Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3 - Capítulo 23.Exercícios - Ex. 45

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desse livro

45 . Uma esfera metálica com raio r a = 1,20   c m está apoiada sobre uma base isolante no centro de uma casca esférica metálica com raio externo r b = 9,60   c m . Uma carga + q é colocada na esfera interna e uma carga - q , na esfera externa. O módulo de q é escolhido para produzir uma diferença de potencial entre as esferas igual a 500   V , mantendo a esfera interna

com um potencial mais elevado. ( a ) Use o resultado do Exercício 23.41 ( b ) para calcular o valor de q . ( b ) Com base no resultado do Exercício 23.41 ( a ) , faça um desenho indicando as superfícies equipotenciais que correspondem a 500 , 400 , 300 , 200 , 100 e 0   V . ( c ) Em seu desenho, mostre as linhas de campo elétrico. As linhas de campo elétrico e as superfícies equipotenciais são mutuamente perpendiculares? As superfícies equipotenciais ficam mais próximas entre si quando o módulo de E → é mais elevado?

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

O item ( a ) quer que calculemos q usando o resultado do exercício 23.41 ( b ) , esse exercício nos dá que a diferença de potencial entre o ponto a e o ponto b é:

V a b = 1 4 π ϵ 0 q 1 r a - 1 r b

Onde V a b = 500   V , já que V a = 500   V e V b = 0 .

Então podemos isolar q nessa equação e calcular seu valor.

O item ( b ) quer que usemos o resultado do exercício 23.41 a para desenharmos as linhas equipotenciais. Temos o seguinte:

Para r < r a :

V = 1 4 π ϵ 0 q 1 r a - 1 r b

Para r a < r < r b :

V = 1 4 π ϵ 0 q 1 r - 1 r b

Para r > r b :

V = 0

Nós vamos usar essas equação para saber a posição r das equipotenciais que o item ( b ) pede.

O item ( c ) pede para desenharmos as linhas de campo, para isso temos que lembrar que o campo de uma esfera carregada é radial.

Vamos lá então!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Temos o seguinte:

V a b = 1 4 π ϵ 0 q 1 r a - 1 r b

⇒ q = 4 π ϵ 0 V a b 1 r a - 1 r b

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

q = 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) ( 500 ) 1 0,012 - 1 0,096

= 5,56 × 10 - 8 72,916

Então temos que:

q = 7,62 × 10 - 10   C

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) , antes de desenhar nossas equipotenciais, temos que saber as posições delas.

Primeiro pra 500   V .

Como a esfera interna é condutora, a sua superfície é uma equipotencial, no caso r a = 0,012   m .

Para 400   V .

Podemos usar a equação para a região r a < r < r b , temos que:

V = 1 4 π ϵ 0 q 1 r - 1 r b

⇒ 400 = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) ( 7,62 × 10 - 10 ) 1 r - 1 0,096

⇒ 1 r - 1 0,096 = 58,4

Então temos que:

r = 1,45   c m

Para 3 00   V .

Podemos usar a equação para a região r a < r < r b , temos que:

V = 1 4 π ϵ 0 q 1 r - 1 r b

⇒ 3 00 = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) ( 7,62 × 10 - 10 ) 1 r - 1 0,096

⇒ 1 r - 1 0,096 = 43,8

Então temos que:

r = 1 , 84   c m

Passo 4

Para 2 00   V .

Podemos usar a equação para a região r a < r < r b , temos que:

V = 1 4 π ϵ 0 q 1 r - 1 r b

⇒ 2 00 = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) ( 7,62 × 10 - 10 ) 1 r - 1 0,096

⇒ 1 r - 1 0,096 = 29,2

Então temos que:

r = 2,52   c m

Para 1 00   V .

Podemos usar a equação para a região r a < r < r b , temos que:

V = 1 4 π ϵ 0 q 1 r - 1 r b

⇒ 1 00 = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) ( 7,62 × 10 - 10 ) 1 r - 1 0,096

⇒ 1 r - 1 0,096 = 14,6

Então temos que:

r = 4   c m

E para V = 0 a equipotencial ocorre em r b já que a casca esférica é condutora.

Passo 5

Levando todas essas equipotenciais em consideração, temos a seguinte figura:

Passo 6

Agora vamos para o item ( c ) .

Como falamos no passo 1 o campo elétrico de uma esfera carregada é radial, então temos o seguinte:

Como podemos ver pela figura as linhas de campo são perpendiculares as equipotenciais. E as equipotenciais ficam mais próximas onde o campo é mais elevado.

Resposta

( a )

q = 7,62 × 10 - 10   C

( b )

( c )

Explicado acima.

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