Equação de Bernoulli

Teoria Completa

O que você precisa saber antes de começar

Na dinâmica dos fluidos, estudamos fluidos em movimento. Mas como vamos descrever o movimento de um fluido?

Se fôssemos descrever o movimento de cada uma das partículas microscópicas do fluido, incluindo suas interações, ficaríamos três milênios fazendo contas sem chegar a lugar nenhum.

Em vez disso, estudamos as linhas de corrente. Mas o que é isso?

Se olharmos as velocidades de um fluido em um regime permanente ou estacionário — aquele em que o escoamento não varia com o tempo —, vamos ter algo assim:

E se pegarmos mais e mais pontos...

...podemos enxergar uma linha por onde as partículas de fluido passam:

Isso é uma linha de corrente!

Quatro coisas importantes que você precisa saber sobre linhas de corrente:

  1. Um ponto da linha de corrente está associado a uma única velocidade.
  2. O vetor velocidade é sempre tangencial à linha de corrente.
  3. Linhas de corrente nunca se cruzam. Caso contrário, teríamos duas velocidades simultâneas para um único ponto da linha de corrente.
  4. Quanto mais próximas estiverem as linhas de corrente, maior a velocidade do escoamento.

Repare que a velocidade do fluido é maior na região (2) do que na (1), pois as linhas estão mais próximas umas das outras.

Equação de Bernoulli

Bernoulli descobriu uma equação que relaciona as propriedades de um fluido ideal (sem viscosidade nem atrito) ao longo de uma linha de corrente, usando conservação de energia.

À medida que o fluido vai escoando, pode ser que a velocidade mude. Ou, então, talvez mude a pressão, a densidade ou até a altura, certo?

Como podemos relacionar essas grandezas? Com a equação de Bernoulli:

p + 1 2 ρ v 2 + ρ g h = constante

Onde p é a pressão naquele ponto, ρ a densidade do líquido, v a velocidade e h é a altura do cano em que o fluido está escorrendo.

Então, se quisermos relacionar a pressão em dois pontos 1 e 2 sobre a mesma linha de corrente, por exemplo?

Dados que: De h 1 para h 2 são 5   m ;

v 1 = 3   m / s ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

v 2 = 4   m / s ;

g = 10   m / s 2 ;

Bem, temos a equação de Bernoulli para nos ajudar a relacionar p 1 e p 2 :

p 1 + 1 2 ρ 1 v 1 2 + ρ 1 g h 1 = p 2 + 1 2 ρ 2 v 2 2 + ρ 2 g h 2

A menos que seja dito o contrário, sempre consideraremos o escoamento incompressível, isto é:

ρ 1 = ρ 2

E, nesse caso ρ = 1000   k g / m 3

A dica nesses problemas é considerar um dos pontos como referência de altura (“altura 0 ”). Como nós temos a diferença de altura entre os dois pontos, podemos considerar o mais baixo ( h 1 ) como a referência, logo h 1 = 0 e h 2 = 5 m . Sabendo disso e dos outros dados que temos, a equação de Bernoulli fica assim:

p 1 + 1 2 ∙ 1000 ∙ 3 2 + 1000 ∙ 10 ∙ 0 = p 2 + 1 2 ∙ 1000 ∙ 4 2 + 1000 ∙ 10 ∙ 5

E fazendo umas continhas:

p 1 + 4500 = p 2 + 8000 + 50000

Portanto, podemos dizer que:

p 1 = p 2 + 53500

Pronto, já temos uma relação entre as pressões nos 2 pontos!!

Portanto, podemos usar a equação de Bernoulli para relacionar características do movimento em 2 pontos distintos ou calcular alguma dessas características!

Bora exercitar mais isso ai (:

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Considere as afirmativas:

  1. Linhas de corrente determinam a direção, módulo e sentido do vetor velocidade em um ponto de um escoamento
  2. Linhas de corrente determinam a direção e o sentido do vetor velocidade em um ponto de um escoamento
  3. Linhas de corrente determinam apenas a direção do vetor velocidade em um ponto de um escoamento
  4. Quanto mais afastadas estiverem as linhas de corrente, maior é a velocidade de um escoamento
  5. Linhas de corrente não se cruzam

Quais delas são verdadeiras?

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Passo 1

Analisando as três primeiras afirmativas:

Sabemos que o vetor velocidade é sempre tangente à linha de corrente em qualquer ponto. No entanto, o sentido e o módulo do vetor velocidade não são determinados pela linha de corrente. Só sabemos que a direção é tangencial à linha de corrente.

