Enunciado

42. Calcule a energia cinética de um deslocando-se a a )   0,100 c ; b )   0,500 c ; c )   0,900 c ? Quanto trabalho precisa ser realizado para d ) aumentar a velocidade do próton de 0,100 c para 0,500 c e e ) aumentar a velocidade do próton de 0,500 c para 0,900 c ? f ) Como os últimos dois resultados se comparam com resultados obtidos no limite não-relativístico?

Passo 1

Para resolver esse exercício teremos vários passos, porém o ponta pé inicial é saber que vamos conseguir o resultado do item ( a ) a partir das equações 37.7 e 37.36 , que estão representadas abaixo, respectivamente:

γ = 1 1 - u 2 / c ²                                                           K = γ - 1 m c ²

A partir disso teremos como solucionar os outros itens do nosso exercício, então, vamos começar!

Passo 2

a ) Vamos começar com u = 0,100 c .

γ = 1 1 - 0,100 c c 2 = 1,005

Ou seja:

K = 1,005 - 1 1,50 ⋅ 10 - 10 = 7,56 ⋅ 10 - 13   J = 4,73   M e V

Passo 3

b )   u = 0,500 c .

γ = 1 1 - 0,500 c c 2 = 1,154

Ou seja:

K = 1,154 - 1 1,50 ⋅ 10 - 10 = 2,32 ⋅ 10 - 11   J = 145   M e V

Passo 4

c )   u = 0 , 9 00 c .

γ = 1 1 - 0 , 9 00 c c 2 = 2,2941

Ou seja:

K = 2,2941 - 1 1,50 ⋅ 10 - 10 = 1 , 94 ⋅ 10 - 1 0   J = 1210   M e V

Passo 5

d ) Aqui precisamos lembrar que o trabalho é igual a variação da energia cinética, ou seja:

W =   ∆ K = K f i n a l - K i n i c i a l

Ou seja, 0,100 c para 0,500 c :

W = K 0,500 c - K 0,100 c = 2,32 ⋅ 10 - 11 - 7,56 ⋅ 10 - 13 = 2,24 ⋅ 10 - 11   J = 140   M e V

Passo 6

e ) De 0 , 5 00 c para 0 , 9 00 c :

W = K 0 , 9 00 c - K 0 , 5 00 c = 1,94 ⋅ 10 - 10 - 2,32 ⋅ 10 - 11 = 1,71 ⋅ 10 - 1 0   J = 1070   M e V

Passo 7

f ) A energia cinética não relativística é dada por:

K = 1 2 m v ²

Então, de 0,100 c para 0,500 c :

W = K 0,500 c - K 0,100 c = 1 2 m 0,500 c 2 - 1 2 m 0,100 c 2 = 1,81 ⋅ 10 - 11   J = 113   M e V

De 0 , 5 00 c para 0 , 9 00 c :

W = K 0 , 9 00 c - K 0 , 5 00 c = 1 2 m 0 , 9 00 c 2 - 1 2 m 0 , 5 00 c 2 = 4,21 ⋅ 10 - 11   J = 263   M e V

Podemos ver que os cálculos não relativísticos nos forneces trabalhos menores, o primeiro caso eles estão até com valores pertos, mas no segundo caso a discrepância é maior já que temos uma velocidade perto de c .

Resposta

a )   K = 4,73   M e V

b ) = 145   M e V

c )   K = 1210   M e V

d )   W = 140   M e V

e )   W = 1070   M e V

f )     W = 113   M e V

            W = 263   M e V

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