Enunciado

Um automóvel sobe uma ladeira inclinada de 15 ° a 30   m / s . O coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista é 0,70 . (a) Qual é a menor distância necessária para o carro parar? (b) Qual seria a menor distância para parar se o carro estivesse descendo a ladeira?

Passo 1

a) Fala, querido! Então, o carro está subindo uma ladeira inclinada e começa a frear, e ele quer a menor distância x m í n que ele se desloca depois que aperta o freio até v = 0 . Vamos resumir nossas informações do movimento num desenho lindão:

Percebe que isso vai ser um movimento acelerado. Então a gente pode usar as equações de movimento com aceleração constante porque temos forças constantes agindo.

E uma dessas equações é a de Torricelli, onde temos:

v 1 x 2 = v 0 x 2 + 2 a x Δ x  

Como a velocidade final v x = 0 e Δ x = x m í n , então:

v 1 x 2 = 0 + 2 a x x m í n  

x m í n = - v 0 x 2 2 a x

Temos v 0 x , mas não temos a x . Precisamos descobrir!

Passo 2

Quem causa a desaceleração do carro é o atrito entre os pneus e a estrada. Então teremos uma força de atrito se opondo ao movimento do carro, que está subindo a ladeira. Então a força aponta para o sentido oposto:

A partir desse diagrama, a gente pode usar a segunda lei de Newton e achar a x . Vamos assumir o sistema de coordenadas como está indicado na figura acima. A única força que não está nos eixos é a força peso, então devemos decompô-la nos eixos x e y, dessa forma:

F g x = F g   s e n θ

F g y = F g c o s θ

De acordo com a 2° Lei de Newton no eixo x, temos:

∑ F x = m a x

- f s - F g s e n θ = m a x

As duas forças aparecem negativas no somatório porque ambas apontam para o sentido negativo de x . Lembrando que F g = m g :

- f s - m g s e n θ = m a x

Só que essa força de atrito é a força máxima de atrito estático, que vale

f s = μ s F n

Onde μ s é o coeficiente de atrito estático dado no enunciado. Substituindo

- μ s F n - m g s e n θ = m a x   I

Falta a gente achar F n .

Passo 3

A 2° Lei de Newton em y, como a soma das forças em y é igual a zero, já que a y = 0 , pois o carro não se move em y , fica:

∑ F y = m a y

∑ F y = F n - F g c o s θ = 0

∑ F y = F n - m g c o s θ = 0

F n = m g c o s θ

Substituindo isso em I :

- μ s F n - m g s e n θ = m a x   I

- μ s m g c o s θ - m g s e n θ = m a x   I

Isolando a x :

a x = - ( s e n θ + μ s c o s θ ) g

Passo 4

Substituindo na equação de Torricelli:

x m í n = - v 0 x 2 2 a x

x m i n = v 0 x 2 2 ( s e n θ + μ s c o s θ ) g

E agora, substituindo pelos valores que temos:

x m i n   = 30 m s 2 2 0,70 c o s 15 ° + s e n 15 ° 9,81 m s 2 = 49   m

Passo 5

Item (b)

Quando o carro está descendo a ladeira, a força de atrito estático é para cima, como mostrado no diagrama do corpo livre abaixo. Note a mudança do sistema de coordenadas, está diferente em relação ao item (a).

O passo a passo é o mesmo do item (a). Primeiro a gente precisa de a x .

De acordo com a 2° Lei de Newton no eixo x:

∑ F x = m a x

- f s + F g s e n θ = m a x

Aqui a componente da força peso aparece positiva porque agora ela aponta para parte positiva de x .

  - f s + m g s e n θ = m a x

A força de atrito continua com a mesma expressão f s = μ s F n :

- μ s F n + m g s e n θ = m a x   I I

E a 2° Lei de Newton em y, como ainda temos a y = 0 , fica:

∑ F y = F n - F g c o s θ = 0

F n - m g c o s θ = 0

F n = m g c o s θ

Passo 6

Substituindo isso em I I :

- μ s F n + m g s e n θ = m a x

- μ s m g c o s θ + m g s e n θ = m a x

Isolando a x :

a x = ( s e n θ - μ s c o s θ ) g

A equação de Torricelli que a gente achou antes vai ser a mesma para esse caso porque temos as mesmas condições iniciais e finais:

v 1 x 2 = v 0 x 2 + 2 a x Δ x  

Como a velocidade final v x = 0 e Δ x = x m í n , então:

v 1 x 2 = 0 + 2 a x x m í n  

x m í n = - v 0 x 2 2 a x

Substituindo a x :

x m i n = - v 0 x 2 2 ( s e n θ - μ s c o s θ ) g

E, por fim, substituindo por valores:

x m i n   = - 30 m s 2 2 - 0,70 c o s 15 ° + s e n 15 ° 9,81 m s 2 = 109   m ≈ 0,11   k m

Resposta

a   x m i n   = 49   m

b   x m i n   = 0,11   k m

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