Logo, a única verdadeira é a afirmativa 3.

Passo 2

Analisando afirmativa 4:

Sabemos que, quanto mais próximas as linhas de corrente, maior é a velocidade do escoamento. É o contrário do que está dito na afirmativa 4.

Falsa.

Passo 3

Analisando afirmativa 5:

Verdadeira. Realmente, linhas de corrente não se cruzam, pois a direção da velocidade do fluido em cada ponto é tangente à linha de corrente.

Se tivéssemos um cruzamento de linhas de corrente, então teríamos duas direções em um único ponto, o que não pode acontecer.

Resposta

São verdadeiras as afirmativas 3 e 5.

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Observe o escoamento abaixo. Onde a velocidade deve ser maior, em (1) ou em (2)? Por quê?

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Passo 1

Sabemos que quanto mais próximas estiverem as linhas de corrente, maior a velocidade.

Portanto, podemos observar na figura que o ponto em que as linhas de corrente estão mais próximas corresponde ao ponto (2).

Logo, a velocidade em (2) é maior que a velocidade em (1).

Resposta

Em (2). Linhas de corrente estão mais próximas.

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Podemos afirmar que, na figura abaixo, temos linhas de corrente? Por quê?

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Passo 1

Não são linhas de corrente, pois elas se cruzam em alguns pontos.

Linhas de corrente não podem se cruzar, pois a direção da velocidade do fluido em cada ponto é tangente à linha de corrente.

Se tivéssemos um cruzamento de linhas de corrente, então teríamos duas direções em um único ponto, o que não pode acontecer.

Resposta

Não, pois as linhas se cruzam em alguns pontos.

Exercício Resolvido #4

UERJ-LISTA-MF-16-Modificado

A área de entrada do tubo inferior do reservatório indicado na figura a seguir vale 0,75   m 2 . A água entra neste tubo com uma velocidade de 0,40   m/s . No gerador, instalado a uma profundidade de 183   m abaixo do nível de entrada deste tubo, a área da seção reta é igual a 0,032   m 2 e a água escoa com uma velocidade de 9,4   m/s nesta saída. Calcule a diferença de pressão em N / m 2 entre a entrada e a saída. ρ H 2 O = 10 3   kg / m 3

g = 10   m / s 2

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Passo 1

Nessa questão, utilizaremos a equação de Bernoulli:

p 1 + 1 2 ρ 1 v 1 2 + ρ 1 g h 1 = p 2 + 1 2 ρ 2 v 2 2 + ρ 2 g h 2

Primeiramente, vamos identificar as informações disponíveis e o que devemos descobrir:

O que sabemos:

v 1 = 0,40   m / s v 2 = 9,4   m / s h 1 = 183   m     h 2 = 0 ρ 1 = ρ 2 = ρ H 2 O = 10 3   kg / m 3

O que queremos saber:

∆ p = p 2 - p 1  

Note:

Consideramos o escoamento incompressível ( ρ 1 = ρ 2 ) , já que nada foi dito que contraria isso. Além disso, notou que não precisamos saber os valores das pressões e sim apenas a variação? Partiu calcular ∆ p ?(:

Passo 2

Bom, vamos agora aplicar os valores na equação:

p 1 + 1 2 ρ 1 v 1 2 + ρ 1 g h 1 = p 2 + 1 2 ρ 2 v 2 2 + ρ 2 g h 2

p 1 + 1 2 ⋅   10 3 ⋅   0,40 2 + 10 3 ⋅ 10 ⋅ 183 = p 2 + 1 2 ⋅ 10 3 ⋅ 9,4 2 + 10 3 ⋅ 10 ⋅ 0

1 2 ⋅   10 3 ⋅   0,40 2 + 10 3 ⋅ 10 ⋅ 183 - 1 2 ⋅ 10 3 ⋅ 9,4 2 = p 2 - p 1 = ∆ p  

Fazendo os cálculos, obtemos ∆ p = 1785900

Arredondando para um algarismo significativo após a vírgula:

∆ p = 1,8 ⋅ 10 6   Pa = 1,8.10 6 N / m 2

Lembrando que:

1 P a = 1 N / m 2

(:

Resposta

∆ p = 1,8 ⋅ 10 6 N / m 2

Exercício Resolvido #5

UFRJ-P1-2014.1

Um fluido incompressível escoa suavemente pela tubulação mostrada na figura.

