Velocidade de Escape

Teoria Completa

Aprendemos que a força gravitacional é inversamente proporcional à distância entre os corpos, certo?

Isso quer dizer que, supondo um corpo qualquer se movendo para longe da Terra, quanto mais distante ele estiver, menos a Terra estará interagindo com ele.

Aqui vamos descobrir qual é a velocidade necessária para que um corpo, lançado da superfície de um planeta (ou outro corpo qualquer), atinja uma distância tal que perca a interação com este. Esta velocidade é convenientemente chamada de velocidade de escape.

Bora demonstrar a expressão dessa velocidade? Vem comigo!

Suponha a situação da imagem a seguir: um corpo de massa m sendo atirado com uma velocidade v da superfície de um planeta com massa M e raio R .

A energia do sistema nesse instante é dada por:

E a n t e s = - G M m R + m v 2 2

Suponha agora um instante posterior, onde a massa m alcance uma distância tão grande que a energia potencial gravitacional seja zero. Como estamos procurando a velocidade mínima para que isso ocorra, suponha que neste mesmo instante a velocidade do corpo é zero.

Com isso, temos, para a energia neste instante:

E d e p o i s = 0

Tranquilo? Sem problemas? Então agora nos basta usar o princípio da conservação da energia, resultando em:

E a n t e s = E d e p o i s

- G M m R + m v 2 2 = 0

v = 2 G M R

Esta velocidade v é a nossa conhecida e desejada velocidade de escape.

Existe uma gama bem grande de exercícios que usam o conceito de velocidade de escape. Decorar a expressão é uma ótima maneira de poupar tempo em questões que usam este conceito somente como um meio auxiliar para a resposta.

Sem dúvidas? Bora praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Randall D. Knight, Física Uma Abordagem Estratégica – Volume 1, 2a ed. Porto Alegre: Bookman, 2009, pp 396 – Exemplo 13.2

Um foguete de 1   000 k g é lançado em linha reta a partir da superfície da Terra. Que valor de velocidade o foguete necessita ter para “escapar” da atração gravitacional da Terra e jamais voltar? Considere uma Terra desprovida de rotação.

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Passo 1

Vamos pensar juntos. O foguete vai pra bem longe da Terra, certo? Então a força gravitacional vai ser baixíssima, tendendo a zero. Sendo assim, a forma de calcular essa velocidade fica sendo a partir da energia, cujo valor é zero no infinito.

É fácil pensar desse jeito. É só analisar o enunciado, se o corpo está “fugindo” da Terra, velocidade calculada por energia. Se o corpo está do ladinho da Terra fielmente, velocidade calculada pela força resultante de rotação.

Passo 2

Que comecemos os trabalhos com a conservação da energia.

E f i n a l = E i n i c i a l

0 = m V 2 2 - G M T m R T

V = 2 G M T R T = 11   200   m / s

Ou,

V = 40   300   k m / h

Resposta

V = 40   3 00   k m / h

Exercício Resolvido #2

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 398 ex. 11.

Suponha que a rapidez de escape de uma planeta seja apenas levemente maior do que a rapidez de escape da Terra, apesar de o planeta ser consideravelmente maior do que a Terra. Como se compara a massa específica(média) do planeta com a massa específica(média) da Terra?

  1. Deve ser maior
  2. Deve ser menor
  3. Deve ser igual
  4. Não se pode determinar a resposta com os dados fornecidos
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Passo 1

Vamos relembrar a fórmula para velocidade de escape:

v = 2 G M R

Assim, a velocidade de escape da Terra é dada por:

v T = 2 G M T R T

E a velocidade de escape do outro planeta é dada por:

v P = 2 G M P R P

Passo 2

Dividindo as velocidades de escape do planeta e da Terra, temos:

v P v T = R T . M P R P M T

Considerando o planeta e a Terra esféricos, temos:

ρ P = M P V P = M P 4 3 π R P 3 → M P = 4 3 π R P 3 . ρ P

ρ T = M T V T = M T 4 3 π R T 3 → M T = 4 3 π R T 3 . ρ T

Substituindo na razão entre as velocidades, temos:

v P v T = R T . 4 3 π R P 3 . ρ P R P 4 3 π R T 3 . ρ T = R P R T . ρ P ρ T

Passo 3

Considerando que v P seja quase igual a v T :

v P v T = 1 = R P R T . ρ P ρ T

Como R P ≫ R T :

ρ T ρ P = R P R T ≫ 1   → ρ P ρ T ≪ 1  

Resposta

Letra b.

Exercício Resolvido #3

UNICAMP-P1-2010-Q2 b

Considere um projeto de lançamento onde satélites são lançados como projéteis. Seja G a constante gravitacional, e R T e M T , o raio e a massa da Terra, respectivamente.

(a) Ignorando a atmosfera e a rotação terrestre, deduza a velocidade com que um projétil deve ser lançado para atingir uma altitude máxima de h medida a partir da superfície.

(b) Calcule a razão entre a velocidade de escape de um satélite lançado da Terra e a velocidade de escape do satélite lançado de um planeta cujo raio vale R p = 4   R T e cuja massa é M p = 9   M T

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Passo 1

a)

A partir da conservação de energia temos que:

- G M m R + 1 2 m v 2 = - G M m R + h

Isolando a velocidade:

1 2 v 2 = G M R - G M R + h

v 2 = 2 G M 1 R - 1 R + h

Fazendo o MMC:

v 2 = 2 G M R + h - R R 2 + R h

v = 2 G M h R 2 + R h

Passo 2

b)

Por conservação de energia:

1 2 m v 2 - G M m R = 0

Podemos deduzir a fórmula da velocidade de escape:

v e = 2 G M R

Na Terra:

v e T = 2 G M T R T

Calculando a velocidade de escape num planeta arbitrário:

v e P = 2 G   .   9 M T 4 R T

v e P = 9 G M T 2 R T

v e P = 3 2 G M T R T

Temos então que a razão é:

v e T v e P = 2 3

Resposta

a)

v = 2 G M h R 2 + R h

b)

v e T v e P = 2 3

Exercício Resolvido #4

USP-P3-2015-6

No topo de uma montanha na Lua, um projétil é disparado horizontalmente com a velocidade v = 2 G M / r   (velocidade de escape),onde r é a distância do topo da montanha ao centro da Lua, M é a massa da Lua e G é a constante de gravitação universal. Neste caso, desconsiderando a contribuição da Terra e do Sol para o campo gravitacional, o qual a curva que descreve a trajetória do objeto?

a) Uma parábola ou uma hipérbole, se afastando da Lua.

b) Uma parábola, caindo na superfície da Lua.

c) Uma elipse.

d) Um círculo.

e) Uma reta.

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Passo 1

O fato de ser na Lua ou em qualquer planeta não muda em nada as contas.

A velocidade de escape é a velocidade necessária para um corpo escapar do campo gravitacional de um planeta. Daí, se não houver atrito algum, com essa velocidade a tendência é sair de órbita.

Passo 2

A órbita de escape de um objeto é geralmente de forma parabólica se afastando do solo.

Resposta

a) Uma parábola ou uma hipérbole, se afastando da Lua.

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