Enunciado

52 . Um indutor com indutância L = 0,200   H e resistência desprezível está ligado a uma bateria, uma chave S e dois resistores, R 1 = 8,00   Ω e R 2 = 6,00   Ω (Figura P 30.52 ). A bateria tem emf de 48,0   V e resistência interna desprezível. S é fechada em t = 0 . ( a ) Quais são as correntes i 1 , i 2 e i 3 logo após S ser fechada? ( b ) Quais são i 1 , i 2 e i 3 depois que S tiver sido fechada por muito tempo? ( c ) Aplique as leis de Kirchhoff ao circuito e obtenha uma equação diferencial para i 3 ( t ) . Integre essa equação para obter uma equação para i 3 em função do tempo t decorrido desde que S foi fechada. ( d ) Use a equação deduzida no item ( c ) para

calcular o valor de t para o qual i 3 tem metade do valor final que você calculou no item ( b ) . ( e ) Quando i 3 tem metade de seu valor final, quais são os valores de i 1 e i 2 ?

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa juntos!

Em um circuito envolvendo um indutor, imediatamente após a chave ser fechada o indutor funciona como uma barreira para corrente, então a corrente que passa no ramo que ele estiver é zero.

Em um indutor temos que:

ε L = L d i d t

Então depois de muito tempo d i / d t tende a zero, logo não temos tensão no indutor e é como se ele não estivesse ali.

A tensão no resistor é dada por:

ε R = i R

Então essas informações vamos poder encontrar o que cada item quer!

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Ele quer os valores das correntes quando t = 0 , como já vimos nesse instante o indutor funciona como uma barreira para corrente, logo i 3 = 0 .

Com essa condição nós só temos a bateria, o resistor R 1 e o R 2 , logo i 1 = i 2 , para achar o valor dessas correntes podemos usar que:

ε R = i R

Como os dois resistores estão em série eles tem uma resistência equivalente dada por:

R e q = R 1 + R 2

Com isso temos que:

i 2 = i 1 = ε R e q

⇒ i 2 = i 1 = ε R 1 + R 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

i 2 = i 1 = 48 8 + 6

Então temos que:

i 1 = i 2 = 3,43   A

Passo 3

Vamos para o item ( b ) .

Ele quer os valores das correntes quando t → ∞ , como já vimos nesse instante o indutor se comporta como se não estivesse ali, logo temos a seguinte relação entre as correntes:

i 1 = i 2 + i 3

Mas a corrente sempre procura o caminho mais fácil para ela passar e nesse caso ela não vai passar pelo ramo que tem o resistor e sim só pelo o que tem o indutor que nessa condição não oferece dificuldade alguma para ela, assim:

i 2 = 0

E temos que i 1 = i 3 , nessa situação temos um circuito formado apenas pela bateria e pelo resistor R 1 , assim temos que:

i 1 = i 3 = ε R 1

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

i 1 = i 3 = 48 8

⇒ i 1 = i 3 = 6   A

Passo 4

Agora para o item ( c ) .

Para encontrar a equação de i 3 com dependência em t vamos usar a lei das malhas ao nosso favor. Usando essa lei para o loop da esquerda formado pelos dois resistores e a bateria, temos:

ε - i 1 R 1 - i 2 R 2 = 0

Agora para o loop da direita formado por R 2 e o indutor, temos que:

- i 2 R 2 + L d i 3 d t = 0

Sabemos também que:

i 1 = i 2 + i 3

Jogando essa última equação na primeira, temos:

ε - ( i 2 + i 3 ) R 1 - i 2 R 2 = 0

⇒ i 2 R 1 + R 2 = ε - i 3 R 1

Assim temos que:

i 2 = ε - i 3 R 1 R 1 + R 2

Agora jogando essa expressão na equação do loop da direita, temos:

- ε - i 3 R 1 R 1 + R 2 R 2 + L d i 3 d t = 0

Passo 5

Vamos separar as variáveis, temos:

L d i 3 d t = ε - i 3 R 1 R 1 + R 2 R 2

⇒ d i 3 d t = R 2 L ε - i 3 R 1 R 1 + R 2

⇒ d i 3 d t = - R 2 R 1 L - ε R 1 + i 3 R 1 + R 2

⇒ d i 3 i 3 - ε R 1 = - R 1 R 2 L ( R 1 + R 2 ) d t

Integrando os dois lados, do lado esquerdo de 0 a i 3 e do lado direito de 0 a t , temos:

∫ 0 i 3 d i 3 i 3 - ε R 1 = ∫ 0 t - R 1 R 2 L ( R 1 + R 2 ) d t

⇒ ln ⁡ i 3 - ε R 1 - ε R 1 = - R 1 R 2 L ( R 1 + R 2 ) t

Aplicando exponencial dos dois lados temos:

i 3 - ε R 1 - ε R 1 = e -   R 1 R 2 L ( R 1 + R 2 ) t

⇒ i 3 = ε R 1 1 - e -   R 1 R 2 L R 1 + R 2 t

Passo 6

Agora vamos para o item ( d ) .

Queremos encontrar o valor de t para que i 3 seja iguala a

ε R 1 1 2

Que é metade da corrente que encontramos em ( b ) . Para isso vamos isolar t na seguinte expressão que usamos no item anterior.

ln ⁡ i 3 - ε R 1 - ε R 1 = - R 1 R 2 L ( R 1 + R 2 ) t

⇒ t = - L ( R 1 + R 2 ) R 1 R 2 ln ⁡ i 3 - ε R 1 - ε R 1

Substituindo o que temos para i 3 ficamos com:

t = - L ( R 1 + R 2 ) R 1 R 2 ln ⁡ ε R 1 1 2 - ε R 1 - ε R 1

= - L ( R 1 + R 2 ) R 1 R 2 ln ⁡ 1 2

Jogando o sinal de menos para dentro do l n , temos:

t = L ( R 1 + R 2 ) R 1 R 2 ln ⁡ 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

t = ( 0,2 ) ( 8 + 6 ) ( 8 ) ( 6 ) ln ⁡ 2

⇒ t = 2,8 48 ln ⁡ 2

Então temos que:

t = 0,04   s

Passo 7

Vamos para o item ( e ) .

Queremos achar o valor de i 1 e i 2 para i 3 = 3   A . Como já vimos temos que:

i 1 = i 2 + i 3

O valor de i 3 já temos, precisamos achar o de i 2 que aí teremos o de i 1 . Para achar i 2 podemos usar a seguinte expressão que encontramos no passo 4 , temos:

i 2 = ε - i 3 R 1 R 1 + R 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

i 2 = 48 - ( 3 ) ( 8 ) 8 + 6

⇒ i 2 = 1,71   A

Agora podemos achar i 1 , temos:

i 1 = 1,71 + 3 = 4,71   A

Questão finalizada com sucesso!

Resposta

a

i 1 = i 2 = 3,43   A

i 3 = 0

( b )

i 1 = i 3 = 6   A

i 2 = 0

( c )

i 3 = ε R 1 1 - e -   R 1 R 2 L R 1 + R 2 t

( d )

t = 0,04   s

( e )

i 1 = 4,71   A

i 2 = 1,71   A

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