Enunciado

71. No circuito indicado na Figura 30.29 , a chave está aberta há muito tempo, quando é subitamente fechada. Nem a bateria nem os indutores possuem resistência interna significativa. Revise os resultados do Problema 30.47 . ( a ) Qual é a leitura do amperímetro e do voltímetro logo após S ser fechada? ( b ) Quais são essas leituras após S estar fechada há muito tempo? ( c ) Qual é a leitura do amperímetro e a do voltímetro 0,115   m s após S ser fechada?

Passo 1

Nesse problema temos duas situações, a primeira é quando a chave S acaba de ser fechada então podemos considerar t = 0 e a situação em que a chave está fechada a muito tempo, assim temos t = ∞ .

No primeiro caso quando t = 0 temos que a corrente no indutor é 0 , já que a corrente é dada por:

i = ε R ( 1 - e - ( R / L ) t )

Então em t = 0 temos i = 0 , assim no instante inicial o indutor se comporta como uma interrupção no circuito, e os resistores não têm corrente passando por eles, logo els não causam nenhuma queda na tenção.

No segundo caso quando   t = ∞ temos que a tenção no indutor vai a 0 , pois a tensão no indutor é dada por:

V L = L d i d t

Sendo que:

d i d t = ε L e - ( R / L ) t

E para t indo para o infinito temos que d i / d t = 0 , logo V L = 0 . Então o indutor se comporta como se fosse apenas uma parte do fio.

Passo 2

Bem, como foi dito no passo 1 , no instante em que a chave S acabou de ser fechada temos que i = 0 , assim a leitura no amperímetro é 0 .

Os reitores não contribuem em nada para a tensão já que não tem corrente passando por eles, logo só os indutores contribuem para voltagem, mas como o voltímetro está posicionado de forma que pegue todos os indutores de uma vez a leitura vai ser igual ao valor da fem, assim:

V = 20   V

Passo 3

Após a chave está fechada por muito tempo os indutores se comportam como fios, então essa parte do circuito pode ser descartada para o que queremos no item ( b ) .

Então podemos aplicar a lei de Ohm e encontrar a corrente que passa pelo circuito constituído pelas duas resistências, que vai ser o valor medido em A , temos:

ε = I R e q

Onde R e q = 50 + 25 = 75   Ω , temos então que:

20 = I ( 75 )

⇒ I = 20 75

= 0,267   A

Agora para achar a leitura do voltímetro vamos prestar atenção no seguinte, o voltímetro está posicionado entre as duas resistências logo ele está pegando a tensão em uma parte do fio que não contém nenhum elemento.

Usando a lei de Ohm, temos que:

V = 0,267 0

V = 0

Logo o voltímetro mede 0   V .

Passo 4

Agora para achar a leitura do amperímetro e do voltímetro quando t = 0,115   m s = 0,115 ⋅ 10 - 3   s , para isso vamos usar a fórmula da corrente que mostrei no passo 1 , temos:

i = ε R t o t ( 1 - e - ( R t o t / L t o t ) t )

Onde o L t o t é calculado da mesma forma que se calcula resistência equivalente, isso foi mostrado no exercício 30.47 , então:

L t o t = 1 18 + 1 27 - 1

⇒ L t o t = 10,8   m H = 10,8 ⋅ 10 - 3   H

Assim nossa fórmula fica:

i = 20 75 ( 1 - e - ( 75 / 10,8 ⋅ 10 - 3   ) t )

⇒ i = 0,267 ( 1 - e - 6944,4 t )

Então para t = 0,115 ⋅ 10 - 3 , temos que:

i = 0,147   A

Essa é a corrente medida no amperímetro.

Passo 5

Para achar a voltagem medida no voltímetro vamos usar a lei das malhas, temos que:

ε - V R - V L = 0

Onde V R é o potencial dos resistores e V L que é o que é medido pelo voltímetro é potencial que vem dos indutores.

Para achar V R , vamos usar a lei de Ohm, assim:

V R = i ( R e q )

= 0,147 ( 75 )

⇒ V R = 11,02   V

Agora basta isolar V L na expressão da lei das malhas, temos:

V L = ε - V R

Substituindo o que sabemos, temos:

V L = 20 - 11,02

⇒ V L = 8,98   V

Resposta

( a )

A = 0

V = 20   V

( b )

A = 0,267   A

V = 0

( c )

A = 0,147   A

V = 8,98   V

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