Enunciado

Um bloco de 20   k g , com uma polia presa a ele, desliza ao longo de um trilho sem atrito. Ele está conectado, por um fio sem massa, a um bloco de 5,0   k g , como mostra o arranjo da Figura 4-59. Encontre (a) a aceleração de cada bloco e (b) a tensão no fio.

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? A ideia aqui é perceber que como não há atrito, o bloco de 5 k g vai cair, e vai puxar o outro bloco de 20 k g .

Aqui nesse item ele quer a aceleração de cada bloco.

Mas percebe uma coisa. Temos uma polia ali presa no bloco de 20 k g . A corda envolve ela e se liga a plataforma. Se nessa corda temos uma tensão de T , o diagrama dessa polia seria:

Porque temos a corda saindo dela para se ligar ao bloco mais leve e para se ligar a plataforma, como a tensão em uma corda é a mesma em todos os pontos, há duas tensões T para esquerda puxando a polia.

E a polia aplica uma força F sobre o bloco, o puxando para a direita, logo, pela terceira lei de Newton, há uma força F sobre a polia aplicada pelo bloco a puxando para a esquerda. Então com que força a polia vai puxar o bloco mais pesado?

Essa polia está parada, então a força F com que ela vai puxar o bloco mais pesado deve ser igual a força total que está para a direita, ou seja, temos que ter F = 2 T . Ou seja, essa polia puxa o bloco de 20 k g com uma força de 2 T .

Agora a gente tem todas as informações para fazer o diagrama de corpo livre para os dois blocos:

A gente colocou x no sentido da aceleração em cada caso só para facilitar as contas. Percebe que a aceleração é resultado de uma força resultante no seu sentido, por isso as forças no sentido da aceleração aparecem maiores do que as que estão nos sentido inverso.

Temos tensão T onde a gente tem a cordinha. E a força que vale 2 T puxando o bloco. Cada caixa tem sua força peso F g por ter massa. E a caixa da esquerda tem uma força normal F n por estar em contato com a superfície.

Bora equacionar essas forças através da segunda lei de Newton para achar a → .

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton no bloco de 20   k g , temos:

∑ F x = m a x

2 T = m 20 a 20 , x   i

Aplicando a segunda lei de Newton no bloco de 5   k g , temos:

∑ F x = m a x

F g - T = m 5 a 5 . x

m 5 g - T = m 5 a 5 , x   i i

Mas a gente não pode dizer que a 5 . x = a 20 . x , porque o bloco de 20 k g não está ligado à corda como o bloco de 5 k g , mas à polia.

Então o que a gente vai fazer?

Passo 3

Podemos tentar relacionar essas acelerações usando o deslocamento dos blocos.

A gente pode usar a equação da posição para aceleração constante, para achar os desclocamentos desses dois blocos em um tempo t :

Δ x = v 0 t + a 2 t 2

Se a gente considerar que os dois saíram do repouso, v 0 = 0 para os dois, e o deslocamento de cada um fica:

∆ x 5 = 1 2 a 5 , x t 2

∆ x 20 = 1 2 a 20 , x t 2

Dividindo as duas equações, temos:

∆ x 5 ∆ x 20 = 1 2 a 5 , x t 2 1 2 a 20 , x t 2 = a 5 , x a 20 , x

Agora uma dica: quando a gente tem um elemento (no caso, o bloco de 20 k g ) ligado a polia e a polia é envolvida pela corda. Se a corda está ligada a outro elemento móvel (o bloco de 5 k g ) e a um elemento fixo (no nosso caso, a plataforma), o deslocamento do elemento móvel ligado a corda é duas vezes maior do que o deslocamento do elemento móvel ligado a polia.

Imagina que o deslocamento Δ x 5 do bloco de 5 k g quando chega a polia, vai se “dividir” entre os dois pedaços da corda para puxar essa polia. Aí o bloco vai ser mover apenas Δ x 20 = Δ x 5 / 2 .

Susbtituindo isso na nossa razão:

∆ x 5 ∆ x 20 = a 5 , x a 20 , x

Δ x 5 Δ x 5 / 2 = a 5 , x a 20 , x

1 1 2 = a 5 , x a 20 , x

a 5 , x = 2 a 20 , x

Passo 4

Aí vamos substituir isso na equação i i do passo 2

m 5 g - T = m 5 a 5 , x

m 5 g - T = m 5 2 a 20 , x     i i i

Agora vamos isolar T da equação i :

2 T = m 20 a 20 , x

T = m 20 a 20 , x 2

E substituir em i i i :

m 5 g - T = m 5 2 a 20 , x

m 5 g - m 20 a 20 , x 2 = m 5 2 a 20 , x

Isolando a 20 . x

a 20 , x = m 5 g 2 m 5 + m 20 2

Substituindo os valores, temos:

a 20 , x = 5 ⋅ 9,81 2 ⋅ 5 + 20 2

a 20 , x = 2,45   m / s 2

E para o outro bloco:

a 5 , x = 2 a 20 , x

a 5 , x = 4,9   m / s 2

Passo 5

O item (b), nos pede a tensão T . Com os cálculos do Passo 5, achamos através da equação i que:

2 T = m 20 a 20 , x

T = m 20 a 20 , x 2

T = 20   k g ⋅ 2,45   m / s 2   2

T ≈ 25   N

Resposta

a ) a 20 , x = 2,45   m / s 2

a 5 , x = 4,9   m / s 2

b ) T = 25   N

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