Teoria Completa
Até agora vimos exemplos e exercícios de corpos com simetria esférica sobre efeito da força gravitacional.
No entanto, diversas distribuições contínuas de massa são capazes de também criar um campo gravitacional e você, querido aluno, será capaz de descobrir a expressão que rege as forças geradas por este campo.
Para entender melhor o jeito da coisa, nada melhor que um exemplinho.
Exemplo
Imaginemos uma linha de massas de massa total e tamanho . Encontraremos a expressão para o campo gravitacional a uma distância perpendicular do centro da linha de massas.
Primeiramente, vamos desenhar o problema, colocando a barra em um par de eixos apropriado.
Cada pedacinho da barra com massa vai produzir um campo gravitacional . O campo total vai ser dado pela soma de todos esses ’s, ou seja, a integral
Esse é o unitário (que tem módulo igual a ) que aponta na direção do campo. Essa integral fica mais tranquila se a gente decompor ele nas suas componente e
Assim a nossa integral se divide em duas
Tá beleza.... como faz essa integral aí? Como se integra em massa? Tá vendo que a nossa barra tá sobre o eixo ? Seria legal poder integrar em por que daria pra relacionar o com ângulos também! Isso é feito da seguinte maneira:
O nosso pedacinho de massa tem um comprimento , já que ele é infinitesimal. A gente pode relacionar massa e comprimento pela densidade linear de massa (já que a nossa barra é um objeto 1D)
Como a barra é homogênea, podemos encontrar essa tal de densidade linear:
E então, encontrar a relação de com :
Então agora fizemos uma mudança de variáveis e a nossa integral fica
Os limites de integração são e por que é onde a barra começa e onde ela termina. Puxando pra fora da integral tudo que constante a gente fica com
Agora temos que deixar tudo em função de ! Olhando de novo pra nossa figura, temos um triângulo retângulo dando sopa aqui
Desse triângulo a gente tira que
Substituindo no nosso campo
Agora.... agora não tem pra onde fugir! Temos que lidar com essas belezinhas aí! Mas não grila muito não! As vezes essas integrais tão no seu formulário!
A primeira integral é
Em cima temos um função ímpar () e em baixo uma função par (), logo estamos integrando uma função ímpar em um intervalo simétrico! A integral disso dá !
Logo o nosso campo gravitacional não tem componente na direção ! Outra forma de ver isso é pela simetria do problema, saca só:
Vamos pegar dois pedaços da barra, simétricos ao eixo . Cada um desses pedaço vai exercer um campo conforme a figura. Como esses campos são grandezas vetoriais basta soma-las
Assim o campo resultante vai tá na direção vertical por que as componentes horizontais se cancelam! Então desde o começo a gente já podia ter desconsiderado a componente horizontal do campo! Só não diz antes por que não queria dar spoiler :p
É sempre bom prestar atenção à simetria do problema! Isso pode nos economizar um tempão!
Agora vamos pra segunda integral:
Agora o integrando é par, logo essa integral é diferente de . Pra lidar com ela temos que usar todo o nosso poder de integrais! Essa aqui sai por substituição trigonométrica!
Se a gente fizer
E o nosso
E os limites de integração
Assim
Podemos dar uma trabalhada no denominador primeiro
Assim
Agora é só usar umas relações trigonométricas
Aí a nossa integral fica
Se , então podemos achar o seno pelo seguinte triângulo retângulo
Assim
E
Finalmente
E o nosso campo vai ser dado por
Um resumo pra isso tudo:
Passo 1: Escrever como uma integral de e separar nas suas componentes
Passo 2: Analisar a simetria do problema e ver ser alguma componente é nula
Passo 3: Escrever o em função de alguma coisa que dê pra integrar. No nosso exemplo
Passo 4: Ajeitar os limites de integração, achar relações pra escrever tudo em função dos dados do problema e da variável de integração.
Passo 5: Meter a cara na integral (dê uma olhada no formulário antes!).
Um pouco trabalhoso, né? Mas com a prática você vai dominar isso aí, já que são poucas distribuições contínuas que são possíveis de fazer por esse método. Bora praticar pra você ficar craque nisso!
