Enunciado

38 . Potencial em células humanas. Algumas paredes celulares no corpo humano possuem uma camada de carga negativa na superfície interior e uma camada de carga positiva de mesmo módulo na superfície exterior. Suponha que a densidade de carga em cada superfície seja ± 0,50 × 10 - 3   C / m 2 , a parede celular possua espessura de 5,0   n m , e o material da parede celular seja o ar. ( a ) Determine o módulo de E → na parede entre as duas camadas carregadas. ( b ) Determine a diferença de potencial entre o interior e o exterior da célula. Qual está a um potencial mais elevado? ( c ) Uma célula do corpo humano normalmente possui um volume de 10 - 16   m 3 . Estime a energia do campo elétrico de total armazenado na parede de uma célula desse tamanho. (Dica: suponha que a célula seja esférica e calcule o volume da parede celular.) ( d ) Na realidade, a parede celular não consiste em ar, e sim em tecido orgânico, com uma constante dielétrica de 5,4 . Repita as partes ( a ) e ( b ) neste caso.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

O campo entre as duas camadas carregadas pedido em ( a ) se comporta igual ao campo entre placas paralelas, então:

E 0 = σ ϵ 0

Onde σ é a densidade superficial de carga.

Para determinar a diferença de potencial entre o interior e o exterior da célula que o item ( b ) quer, podemos usar a seguinte equação que relaciona campo e potencial, temos:

V 0 = E 0 d

O item ( c ) quer a energia armazenada na parede celular, para encontrar essa energia podemos usar a densidade de energia ao nosso favor, que é dada por:

u = 1 2 ϵ 0 E 2

Essa grandeza é energia por unidade de volume, então temos que saber o volume da parede celular para poder multiplicar por essa densidade e assim achar a energia.

O item ( d ) quer as mesmas coisas que calculamos em ( a ) e ( b ) só que para o caso de um material no lugar do ar na parede celular. A constante dielétrica desse material é K = 5,4 .

Como o K do ar é 1 , temos a seguinte relação do que vamos calcular em ( a ) e ( b ) com o que o item ( d ) pede.

E = E 0 K

V = V 0 K

Vamos as contas então!

Passo 2

Começando com o item ( a ) , temos:

E 0 = σ ϵ 0

Substituindo os valores conhecidos, temos:

E 0 = 0,50 × 10 - 3 8,854 × 10 - 12

⇒ E 0 = 5,6 × 10 7   V / m

Passo 3

Agora para o item ( b ) , temos:

V 0 = E 0 d

Usando o que encontramos no item ( a ) e o valor de d dado pelo enunciado, temos:

V 0 = ( 5,6 × 10 7 ) ( 5 × 10 - 9 )

⇒ V 0 = 0,28   V

Passo 4

Vamos para o item ( c ) , vamos lá!

Temos que primeiro encontrar o volume da parede celular, mas para isso temos que saber o raio dessa célula.

Podemos encontrar esse raio já que o enunciado nos dá o volume da célula, assim:

V c = 4 3 π R 3

⇒ 10 - 16 = 4 3 π R 3

Então temos que o raio é:

R = 2,9 × 10 - 6   m

Agora podemos calcular o volume da parede celular, esse volume vai ser dado pela área da superfície da parede vezes a espessura dela, assim:

V p = 4 π R 2 d

⇒ V p = 4 π 2,9 × 10 - 6 2 ( 5 × 10 - 9 )

Então temos que:

V p = 5,3 × 10 - 19   m 3

Passo 5

Agora que temos o volume da parede celular podemos calcular a energia armazenada pela parede, temos:

U = u V p

⇒ U = 1 2 ϵ 0 E 0 2 V p

Substituindo os valores, temos:

U = 1 2 8,854 × 10 - 12 5,6 × 10 7 2 5,3 × 10 - 19

Então temos que:

U = 7,35 × 10 - 15   J

Passo 6

Agora vamos para o último item! Item ( d ) , temos que calcular o campo e o potencial só que agora considerando um material onde K = 5,4 , assim:

E = E 0 K

⇒ E = 5,6 × 10 7 5,4

⇒ E = 1,03 × 10 7   V / m

Para o potencial, temos:

V = V 0 K

⇒ V = 0,28 5,4

⇒ V = 0,052   V

Com isso finalizamos essa questão com sucesso!

Resposta

( a )

E 0 = 5,6 × 10 7   V / m

( b )

V 0 = 0,28   V

( c )

U = 7,35 × 10 - 15   J

( d )

E = 1,03 × 10 7   V / m

V = 0,052   V

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