ótica da equação de Bernoulli, comparando o nível 1 ao nível 2 do fluído (conforme a figura). Dessa forma, vamos conseguir obter a velocidade do fluido no nível 2, o que permitirá resolver o resto da questão. Vamos obter as informações necessárias de cada nível:

Nível 1:

Altura da coluna de líquido:   H P 1 = P a t m v 1 = 0   (a superfície é estática)

Nível2:

Altura da coluna de líquido:   H -   h P 2 = P a t m v 2 =   ?

Vamos equacionar agora:

P 1 + ρ g H = P 2 + ρ g ( H - h ) + 1 2 ρ v 2 2

Como P 1 = P 2 = P a t m , podemos cortar as pressões em ambos os lados da equação. Nesse ponto, a gente costuma ficar em dúvida sobre o por quê da pressão no ponto 2 ser a pressão atmosférica, e não a pressão hidrostática causada pela coluna de líquido de altura h ....

Bom, a resposta é simples: Estamos considerando um ponto que está na iminência de sair do tanque e não exatamente dentro do tanque! Ou seja, é como se estivéssemos analisando um ponto que já está fora do tanque e, por isso, sujeito a pressão atmosférica do lado de fora!

Continuando...

P 1 + ρ g H = P 2 + ρ g ( H - h ) + 1 2 ρ v 2 2 ρ g H - ρ g H + ρ g h = 1 2 ρ v 2 2 v 2 = 2 g h

Com esse valor, agora vamos poder resolver os itens a ) e b ) (:

Passo 2

Nos passos seguintes, nós vamos usar conceitos de cinemática. O movimento do fluído após sair pelo orifício, no nível 2, é obliquo. Bom, a velocidade v 2 é puramente horizontal, já que o fluido é expelido perpendicularmente à parede do tanque! Logo, a distância x pode ser expressa por:

x = v 2 ⋅ t q (eq.1)

No qual t q é o tempo de queda do fluido.

Bom, como a altura que as partículas do fluido vão percorrer é   H - h (olhe a figura),e o movimento na vertical em um lançamento obliquo é um M U V ,é possível escrever:

1 2   g t q 2 = ( H - h )

Isolando t q :

t q = 2 H - h g

Substituindo o valor de v 2 e t q na eq.1:

x = v 2 ⋅ t q x = 2 g h ⋅ 2 H - h g = 2 h H - h  

Pronto, essa demonstração é a solução da a ) (:

Passo 3

Vamos para a letra b )

Precisamos achar uma altura h tal que a distância x seja máxima. Bem, utilizaremos aquele velho conceito de máximos e mínimos de funções de uma variável de cálculo. Podemos considerar a relação encontrada anteriormente de x h , ou seja, uma função de h :

x ( h ) = 2 h H - h  

No entanto, é fácil perceber que essa função terá um máximo quando a expressão h H - h tiver um máximo. Fazendo F h = h ( H - h ) , vamos encontrar o máximo dessa função, que é do segundo grau. Derivando em relação a h :

F ' h = - 2 h + H

Igualando F ' h   a zero:

F ' h = - 2 h + H = 0 h = H 2

Pronto, essa é a resposta da letra b )   (:

Resposta

b )   h = H 2

Exercício Resolvido #11

Um sifão é usado para retirar líquido de um reservatório através de um tubo recurvado A B C e fazendo jorrar água ( ρ = 1,0   g / c m 3 ) em C , como mostra a figura. A área do reservatório é muito maior do que a área da secção transversal do tubo; considere o fluido ideal e use g = 10   m / s 2 e p 0 = 1,0 × 10 5   P a , P a t m = 10 5 P a

  1. Calcule a velocidade de escoamento em C .
  2. Qual é o valor máximo de h 0 para o qual o sifão ainda funciona?

Passo 1

a) Bom galera, vamos considerar que o nível de altura nula passa pelo ponto c. Dessa forma, o ponto c tem altura igual a zero.

Vamos agora aplicar Bernoulli entre A e C .

Vamos às características de cada ponto:

A :

h a = h 1

P a = P a t m

v a = 0

A altura de do ponto A foi medido em relação ao nível de altura nula, por isso esse valor. O valor da velocidade do fluido em A   tende a zero, já que o fluido começa a subir o tubo ali, e, somente a partir dali ele começa a ganhar velocidade.

Mas por quê o valor da pressão de A é igual ao valor da pressão atmosférica?

Porque, como a velocidade ali é nula, estamos no regime da hidrostática. Ou seja...,podemos aplicar Stevin!

Isso quer dizer que o valor da pressão de A   é igual ao valor da pressão do ponto do fluido logo ao lado, fora do cano, já que ambos possuem a mesma altura. E o valor da pressão na superfície do fluido é P a t m . ( :

C :

h c = 0

P c = P a t m

v c : O que queremos saber.

Bem, a altura é zero pois o referencial de altura nula está passando por C . A pressão é a pressão atmosférica pois o cano está aberto pra atmosfera.