Exercício Resolvido #1
A figura abaixo representa um anel delgado de raio e massa homogênea e uma massa pontual que está situada no eixo que passa pelo centro do anel a uma distância do mesmo. Dois elementos infinitesimais de massa do anel, diametralmente opostos, são ilustrados na figura.
(a) Calcule o módulo da força resultante gravitacional infinitesimal que atua sobre a massa pontual devido à presença das massas infinitesimais .
(b) Qual é o módulo da força gravitacional resultante sofrida pela massa pontual devido, agora, à presença de todo o anel?
(c) Obtenha o módulo da força gravitacional para e para .
Passo 1
(a)
Pela lei de Newton da Gravitação Universal cada massa exercerá uma força
As componentes das forças se somam e as demais se cancelam. Então:
Passo 2
(b)
Como o anel é homogêneo:
Onde é o comprimento de arco da massa . Assim, substituindo na equação do item anterior, temos:
Passo 3
(c)
Já temos o módulo de . Basta substituir o valor da distância até o centro do anel.
Para , temos que .
E para , vamos ter
Resposta
a)
b)
c)
Exercício Resolvido #2
Determine a magnitude do campo gravitacional a uma distância de uma barra fina e homogênea de comprimento infinito, cuja massa por unidade de comprimento é .
Passo 1
Vamos desenhar o problema usando inicialmente uma barra de tamanho , depois de encontrar a expressão, a gente tende o pra infinito, beleza?
Como vamos integrar caminhando pelo eixo , precisamos de uma relação entre os infinitesimais de massa e de posição. Como a massa é homogênea e nos foi dado a densidade linear:
Passo 2
Essa massa vai exercer um campo no nosso ponto que está a uma distância da barra
Onde é o unitário apontando na direção de para o ponto em que estamos interessados.
Passo 3
Para cada pedaço da barra a esquerda do nosso ponto vamos ter um pedaço a direita. Se somarmos a contribuição de campo que cada pedaço faz vamos ter um campo na direção vertical como na figura abaixo!
Assim o nosso campo resultante aponta na direção ! Então para pegar a componente temos que multiplicar o nosso campo por
Passo 4
Pela figura conseguimos ver um triângulo retângulo com catetos e e hipotenusa , assim
E também conseguimos calcular o cosseno de
Juntando tudo isso finalmente temos
Agora só falta integrar esse troço!
Passo 5
Sabemos que, para encontrar a magnitude do campo integral total da barra, vamos integrar o campo gerado por cada caquinho de massa:
Essa integral fica mamão com açúcar fazendo a substituição
Quando , temos que e quando , temos que
Derivando dos dois lados, temos
Substituindo o lá na integral, e mudando o intervalo de integração
Vamos focar nessa integral aqui
Lá embaixo no denominador, vamos colocar o em evidência
Aí agora a gente tem que usar aquela relação trigonométrica SUPER ÓBVIA (#sqn)
Aí a nossa integralzinha fica
Lembra o que é secante?!?!? É isso aqui ó
De forma que aquela integral monstra vira isso
Agora eu faço até com os pés nas costas!
Assim (FINALMENTE)
E voltando pro nosso campo
Como o enunciado pede a magnitude
Resposta
Exercício Resolvido #3
Uma barra fina e homogênea de , com de comprimento, é dobrada em um semicírculo. Qual é a força gravitacional exercida pela barra sobre uma massa pontual de localizada no centro de curvatura do arco circular?
Passo 1
Vamos desenhar como vai ficar esse semicírculo:
Agora, dá uma olhada nessa barra como um corpo extenso. Cada elemento de massa infinitesimal vai gerar uma força gravitacional infinitesimal na partícula:
Além disso, temos uma simetria no nosso problema. Isso é um ótimo sinal, já que costuma simplificar nossas contas.
Podemos escrever em suas componentes:
E temos que seus módulos serão:
Você já deve estar pensando... que saco ter que calcular cada um desses termos.
Mas aí que a simetria entra em ação para nos ajudar.
Para cada ângulo na nossa figura, vamos ter uma componente apontando para o lado direito e uma componente , de mesmo módulo, apontando para o lado esquerdo.
Logo, elas vão se cancelar, sobrando apenas a componente em para cima: