Velocidade de Escape

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Teoria

Aprendemos que a força gravitacional é inversamente proporcional à distância entre os corpos, certo?

Isso quer dizer que, supondo um corpo qualquer se movendo para longe da Terra, quanto mais distante ele estiver, menos a Terra estará interagindo com ele.

Aqui vamos descobrir qual é a velocidade necessária para que um corpo, lançado da superfície de um planeta (ou outro corpo qualquer), atinja uma distância tal que perca a interação com este. Esta velocidade é convenientemente chamada de velocidade de escape.

Bora demonstrar a expressão dessa velocidade? Vem comigo!

Suponha a situação da imagem a seguir: um corpo de massa m sendo atirado com uma velocidade v da superfície de um planeta com massa M e raio R .

A energia do sistema nesse instante é dada por:

E a n t e s = - G M m R + m v 2 2

Suponha agora um instante posterior, onde a massa m alcance uma distância tão grande que a energia potencial gravitacional seja zero. Como estamos procurando a velocidade mínima para que isso ocorra, suponha que neste mesmo instante a velocidade do corpo é zero.

Com isso, temos, para a energia neste instante:

E d e p o i s = 0

Tranquilo? Sem problemas? Então agora nos basta usar o princípio da conservação da energia, resultando em:

E a n t e s = E d e p o i s

- G M m R + m v 2 2 = 0

v = 2 G M R

Esta velocidade v é a nossa conhecida e desejada velocidade de escape.

Existe uma gama bem grande de exercícios que usam o conceito de velocidade de escape. Decorar a expressão é uma ótima maneira de poupar tempo em questões que usam este conceito somente como um meio auxiliar para a resposta.

Sem dúvidas? Bora praticar!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um foguete de 1   000 k g é lançado em linha reta a partir da superfície da Terra. Que valor de velocidade o foguete necessita ter para “escapar” da atração gravitacional da Terra e jamais voltar? Considere uma Terra desprovida de rotação.

Passo 1

Vamos pensar juntos. O foguete vai pra bem longe da Terra, certo? Então a força gravitacional vai ser baixíssima, tendendo a zero. Sendo assim, a forma de calcular essa velocidade fica sendo a partir da energia, cujo valor é zero no infinito.

É fácil pensar desse jeito. É só analisar o enunciado, se o corpo está “fugindo” da Terra, velocidade calculada por energia. Se o corpo está do ladinho da Terra fielmente, velocidade calculada pela força resultante de rotação.

Passo 2

Que comecemos os trabalhos com a conservação da energia.

E f i n a l = E i n i c i a l

0 = m V 2 2 - G M T m R T

V = 2 G M T R T = 11   200   m / s

Ou,

V = 40   300   k m / h

Resposta

V = 40   3 00   k m / h

Exercício Resolvido #2

Suponha que a rapidez de escape de uma planeta seja apenas levemente maior do que a rapidez de escape da Terra, apesar de o planeta ser consideravelmente maior do que a Terra. Como se compara a massa específica(média) do planeta com a massa específica(média) da Terra?

  1. Deve ser maior
  2. Deve ser menor
  3. Deve ser igual
  4. Não se pode determinar a resposta com os dados fornecidos

Passo 1

Vamos relembrar a fórmula para velocidade de escape:

v = 2 G M R

Assim, a velocidade de escape da Terra é dada por:

v T = 2 G M T R T

E a velocidade de escape do outro planeta é dada por:

v P = 2 G M P R P

Passo 2

Dividindo as velocidades de escape do planeta e da Terra, temos:

v P v T = R T . M P R P M T

Considerando o planeta e a Terra esféricos, temos:

ρ P = M P V P = M P 4 3 π R P 3 → M P = 4 3 π R P 3 . ρ P

ρ T = M T V T = M T 4 3 π R T 3 → M T = 4 3 π R T 3 . ρ T

Substituindo na razão entre as velocidades, temos:

v P v T = R T . 4 3 π R P 3 . ρ P R P 4 3 π R T 3 . ρ T = R P R T . ρ P ρ T

Passo 3

Considerando que v P seja quase igual a v T :

v P v T = 1 = R P R T . ρ P ρ T

Como R P ≫ R T :

ρ T ρ P = R P R T ≫ 1   → ρ P ρ T ≪ 1  

Resposta

Letra b.

Exercício Resolvido #3

Considere um projeto de lançamento onde satélites são lançados como projéteis. Seja G a constante gravitacional, e R T e M T , o raio e a massa da Terra, respectivamente.

(a) Ignorando a atmosfera e a rotação terrestre, deduza a velocidade com que um projétil deve ser lançado para atingir uma altitude máxima de h medida a partir da superfície.

(b) Calcule a razão entre a velocidade de escape de um satélite lançado da Terra e a velocidade de escape do satélite lançado de um planeta cujo raio vale R p = 4   R T e cuja massa é M p = 9   M T

Passo 1

a)

A partir da conservação de energia temos que:

- G M m R + 1 2 m v 2 = - G M m R + h

Isolando a velocidade:

1 2 v 2 = G M R - G M R + h

v 2 = 2 G M 1 R - 1 R + h

Fazendo o MMC:

v 2 = 2 G M R + h - R R 2 + R h

v = 2 G M h R 2 + R h

Passo 2

b)

Por conservação de energia:

1 2 m v 2 - G M m R = 0

Podemos deduzir a fórmula da velocidade de escape:

v e = 2 G M R

Na Terra:

v e T = 2 G M T R T

Calculando a velocidade de escape num planeta arbitrário:

v e P = 2 G   .   9 M T 4 R T

v e P = 9 G M T 2 R T

v e P = 3 2 G M T R T

Temos então que a razão é:

v e T v e P = 2 3

Resposta

a)

v = 2 G M h R 2 + R h

b)

v e T v e P = 2 3

Exercício Resolvido #4

No topo de uma montanha na Lua, um projétil é disparado horizontalmente com a velocidade v = 2 G M / r   (velocidade de escape),onde r é a distância do topo da montanha ao centro da Lua, M é a massa da Lua e G é a constante de gravitação universal. Neste caso, desconsiderando a contribuição da Terra e do Sol para o campo gravitacional, o qual a curva que descreve a trajetória do objeto?

a) Uma parábola ou uma hipérbole, se afastando da Lua.

b) Uma parábola, caindo na superfície da Lua.

c) Uma elipse.

d) Um círculo.

e) Uma reta.

Passo 1

O fato de ser na Lua ou em qualquer planeta não muda em nada as contas.

A velocidade de escape é a velocidade necessária para um corpo escapar do campo gravitacional de um planeta. Daí, se não houver atrito algum, com essa velocidade a tendência é sair de órbita.

Passo 2

A órbita de escape de um objeto é geralmente de forma parabólica se afastando do solo.

Resposta

a) Uma parábola ou uma hipérbole, se afastando da Lua.

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