Assinale as relações corretas para as pressões e as velocidades do fluido nos pontos 1 , 2 , 3 e 4 indicados na figura:

  1. p 1 > p 2 > p 3 > p 4 e v 1 > v 2 > v 3 > v 4
  2. p 1 = p 2 < p 3 = p 4 e v 1 > v 2 = v 3 > v 4
  3. p 1 > p 2 > p 3 > p 4 e v 1 < v 2 < v 3 < v 4
  4. p 1 < p 2 < p 3 < p 4 e v 1 > v 2 = v 3 > v 4
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Passo 1

Para saber as relações entre pressões e velocidades, temos que aplicar a equação da continuidade (para velocidades) e a equação de Bernoulli (para pressões).

Vamos aplicar essas equações em cada par de pontos.

Passo 2

Equação da continuidade entre 1 e 2 :

A 1 v 1 = A 2 v 2

⇒ v 2 = A 1 A 2 v 1

Como A 1 < A 2 , então A 1 / A 2 < 1 .

Logo:

v 2 < v 1

Pelas alternativas, podemos eliminar a letra (c)!

Passo 3

Equação de Bernoulli entre 1 e 2 :

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

Os pontos 1 e 2 estão à mesma altura.

Então:

h 1 = h 2

Eliminando os termos “ ρ g h ” nas equação de Bernoulli, temos:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

⇒ p 1 + 1 2 ρ v 1 2 - 1 2 ρ v 2 2 = p 2

⇒ p 2 = p 1 + 1 2 ρ v 1 2 - v 2 2

Como v 1 > v 2 , então v 1 2 - v 2 2 > 0

Logo: p 2 > p 1

Pelas alternativas, podemos eliminar as letras (a) e (b).

Então fechou! Só restou a alternativa (d)!

Nem precisamos continuar a questão!

Passo 4

Mas se você quiser conferir, vamos fazer o resto, de um modo mais rápido:

Equação da continuidade entre 2 e 3 :

A 2 v 2 = A 3 v 3

Como as áreas são iguais:

v 2 = v 3

Passo 5

Equação de Bernoulli entre 2 e 3 :

p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2 = p 3 + 1 2 ρ v 3 2 + ρ g h 3

Como as velocidades são iguais:

p 2 + ρ g h 2 = p 3 + ρ g h 3

⇒ p 3 = p 2 + ρ g h 2 - h 3

Como h 2 > h 3 :

p 3 > p 2

Passo 6

Equação da continuidade entre 3 e 4 :

A 3 v 3 = A 4 v 4

Como A 3 < A 4 :

v 3 > v 4

Passo 7

Equação de Bernoulli entre 3 e 4 :

p 3 + 1 2 ρ v 3 2 + ρ g h 3 = p 4 + 1 2 ρ v 4 2 + ρ g h 4

Como h 3 = h 4 :

p 3 + 1 2 ρ v 3 2 = p 4 + 1 2 ρ v 4 2

⇒ p 4 = p 3 + 1 2 ρ v 3 2 - v 4 2

Como v 3 > v 4 :

p 4 > p 3

Passo 8

Ordenando as pressões e velocidades, encontramos exatamente como está na alternativa (d):

p 1 < p 2 < p 3 < p 4

v 1 > v 2 = v 3 > v 4

Resposta

Alternativa (d).

Exercício Resolvido #6

UFRJ-P1-2012.2-10

Suponha que um vento com velocidade v sopre sobre o telhado de uma casa, de seção reta com área A . Qual o peso mínimo do telhado para evitar que este se solte? Suponha conhecida a densidade ρ do ar.

  1. ρ v 2 A
  2. ρ v 2 A / 2
  3. 2 ρ v 2 A
  4. ρ v 2 A / 3  
  5. 2 ρ v 2 A / 3
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Passo 1

Vamos considerar a parte azul do desenho abaixo o interior da casa, que tem uma pressão p 2 , e a parte que não tem cor como o exterior, onde passa o vento, e que tem pressão p 1 .

A parte vermelha representa o telhado:

Passo 2

O deslocamento do vento do lado de fora causa uma diferença de pressão. A partir dessa diferença de pressão que vamos calcular o peso mínimo que o telhado tem que ter.

