Enunciado

Em 1795, Pierre-Simon Laplace antecipou a existencia de buracos negros, afirmando: “Uma estrelaluminosa de mesma densidade que a Terra, cujo diâmetro fosse 250 vezes maior que o do Sol, não permitiria, em consequência de sua atração, que os seus raios luminosos nos atingissem. É possível, portanto, que os maiores corpos luminosos existentes no Universo sejam invisíveis para nós.” Embora este raciocínio não relativístico não se justifique, deduza o resultado de Laplace. Para isto, calcule a velocidade de escape a partir de uma estrela hipotética de mesma densidade que a Terra em função do seu diâmetro e ache o valor crítico do diametro.

Passo 1

O que a gente quer aqui é basicamente calcular a velocidade de escape da superfície dessa estrela. Pra isso, a gente vai comparar a energia na superfície, que vai ser a cinética do lançamento e a potencial gravitacional, com a energia no infinito, que vai ser nula.

E s u p = E i n f i n i t o

m v 2 2 - G M m R = 0

v 2 = 2 G M R

Mas a massa é função da densidade e do volume!

v 2 = 2 G R 4 3 ρ π R 3

v 2 = 8 π 3 G ρ R 2

Mas se o diâmetro D = 2 R , vamos agrupar um 4 R 2 , que é igual a D 2 .

v 2 = 2 π 3 G ρ 4 R 2

v 2 = 2 π 3 G ρ D 2

D = v 3 2 π ρ G

Passo 2

Bom, agora é só substituir os valores. A velocidade vai ser a velocidade da luz, que é o caso limite para os raios de luz escaparem. Como sabemos, nem eles são capazes de escapar, por isso a gente pega esse caso limite! A densidade ele mandou considerar igual à da Terra, que é de 5520   k g / m 3 . Então vai ficar:

D = 3 × 10 8 3 2 π 5520 6.67 × 10 - 11

D = 3.4 × 10 11   m

O diâmetro do Sol é de 1.4 × 10 9   m .

Assim, o diâmetro da estrela é de aproximadamente 242   vezes o diâmetro do Sol, como já havia sido estimado por Laplace.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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