Enunciado

66. Uma criança travessa faz seu prato de jantar de 250   g deslizar em uma mesa horizontal em M H S com amplitude 0,100   m . Em um ponto situado a 0,060   m da posição de equilíbrio a velocidade do prato é igual a 0,300   m / s . a ) Qual é o período? b ) Qual é o deslocamento quando a velocidade é igual a 0,160   m / s ? c ) No centro do prato existe um pedaço de cenoura de 10,0   g . Se o pedaço de cenoura está na iminência de escorregar no ponto final da trajetória, qual é o coeficiente de atrito estático entre o pedaço de cenoura e o prato?

Passo 1

Para achar o período de um M H S usamos a seguinte equação:

T = 2 π m k

Mas no nosso caso não temos um valor de k , mas tem como contornarmos isso através da equação da energia mecânica total, que para um M H S pode ser escrita da seguinte forma:

1 2 m v x 2 + 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2

O truque agora é isolar o termo m / k nessa equação, já que isso aparece na equação do período, isolando ficamos com:

m k v x 2 + x 2 = A 2

⇒ m k = A 2 - x 2 v x

Achando o valor de desse termo, basta multiplicar por 2 π e encontramos o período.

Para achar o deslocamento do prato quanto temos uma velocidade de 0,160   m / s , vamos usar a mesma equação de energia mecânica total que mencionei mais acima, só que dessa vez vamos isolar o x na equação. Assim:

k x 2 = k A 2 - m v x 2

⇒ x = A 2 - m k v x 2

Sendo que o valor de m / k poderemos tirar do cálculo do item anterior.

Para achar o coeficiente de atrito do prato com a cenoura, vamos usar a equação da força de atrito, que é dada por:

f a = μ e n

Onde n é a normal da cenoura com o prato, que podemos achar considerando o fato da cenoura está em equilíbrio na vertical, assim a força normal deve ser igual a força peso da cenoura, logo:

n = m ' g

Mas isso ainda não é o suficiente para isolarmos o coeficiente de atrito da equação, precisamos saber também quanto vale a força de atrito.

Para isso vamos usar a segunda lei de Newton ao nosso favor, como a força de atrito é a única força que atua na horizontal, temos que:

f a = m ' a

Que pode ser escrita assim:

μ e n = m ' a

Mas como sabemos uma expressão para n , temos:

μ e m ' g = m ' a

μ e = a g

Mas quanto vale essa aceleração? Como o a cenoura está na eminência de escorregar essa aceleração é máxima e para um M H S a aceleração máxima é dada por:

a m á x = ω 2 A

= k m A

Assim temos que:

μ e = k m A g

Passo 2

Vamos primeiro calcular o valor do termo m / k já que usaremos ele para resolver os problemas desse enunciado, do passo 1 temos a seguinte equação:

m k = A 2 - x 2 v x

Substituindo os valores de A ,   x e v x , temos:

m k = ( 0,1 ) 2 - ( 0,06 ) 2 0,3

⇒ m k = 0,0064 0,3

Assim:

m k = 0,267   s

Passo 3

Agora podemos calcular o valor de T , tendo que:

T = 2 π m k

Então temos:

⇒ T = 2 π 0,267

= 1,68   s

Passo 4

Agora vamos achar o deslocamento do prato para uma certa velocidade de 0,160   m / s , do passo 1 temos a seguinte fórmula:

x = A 2 - m k v x 2

Substituindo o que sabemos temos:

x = 0,1 2 - 0,267 2 0,16 2

⇒ x = 0,0081750016

Assim, temos que:

x = 0,090   m

Passo 5

Para achar o coeficiente de atrito estático, vamos usar a equação que chegamos no final do passo 1 , temos:

μ e = k m A g

A gente sabe o valor de m / k = 0,267   s , assim o inverso quadrado, que é o que temos acima é dado por:

k m = 1 0,267 2

Continuando, temos:

μ e = 1 0,267 2 0,1 9,8  

⇒ μ e = 14,027 * 0,102

Então temos que:

μ e = 0,143

Resposta

( a )

T = 1,68   s

( b )

x = 0,090   m

( c )

μ e = 0,143

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