Vamos usar Bernoulli entre o lado de fora e o de dentro, considerando que eles tem a mesma altura e que no lado de dentro o ar está parado:

p 1 + ρ v 1 2 2 + ρ g h 1 = p 2 + ρ v 2 2 2 + ρ g h 2

p 1 + ρ v 2 2 = p 2   → ρ v 2 2 = p 2 - p 1 = ∆ p

∆ p = ρ v 2 2

Show? Achamos uma diferença de pressão.

Passo 3

Essa diferença de pressão que vai gerar uma força no telhado que fará ele levantar, caso ele não seja pesado o suficiente. Como o telhado tem área A :

F s u s t e n t a ç ã o = ∆ p . A = ρ v 2 A 2

O peso tem que ser igual a essa força:

P m i n i m o = F s u s t e n t a ç ã o

P m i n i m o = ρ v 2 A 2

A resposta é a letra b)

Resposta

b)

Exercício Resolvido #7

PUCRIO-P1-2011.2-Modificado

Um riacho de efluentes industriais líquidos ( ρ = 0,90 × 10 3   k g / m 3 ) de largura l = 0,80   m e profundidade H = 0,10   m corre a céu aberto.

O riacho passa a ser canalizado em uma tubulação com seção reta circular de diâmetro D = 8,0   c m , que corre ao longo da horizontal de modo que o seu eixo central está a H ' abaixo do nível médio do rio.

Finalmente, o líquido é lançado num jato horizontal para a atmosfera.

Observa-se que a velocidade do riacho, v = 0,50   m / s , é aproximadamente horizontal e uniforme ao longo de toda seção reta. Considere os fluxos sempre laminares e uniformes. Considere H ≪ H ' e D ≪ H ' .

Dado: P a t m = 1 . 10 5 P a

  1. Calcule a vazão do riacho.
  2. Calcule a velocidade v ' do líquido dentro da tubulação horizontal.
  3. Calcule a pressão num ponto qualquer dentro da tubulação.
  4. Calcule a profundidade H ' da tubulação.
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Passo 1

a):

Pra descobrir a vazão podemos pensar na seção transversal do riacho e relacioná-la com a sua velocidade.

Sabendo que a área transversal será dada por:

A = l H

A vazão será o produto dessa área pela velocidade:

V ' = A v = l H v = 0,8 . 0,1 . 0,5 = 0,040 m 3 / s

Passo 2

b):

Vamos usar o princípio da continuidade aqui. Como a vazão é constante, a vazão na tubulação será a mesma que a do riacho. Bem, essa vazão, a da tubulação, será dada por:

V t u b ' = A v '

Sendo que a área da tubulação pode ser calculada usando-se o raio da tubulação (metade do diâmetro). Logo:

R = d 2 = 4 c m

Logo a área será:

A = 4 . 10 - 2 2 π = 16 . 10 - 4 π

Logo:

V t u b ' = V ' = 0,040   → 16 x 10 - 4 π v ' = 0,040   → v ' = 0,040 16 x 10 - 4 π ≅ 8 m / s

Passo 3

c):

Vamos usar Bernoulli pra comparar um ponto no jato com um ponto no interior do tubo. Os dois pontos terão a mesma altura e a mesma velocidade, então:

ρ g h 1 + ρ v 1 2 2 + P 1 = ρ g h 2 + ρ v 2 2 2 + P 2

Onde as variáveis com índice 2 indicam o ponto do jato e as de índice 1 o ponto no interior do tubo.

Bom, v 1 = v 2 e h 1 = h 2 , logo:

P 1 = P 2

No entanto, a pressão em 2 é a pressão atmosférica. Então:

P 1 = P t u b o = P a t m = 1 . 10 5 P a

Passo 4

d):

Vamos comparar aqui um ponto no meio do riacho com um ponto na tubulação. Vamos usar Bernoulli, e pra isso vamos considerar o nível de potencial gravitacional zero o nível da tubulação.