Por Bernoulli:

P a + ρ g h a + ρ v a 2 2 = P c + ρ g h c + ρ v c 2 2

P a t m + ρ g h a = P a t m + ρ v c 2 2

ρ g h a = + ρ v c 2 2

v c = 2 g h a = 2.10.1,8 = 6 m \ s

Passo 2

b)

O valor máximo vai ocorrer quando a pressão de B for nula.

Mas como vamos calcular a pressão de B ?

Oras, bora comparar o ponto C ao ponto B , usando Bernoulli:

P c + ρ v c 2 2 + ρ g h C = P B + ρ v B 2 2 + ρ g h B

Pela a equação da continuidade, temos que:

v c = v B

E lembrando que:

h C = 0

Assim:

P c = P B + ρ g h B → P B = P C - ρ g h B

Logo, pra P B = 0 :

P c = ρ g h B = ρ g h 1 + h 0 = 10.10 3 ( 1,8 + h 0 )

P c = P a t m = 10 5

10 4 1,8 + h 0 = 10 5

10 - 1,8 = h 0 = 8,2 m

Pronto, o valor máximo é:

h 0 = 8,2 m

Resposta

a)

6 m / s

b)

h 0 = 8,2 m

Exercício Resolvido #12

A figura mostra um sifão, que é um tubo usado para transferir líquidos de um recipiente para outro. O tubo A B C deve estar inicialmente cheio, e se esta condição é satisfeita o líquido escoa pelo tubo até que a superfície do líquido no recipiente esteja no mesmo nível que a extremidade A . O líquido tem densidade igual a 1000   k g / m 3 e viscosidade desprezível. As distâncias mostradas na figura são h 1 = 25   c m , d = 12   c m e h 2 = 40   c m . Considere g = 9,8   m / s 2 .

  1. Com que velocidade o líquido sai do tubo no ponto C ?
  2. Se a pressão atmosférica é 1,0 × 10 5   P a , qual é a pressão do líquido no ponto B , o ponto mais alto do tubo?
  3. Qual é o máximo valor de h 1 , mantidos d e h 2 , para que o líquido continue escoando?

Passo 1

a)

Bom galera, vamos considerar que o nível de altura nula passa pelo ponto c. Dessa forma, o ponto c tem altura igual a zero.

Vamos agora aplicar Bernoulli entre C   e o ponto logo acima de A na superfície do fluido(Vamos chamá-lo de A ' ) :

Vamos às características de cada ponto:

A ' :

h a = h 2 + d

P a = P a t m

v a = 0

A altura de do ponto A ' foi medido em relação ao nível de altura nula, por isso esse valor. O valor da velocidade do fluido em A   tende a zero, já que o fluido começa a subir o tubo ali, e, somente a partir dali ele começa a ganhar velocidade.

Mas por que o valor da pressão de A " é igual ao valor da pressão atmosférica?

Porque, como a velocidade ali é nula, estamos no regime da hidrostática. Ou seja...,podemos aplicar Stevin!

Isso quer dizer que o valor da pressão de A '   é igual ao valor da pressão do ponto do fluido logo ao lado, fora do cano, já que ambos possuem a mesma altura. E o valor da pressão na superfície do fluido é P a t m . ( :

C :

h c = 0

P c = P a t m

v c : O que queremos saber.

Bem, a altura é zero pois o referencial de altura nula está passando por C . A pressão é a pressão atmosférica pois o cano está aberto pra atmosfera.

Por Bernoulli:

P a + ρ g h a + ρ v a 2 2 = P c + ρ g h c + ρ v c 2 2

P a t m + ρ g h a = P a t m + ρ v c 2 2

ρ g h a = + ρ v c 2 2

v c = 2 g h a = 2 g ( h 2 + d ) = 2.9,8 . ( 0,4 + 0,12 ) = 3,2 m / s

Passo 2

b)

Pra descobrir a pressão no ponto B , vamos analisar a pressão no ponto C :

P c = P B + ρ g H

Ou seja, a pressão no ponto C é igual a pressão no potno B mais a pressão devida à altura da coluna de fluido.

Essa altura é:

H = h 1 + h 2 + d  

Logo:

P B = P C - ρ g ( h 1 + h 2 + d   )

Sendo :

P c = P a t m = 1,0 x 10 5 P a

ρ g h 1 + h 2 + d   = 10 3 . 9,8 . 12 + 25 + 40 x 10 - 2 = 7546

Logo:

P B = P C - ρ g H = 100000 - 7546 = 92454 P a ≅ 9,2.10 4 P a

Passo 3

c)

O valor máximo vai ocorrer quando a pressão de B for nula.

