Enunciado

24 . A carga Q está distribuída uniformemente ao longo de todo o volume de uma esfera isolante de raio R = 4,00   c m . A uma distância de r = 8,00   c m do centro da esfera, o campo elétrico produzido pela distribuição de carga possui módulo E = 940   N / C . Determine ( a ) a densidade volumétrica de carga da esfera e ( b ) o campo elétrico, a uma distância de 2,00   c m do centro da esfera.

Passo 1

Vamos juntos detonar essa questão!

A densidade volumétrica de carga é a quantidade de carga por volume, logo:

ρ = Q V

Onde o volume nesse caso é o volume da esfera de raio 4   c m . O enunciado nos fornece o campo elétrico a uma distância de 8   c m do centro da esfera. O campo elétrico de uma esfera é dado por:

E = 1 4 π ϵ 0 Q r 2

Então podemos encontrar o valor de Q a partir dessa equação.

Para achar o campo a uma distância de 2   c m do centro da esfera, que acaba sendo dentro da esfera, podemos usar a lei de Gauss ao nosso favor, temos que:

E A = q ϵ 0

Então traçando uma superfície gaussiana esférica de raio r = 2   c m podemos usar essa lei, onde A é a área dessa superfície e q é a carga interna da essa superfície.

Para achar essa carga vamos usar a mesma relação anterior:

ρ = q V

⇒ q = ρ V

Onde V agora é o volume da superfície gaussiana que imaginamos.

Vamos as contas!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Temos o seguinte:

E = 1 4 π ϵ 0 Q r 2

⇒ Q = 4 π ϵ 0 r 2 E

Substituindo os valores que conhecemos, ficamos com:

Q = 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) 0,08 2 ( 940 )

⇒ Q = 6,69 × 10 - 10   C

Passo 3

Agora podemos calcular a densidade volumétrica, temos:

ρ = Q V

⇒ ρ = Q 4 3 π R 3

Substituindo com os valores que conhecemos, temos:

ρ = 6,69 × 10 - 10 4 3 π ( 0,04 ) 3

= 6,69 × 10 - 10 2,68 × 10 - 4

Logo temos que:

ρ = 2,5 × 10 - 6   C / m 3

Passo 4

Agora vamos para o item ( b ) .

Pela lei de Gauss temos o seguinte:

E A = q ϵ 0

⇒ E = ρ V ϵ 0 4 π r 2

⇒ E = ρ 4 3 π r 3 ϵ 0 4 π r 2

⇒ E = ρ r 3 ϵ 0

Substituindo com os valores que conhecemos, temos:

E = ( 2,5 × 10 - 6 ) ( 0,02 ) 3 ( 8,854 × 10 - 12 )

= 5 × 10 - 8 2,65 × 10 - 11

Então temos que:

E = 1886,8   N / C

Com isso finalizamos essa linda questão!

Resposta

( a )

ρ = 2,5 × 10 - 6   C / m 3

( b )

E = 1886,8   N / C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

49 . Uma esfera oca isolante possui raio interno a e raio externo b . No interior do material isolante, a densidade volumétrica de carga é dada por ρ r = α / r , em que α é uma constante positiva. ( a
61 . Uma distribuição de cargas, de raio R = 6,00m m , possui densidade volumétrica de carga ρ não uniforme. A Figura P 22.61 mostra ρ em função da distância r do centro da distribuição de cargas. Cal
Uma esfera de raio R possui uma carga Q . A intensidade de campo elétrico a uma distância rR é E i . Qual é a razão E f / E i entre as intensidades de campo final e inicial se (a) Q diminui pela metad
Um excesso de 55,3 milhões de elétrons encontra-se dentro de uma superfície fechada. Qual é o fluxo elétrico resultante através da superfície?
As cargas q 1 = - 4 Q e q 2 = + 2 Q estão localizadas em x = - a e x = + a , respectivamente. Qual é o fluxo elétrico resultante através de uma esfera de raio2 a centrada: na origem do sistema de coor