Enunciado

Dois fios retilíneos de mesmo comprimento a , separados por uma distância b , estão uniformemente carregados com densidade lineares de carga λ e - λ (fig.) Calcule o campo elétrico no centro P do retângulo de lados a e b .

Passo 1

Se liga! Vamos começar calculando primeiro o campo produzido pelo fio superior, beleza?

Olha a figura!

Lembre-se que podemos escrever

λ = d q d l   ⟹ d q = λ   d l e que pela figura podemos escrever que

d l = d x  

Passo 2

Podemos notar na figura que os campos produzidos pelo elemento infinitesimal do lado esquerdo ( E e →   ) e o gerado pelo elemento do lado direito ( E d →   ) ao se somarem, as componentes que apontam no eixo x se anulam. Sendo assim, teremos apenas as componentes no eixo y .

Lembre-se que o campo produzido por um elemento infinitesimal pode ser escrito como

d E = k d q d 2 =   k λ d x d 2

Podemos escrever que

d = x 2 + b 2 2

Levando em consideração que só teremos campo na direção y , temos que

d E = k d q d 2 =   k λ d x x 2 + b 2 2 c o s θ

Onde

c o s θ = b / 2 x 2 + b 2 2

Assim podemos reescrever a expressão do campo d E como

d E = k 2 λ d x   b x 2 + b 2 2 3 / 2

Passo 3

Para achar o campo produzido pelo fio inteiro, basta integrarmos d E

Pela imagem podemos verificar que x vai variar de - a /2 até a / 2 . Sendo assim, o campo do fio produzido pelo fio fica

E = k λ b 2 ∫ - a / 2 a / 2   d x x 2 + b 2 2 3 / 2 =   k λ b 2 ∫ - a / 2 a / 2   8 d x 2 x 2 + b 2 3 / 2   Agora precisamos resolver a integral, certo?! Essa integral é tabelada! Pela tabela temos

∫ d u a 2 + u 2 3 / 2 =   u a 2 a 2 + u 2 + C

Sendo assim, empregando os intervalos de integração teremos E = 8 k λ b 2 1 2 a b 2 a 2 + b 2 -   - a b 2 a 2 + b 2 =   8 k λ b 4 b 2 2 a a 2 + b 2

Substituindo

k = 1 4 π ϵ o

Temos

E =   λ π ϵ 0 b a a 2 + b 2

E ele aponta no sentido positivo de y . Portanto

E → =   λ π ϵ 0 b a a 2 + b 2     y ^

Passo 4

Por simetria, o campo produzido pelo fio inferior, será de mesma magnitude que o produzido pelo superior. Cabe ressaltar que como no fio inferior a densidade linear de carga é - λ , o campo deve apontar na direção positiva de y .

Portanto no ponto P, os campos produzidos pelo fio será E → T o t a l = 2   E → =   =   2 λ π ϵ 0 b a a 2 + b 2     y ^

Resposta

E → T o t a l = 2   E → =   =   2 λ π ϵ 0 b a a 2 + b 2     y ^

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