Enunciado

68 . Você está estudando um solenoide com resistência e indutância desconhecidas. Você o conecta em série com um resistor de 50,0   Ω , uma bateria de 25,0   V com resistência interna desprezível e uma chave. Usando um voltímetro ideal, você mede e registra digitalmente a voltagem v R nos terminais do resistor em função o tempo t que se passou após a chave ter

sido fechada. Seus valores medidos aparecem na Figura P 30.68 , onde v R é desenhado em função de t . Além disso, você mede que v R = 0 logo depois que a chave é fechada e v R = 25,0   V muito tempo depois que ela é fechada. ( a ) Qual é a resistência R L do solenoide? ( b ) Aplique a regra das malhas ao circuito e obtenha uma equação para v R em função de t . ( c ) De acordo com a equação que você derivou no item ( b ) , qual é o valor de v R quando t = τ , uma constante de tempo? Use a Figura P 30.68 para estimar o valor de t = τ . Qual é a indutância do solenoide? ( d ) Quanta energia é armazenada no indutor muito tempo depois que a chave é fechada?

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa questão juntos!

Vem comigo a gente resolve essa juntos!

Nosso problema envolve um circuito R - L , onde temos uma bateria com resistência interna desprezível, um resistor com resistência R e um indutor com indutância L e resistência interna R L .

Nesse problema temos bastantes itens, então temos muitas coisas para calcular. Vamos então entender cada item e encontrar o que ele quer nos próximos passos.

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Queremos encontrar o valor de R L , levando em conta que temos uma bateria, um resistor e um indutor com resistência interna, a lei das malhas fica da seguinte forma:

ε - i R - i R L - L d i d t = 0

Para um tempo muito grande ( t → ∞ ) no circuito R - L a corrente para de variar e atinge seu valor final, logo d i d t = 0 , então:

ε - i R - i R L = 0

⇒ i = ε R + R L

O enunciado nos diz qual a tensão no resistor depois de muito tempo, podemos usar isso ao nosso favor junto com o fato de que v R = i R , então substituindo a expressão da corrente nessa tensão, temos:

v R = ε R + R L R

Passo 3

Agora vamos isolar R L e encontrar seu valor.

v R = ε R + R L R

⇒ v R R + R L = ε R

⇒ v R R L = ε R - v R R

⇒ R L = R ε v R - 1

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

R L = ( 50 ) 25 25 - 1

⇒ R L = 0

Então o indutor não tem resistência interna.

Passo 4

Agora vamos para o item ( b ) .

Então queremos uma equação para v R , sabemos que:

v R = i R

Então temos que achar a expressão da corrente e para isso vamos usar a lei das malhas, temos:

ε - i R - i R L - L d i d t = 0

Sabendo que R L = 0 , temos:

ε - i R = L d i d t

Vamos separar as variáveis.

d i d t = ε L - i R L

⇒ d i d t = - R L - ε R + i

⇒ d i - ε R + i = - R L d t

Integrando os dois lados, do lado esquerdo de 0 a i e do lado direito de 0 a t , temos:

∫ 0 i d i - ε R + i = ∫ 0 t - R L d t

⇒ ln ⁡ i - ε R - ε R = - R L t

Aplicando exponencial dos dois lados, temos:

i - ε R - ε R = e - R L t

⇒ i = ε R 1 - e - R L t

Então temos que v R é dado por:

v R = ε 1 - e - R L t

Passo 5

Agora vamos para o item ( c ) .

Aqui ele quer o valor de v R no instante t = τ e fala para usarmos a expressão do item anterior e usar o gráfico também para encontrarmos t = τ e depois calcular L .

No item ( b ) , nós encontramos a seguinte equação:

v L = ε 1 - e - R L t

Dessa equação podemos tirar que a constante τ é dada por:

τ = L R

Vamos então encontrar v R , para esse caso, temos:

v R = ε 1 - e - R L L R

⇒ v R = ε 1 - e - 1

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

v R = 25 1 - e - 1

⇒ v R = 15,8   V

Olhando no gráfico do enunciado, temos que t = 8   m s = 8 × 10 - 3   s para essa voltagem.

Passo 6

Agora que temos esse instante t = τ podemos calcular o valor de L , temos:

τ = L R

⇒ L = τ R

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

L = ( 8 × 10 - 3 ) ( 5 0 )

⇒ L = 0,4   H

Passo 7

Por último o item ( d ) .

Agora temos que encontrar a energia armazenada no indutor muito tempo depois da chave ser fechada.

A energia armazenada em um indutor é dada por:

U L = 1 2 L i 2

Mas ainda não sabemos o valor de i para t muito grande, mas já encontramos uma expressão para i , temos:

i = ε R 1 - e - R L t

Para t → ∞ , temos que:

i = ε R

⇒ i = 25 50 = 0,5   A

Agora podemos calcular a energia, temos:

U L = 1 2 0,4 0,5 2

⇒ U L = 0,05   J

Questão finalizada com sucesso!

Resposta

( a )

R L = 0

( b )

v R = ε 1 - e - R L t

( c )

v R = 15,8   V

L = 0,4   H

( d )

U L = 0,05   J

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