Enunciado

Uma barra de metal homogênea com 8,00 m de comprimento e massa de 30,0 kg é presa um uma extremidade ao lado de um prédio por uma dobradiça sem atrito. A barra é mantida a um ângulo de 64,0° acima da horizontal por um cabo fino e leve, que corre de uma ponta da barra oposta à dobradiça até um ponto na parede acima da dobradiça. O cabo forma um ângulo de 37,0° com a barra. Sua massa é de 65,0 kg. Você segura a barra perto da dobradiça e se pendura nela, com as mãos próximas e seus pés fora do chão. Para impressionar seus amigos, você pretende deslocar suas mãos lentamente em direção à extremidade do topo da barra. (a) Se o cabo se partir quando sua tensão superar 455 N, a que distância da extremidade superior da barra você estará quando isso acontecer? (b) Imediatamente antes que o cabo se parta, quais são o módulo e a direção da força resultante que a dobradiça exerce sobre a barra?

Passo 1

E aii galera, vamos fazer mais uma questão?

Letra a:

O ângulo entre a força de tensão e a parede é

θ T = 37 ∘ + 90 ∘ = 127 ∘

O comprimento da barra é de 8 m, portanto, o peso do centro da barra é em 4 m enquanto a tensão está em 8 m como no final da barra. A barra está no estado de equilíbrio, então a soma do torque é zero e este torque é aplicado devido aos dois componentes da força de tensão T x , T y , o peso da barra W e o peso de sua massa W m .

Resolvendo:

∑ τ = 0

- 4 m Wcos ⁡ θ - x W m cos ⁡ θ - 8 m T y cos ⁡ θ + 8 m T x sin ⁡ θ = 0 - ( 4 m ) W c o s ⁡ θ - ( x ) W m c o s ⁡ θ - ( 8 m ) T c o s ⁡ 127 ∘ - 64 ∘ c o s ⁡ θ + ( 8 m ) T s i n ⁡ 127 ∘ - 64 ∘ o ∘ s i n ⁡ θ = 0

8 m Tsin ⁡ 127 ∘ - 64 ∘ ∘ sin ⁡ θ = 0

x = - 4 m Wcos ⁡ θ - 8 m Tcos ⁡ 63 ∘ cos ⁡ θ + 8 m Tsin ⁡ 63 ∘ sin ⁡ θ W m cos ⁡ θ x = - 4 m mgcos ⁡ θ - 8 m Tcos ⁡ 63 ∘ cos ⁡ θ + 8 m Tsin ⁡ 63 ∘ sin ⁡ θ m m gcos ⁡ θ

Passo 2

Agora, substituindo os valores:

x = - 4 m mgcos ⁡ θ - 8 m Tcos ⁡ 63 ∘ cos ⁡ θ + 8 m Tsin ⁡ 63 ∘ sin ⁡ θ m m gcos ⁡ θ = - 4 m 30 k g 9.8 m s 2 cos ⁡ 64 ∘ - 8 m 455 N cos ⁡ 63 ∘ cos ⁡ 64 ∘ + 2915 N 65 k g 9.8 m s 2 cos ⁡ 64 ∘ = 6 m

Observe que o valor 2915 N é calculado a partir de ( 8 m ) ( 455 N ) sin ⁡ 63 ∘ s i n ⁡ 64 ∘ . Esta é a distância entre a extremidade inferior da barra e o ponto onde o cabo está quebrado. Então, da extremidade superior, o ponto será:

x superior   = 8 m - 6 m = 2 m

Passo 3

Letra b:

A força da dobradiça está em dois componentes, F x  and  F y . A força vertical F y está na direção oposta a m g ,     m m g   e   T y , então temos:

F y = m g + m m g + T y = m g + m m g + T c o s ⁡ 63 ∘ = ( 30 k g ) 9.8 m s 2 + ( 65 k g ) 9.8 m s 2 + 455 N c o s ⁡ 63 ∘ = 1137.6 N

A força horizontal F x está na direção oposta a T x , então podemos obtê-la

F x = T x = T s i n ⁡ 63 ∘ = 455 N s i n ⁡ 63 ∘ = 504.4 N

Portanto, a magnitude da força da dobradiça é:

F h = F x 2 + F y 2

F h = ( 405.4 N ) 2 + ( 1137.6 N ) 2 = 1208 N

O ângulo que controla a direção de F h , é calculado por

θ = t a n - 1 ⁡ F y F x = t a n - 1 ⁡ 1137.6 N 405.4 N = 70.4 ∘

Resposta

  1. 2m
  2. F h = 1208 N   com ângulo θ = 70.4 ∘
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