Além disso, lembrando que D ≪ H ' , consideremos que D ≅ 0 . Então a equação de Bernoulli fica:

P A + ρ g H A + ρ v A 2 2 = P B + ρ g H B + ρ v B 2 2

Como P A = P B = P a t m , H B = 0 , H A = H ' , v A = 0,50 m / s e v B = 8 m / s :

1,0 . 10 5 + 1 2 ρ v A 2 + ρ g H ' = 1,0 . 10 5 + 0 + ρ v B 2 2

H ' = 1 2 g . v B 2 - v A 2 = 8 2 - 0,5 2 2 x 10 ≅ 3,2 m

Resposta

a):

V ' = 0,040 m 3 / s

b):

v ' ≅ 8 m / s

c):

P t u b o = P a t m = 1 . 10 5 P a

d):

H ' = 8 2 - 0,5 2 2 x 10 ≅ 3,2 m

Exercício Resolvido #8

PUCRIO-P1-2013.1

O abastecimento de água de um prédio é feito por uma tubulação, conforme o esquema a figura abaixo. Após passar por canos de seção reta A 1 e A 2 , a água segue por um cano de seção reta A 3 até sair( ponto 4) para a caixa d’água localizada no alto do edifício. Entre as posições 1 e 2 na tubulação é colocado um manômetro que mede a diferença de pressão ∆ p 12 = p 1 - p 2 . A altura do prédio é H e o volume da caixa d’água é V 0 .

  1. Encontre a velocidade v 1 , no ponto 1 do encanamento.
  2. Determine a vazão no tubo e o tempo necessário pra encher a caixa d’água.
  3. Determine a velocidade v 4 , com que a água sai pela extremidade do tubo no alto do edifício.
  4. Determine a pressão manométrica no ponto 1( p m 1 = p 1 - p a t m ) , que foi necessária para fornecer a vazão calculada.
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Passo 1

a):

Pra resolver esse item a gente vai usar Bernoulli.

Bom, temos a diferença de pressão entre os dois pontos. Só que não sabemos a velocidade do fluido em nenhum ponto. A relação das pressões e velocidades nos pontos 1 e 2 por Bernoulli é dada por:

p 1 + ρ v 1 2 2 = p 2 + ρ v 2 2 2

Então:

p 1 - p 2 = ρ 2 . v 2 2 - v 1 2 = ∆ p 12

Mas ainda temos mais variáveis que equações. Mas olha só, a velocidade 1 se relaciona com a velocidade 2 a partir do princípio da continuidade, não é?

Isso é, como a vazão da bomba é a mesma nos dois pontos, a gente pode escrever essa parada assim:

V ' = A 1 v 1 = A 2 v 2   → v 2 = v 1 . A 1 A 2 = v 1 . A 1 A 1 4 = 4 v 1

Então:

∆ p 12 = ρ 2 16 v 1 2 - v 1 2

∆ p 12 = ρ 2 . v 1 2 . 15

Nós sabemos o valor de ∆ p 12 . Então:

0,3 x 10 5 = 15.10 3 2 v 1 2   → 60 x 10 3 15 x 10 3 = v 1 2 = 4

v 1 2 = 4   → v 1 = 2,0   m / s

Passo 2

b):

Pra determinar a vazão basta a gente usar aquela fórmula:

V ' = A v = A 1 v 1 = 5,0 x 10 - 3 . 2,0 = 10 - 2   m 3 / s = 0,010   m 3 / s

E o tempo que leva pra encher a caixa é calculado pela divisão e V 0 por esse valor:

∆ t = V 0 V ' = 10 10 - 2 = 1000 s

Passo 3

c):

Pra descobrir isso, basta a gente perceber que o cano que libera a água no ponto 4 é o mesmo que sai lá de baixo e tem seção transversal A 3 . Assim:

v 3 = v 4 = A 1 v 1 A 3 = A 1 v 1 A 1 8 = 8 v 1

v 3 = v 4 = 8 v 1 = 8.2 = 16   m / s

v 4 = 16   m / s

Passo 4

d):

Vamos usar a equação de Bernouli entre os pontos 1 e 4 pra achar a pressão manométrica p m 1 .

Isso porque a pressão em 4 é a pressão atmosférica. Então:

p 1 + ρ v 1 2 2 = p a t m + ρ v 4 2 2 + ρ g H

Então:

p 1 - p a t m = ρ 2 v 4 2 - v 1 2 + ρ g H = 10 3 2 . 16 2 - 2 2 + 10 3 . 10 . 12

p 1 - p a t m = p m 1 = 10 3 2 . 16 2 - 2 2 + 10 3 . 10 . 12 = 246000

p m 1 = 2,46 x 10 5 P a

Resposta

a):

v 1 = 2,0   m / s

b):

V ' = 0,010   m 3 / s

∆ t = 1000 s

c):

v 4 = 16   m / s

d):

p m 1 = 2,46 x 10 5 P a