Enunciado

28.88 Um fio contido no plano y z forma uma semicircunferência de raio a com centro de curvatura na origem ( F i g u r a   28.67 ). Sendo I a corrente que circula no fio, calcule os componentes do campo magnético produzido no ponto P , situado sobre o eixo O x e a uma distância x para fora do centro. (Nota: não se esqueça de incluir a contribuição do fio retilíneo na parte inferior da semicircunferência que vai da extremidade z = - a até z =   + a . Você pode usar o fato de que é igual a zero o campo magnético produzido pelas correntes antiparalelas nos trechos retilíneos para z   >   a , porém você deve explicar esse fato.)

Passo 1

Precisamos saber que :

O campo magnético é proporcional à carga total no disco e à sua taxa de rotação.

Existem duas partes no campo magnético: a do meio laço e a do segmento de fio reto que passa de - a a a .

Vamos Aplicar a E q .   ( 28 . 14 ) . Sendo ϕ   o ângulo que localiza d l ao redor do anel:

d B y = d B s e n θ = μ 0 I     4 π ⋅ d l x 2 + a 2 ⋅ x x 2 + a 2 1 / 2

Vamos aplicar tb a E q .   ( 28.8 ) :

B = μ 0 I     4 π ⋅ 2 a x x 2 + a 2 ⋅

Passo 2

Desenvolvendo:

B x a n e l = 1 2 B l a ç o = - μ 0 I a 2 4 x 2 + a 2 3 / 2

d B y a n e l = d B s e n θ s e n ϕ = μ 0 I     4 π ⋅ d l x 2 + a 2 ⋅ x x 2 + a 2 1 2 s e n ϕ = μ 0 I a x s e n ϕ d ϕ 4 π x 2 + a 2 3 / 2  

B y a n e l = ∫ 0 π d B y a n e l = ∫ 0 π μ 0 I a x s e n ϕ d ϕ 4 π x 2 + a 2 3 / 2 = μ 0 I a x 4 π x 2 + a 2 3 / 2 c o s ϕ π   0 = - μ 0 I a x 2 π x 2 + a 2 3 / 2

B y h a s t e = μ 0 I a x 2 π x x 2 + a 2 1 2 .

Usando a E q .   ( 28.8 ) , os componentes do campo magnético total serão: :

B x = - μ 0 I a 2 4 x 2 + a 2 3 2       &       B y = μ 0 I a x 2 π x x 2 + a 2 1 2 ⋅ 1 - x 2 x 2 + a 2 = μ 0 I a 3 2 π x x 2 + a 2 3 / 2

B y = - 2 π ⋅ a x B x ⋅ B y   diminui mais rapidamente que B x à medida que x aumenta.

Para x muito pequeno, B x = μ 0 I 4 a   e B y = μ 0 I 2 π a   .

Nesse limite, B x é o campo no centro da curvatura de um semicírculo e B y é o campo de um longo fio reto.

Resposta

B x = - μ 0 I a 2 4 x 2 + a 2 3 2      

B y = μ 0 I a 3 2 π x x 2 + a 2 3 / 2

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