Enunciado

13. Em 1975 , um avião transportando um relógio atômico voou para frente e para trás durante 15   horas, em baixa altitude com uma rapidez média de 140   m / s , em um experimento de dilatação temporal. O tempo do relógio foi comparado com o tempo de um relógio atômico mantido no solo. Qual foi a diferença de tempo entre o relógio atômico no avião e o relógio atômico no solo? Ignore os efeitos da aceleração do avião sobre o relógio atômico no avião. Suponha, também, o avião viajando com rapidez constante.

Passo 1

Bom! A primeira coisa a fazer, é tentar entender o problema! O enunciado pede a diferença de tempo entre os dois relógios, sendo que um está em um avião que se move a 140   m / s . Temos uma questão então, que cheira a dilatação temporal. O que precisamos fazer, portanto, é usar a equação de dilatação do tempo para relacionar o tempo decorrido no referencial do relógio no ar para o tempo decorrido no referencial do relógio mantido no chão.

Vamos aos cálculos!

Passo 2

Primeiro, vamos usar a equação de dilatação do tempo para relacionar o tempo decorrido ∆ t de acordo com o relógio no chão, para o tempo decorrido ∆ t 0 de acordo com relógio atômico aéreo. Usemos a fórmula abaixo:

∆ t = ∆ t 0 1 - v c 2  

Como a velocidade v do avião é menor, mas muito menor do que a velocidade da luz c , podemos usar expansão binomial na expressão que envolve a raiz da nossa fórmula acima, de modo que possamos simplificá-la como uma soma de binômios:

Através da expansão binomial, sabemos que dois números a e b , tais que a soma deles está elevado a outro número n , pode ser escrito como:

( a + b ) n = a n + n a n - 1 b + n n - 1 2 a n - 2 b 2 + ⋯ + b n

No nosso exercício, temos então uma forma de aproximar a expressão da raiz como:

1 1 - v c 2 = 1 - v c 2 - 1 / 2 ≈ 1 + 1 2 v c 2

Agora substituímos a relação aproximada que encontramos, na fórmula lá do ∆ t .

∆ t = ∆ t 0 1 - v c 2 ≈ ∆ t 0 1 + 1 2 v c 2

∆ t ≅ ∆ t 0 + ∆ t 0 1 2 v c 2

Mas que beleza! Obtemos uma expressão, em função do tempo adicional ∆ t 0 considerado adequado pelo relógio do avião, que sabemos ser igual a 15   h . Mas precisamos dele em segundos:

∆ t 0 = 15   h 3600   s h

∆ t 0 = 5,4 ∙ 10 4   s

Voltemos a expressão lá do ∆ t , porque tá faltando uma coisinha:

∆ t ≅ ∆ t 0 + ∆ t 0 1 2 v c 2

Bom, o ∆ t é a soma do tempo medido pelo relógio no avião mais “alguma coisa”. Como sabemos que o ∆ t mede o tempo do relógio de chão esse “alguma coisa” de que estamos falando só pode ser o tempo adicional que estamos procurando. E é mesmo! Vamos, então, substituir os valores numéricos adequados e encontrá-lo :

t a d i c i o n a l = ∆ t 0 1 2 v c 2 = 1 2 5,4 ∙ 10 4   s 140   m / s 2,998   ∙ 10 8     m / s 2

t a d i c i o n a l = 5,89 ∙ 10 - 9 s ≈ 5,9   n s

Encontramos que o tempo adicional ( t a d i c i o n a l ) é igual a aproximadamente 5,9   n s .

Resposta

A diferença de tempo foi de 5,9   n s .

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