Usando a equação do item anterior:

P B = P C - ρ g H = 0

P c = ρ g H = 10 5 P a

10 3 . 9,8 . 12 + 40 x 10 - 2 + h 1 = 10 5

52 x 10 - 2 + h 1 = 10 2 9,8

h 1 = 10,20 - 0,52 = 9,68 m

Resposta

a)

3,2   m / s

b)

92454 P a ≅ 9,2 x 10 4 P a

c)

9,68 m

Exercício Resolvido #13

Dois tanques abertos estão cheios de um mesmo fluido de densidade ρ constante, como ilustrado na figura. Um tubo horizontal tem uma extremidade conectada ao fundo do primeiro tanque e outra extremidade aberta, de modo que o fluido pode escoar para fora do tanque. O tubo possui um estrangulamento ( C ) onde a área da seção reta é a metade da área nas extremidades ( B e D ). Conectamos com um tubo em U o estrangulamento ao segundo tanque, de modo que a extremidade do tubo fica imersa no fluido. Com isso uma coluna de fluido preenche o tubo até uma a altura h 2 , após atingido o equilíbrio. Considere que a densidade do ar entre os pontos C e   E é suficientemente pequena para desprezarmos variações de pressão com a altura. Considere também que as áreas das superfícies de fluido nos dois tanques são muito maiores que as das seções retas do tubo horizontal, que o escoamento do fluido através do mesmo é estacionário e que a aceleração da gravidade g e a pressão atmosférica ρ 0 são constantes e conhecidas em todos os pontos da figura.

  1. Calcule a velocidade de escoamento do fluido no ponto D indicado na figura.
  2. Calcule a velocidade do escoamento no ponto C .
  3. Calcule a pressão manométrica (diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica) no ponto C .
  4. Calcule a altura h 2 da coluna de fluido em termos da altura h 1 .

Passo 1

a)

Aqui a gente pode aplicar Bernoulli entre os pontos A e D. Lembrando que ,na superfície de um tanque com dimensões muito maiores que as dimensões dos encanamentos, podemos desprezar a velocidade do fluido.

Assim:

ρ g h A + ρ v A 2 2 + P A = ρ g h D + ρ v D 2 2 + P D

Vamos considerar como o nível zero de altura o nível do ponto D. Logo, D tem altura zero e A tem altura h 1 . Como ambos os pontos estão abertos pra atmosfera, a pressão dos dois é igual à pressão atmosférica, que vamos chamar de P 0 . Logo:

ρ g h 1 + 0 + P 0 = 0 + ρ v D 2 2 + P 0   → v D = 2 g h 1

Passo 2

b)

Se a gente sabe a velocidade no ponto D e a relação entre as áreas das seções transversais no ponto D e C , a gente pode aplicar a equação da continuidade entre os pontos.

Então, como a vazão se conserva, temos:

A D v D = A C v C

Só que o enunciado nos diz que a área de C é a metade da área de D , logo:

A D v D = A D 2 v c   → v C = 2 v D = 2 2 g h 1

Passo 3

c)

A gente pode escolher aplicar Bernoulli entre D e C ou entre A e C . Vamos escolher entre D e C :

Aplicando:

ρ v c 2 2 + P C = ρ v D 2 2 + P D

Repare que não colocamos as energias das alturas porque são iguais ( mesma altura).

A gente já descobriu essas duas velocidades e a pressão em D , então:

P C + ρ 2 2 g h 1 2 2 = ρ 2 g h 1 2 2 + P 0

P c = ρ g h 1 - 4 ρ g h 1 + P 0 = - 3 ρ g h 1 + P 0

Mas a gente quer a diferença dessa pressão com a pressão atmosférica ( P 0 ) , logo:

P m a n = P a b s - P 0 = - 3 ρ g h 1

Passo 4

d)

Agora nós queremos achar o valor de h 2 . Essa é a opção mais difícil. Vamos esquecer um pouco de Bernoulli aqui e lembrar de stevin.

A coluna de líquido de altura h 2 está em equilíbrio. Isso quer dizer a soma da pressão do ponto E mais a pressão exercida pela coluna de líquido tem que ser igual à pressão atmosférica. Por quê? Bom, a pressão atmosférica empurra a coluna de fluido de baixo pra cima, assim como as outras duas pressões empurram de cima pra baixo. Elas precisam ser iguais pra que o sistema entre em equilíbrio, pois se não fossem, haveria uma força resultante e não haveria equilíbrio.

Vamos lá:

P E + ρ g h 2 = P 0   → P E = P 0 - ρ g h 2

Só que como o sistema está em equilíbrio, a pressão em E tem que ser a mesma que em C . Perceba que os pontos estão ligados apenas por um cano com ar. Como o ar está parado, ele apenas comunica a pressão de um ponto ao outro. Logo:

P E = P C = P 0 - ρ g h 2 = - 3 ρ g h 1 + P 0

P 0 - ρ g h 2 = - 3 ρ g h 1 + P 0

h 2 = 3 h 1

Resposta

a)

v D = 2 g h 1

b)

v C = 2 v D = 2 2 g h 1

c)

P m a n = P a b s - P 0 = - 3 ρ g h 1

d)

h 2 = 3 h 1

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