Enunciado

O cabo coaxial. Um cabo coaxial longo é constituído por um cilindro interno condutor de raio a e por um cilindro externo coaxial com raio interno b e raio externo c . O cilindro externo está apoiado em suportes isolantes e não possui nenhuma carga líquida. O cilindro interno possui uma carga por unidade de comprimento uniforme λ . Determine o campo elétrico a em qualquer ponto entre os dois cilindros, a uma distância r do eixo; b em qualquer ponto no exterior do cilindro. c Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r ao eixo do cabo, desde r = 0 até r = 2 c . d Calcule a carga por unidade de comprimento da superfície interna e da superfície externa do cilindro externo.

Passo 1

Supondo uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r com o mesmo eixo que os cilindros, temos que o seu campo elétrico será dado através da carga por unidade de comprimento que está em seu interior por causa do cilindro interno. Então, usando a equação do campo elétrico para uma linha infinita, teremos:

E = λ 2 π r ϵ 0

Que, caso λ > 0 , então o campo elétrico aponta para fora. Caso λ < 0 , ocorre o contrário.

Passo 2

Agora, consideramos uma superfície gaussiana cilíndrica com raio r > c para que esteja externamente a todos os cilindros. Como o cilindro externo não possui nenhuma carga e está apoiado em suportes isolantes, ele está isento de cargas em seu interior e exterior.

Então, a carga da superfície gaussiana será dada pela carga por unidade de comprimento do cilindro interno. Assim, utilizando novamente a equação do campo elétrico para uma linha infinita:

E = λ 2 π r ϵ 0

Passo 3

Para construir o gráfico do campo elétrico em função de r , temos que determinar o valor do campo em cada intervalo, ou seja, em cada região entre os cilindros.

Com isso, temos que como o cilindro interno é um condutor e está carregado (pela presença de densidade por unidade de comprimento), o campo elétrico em seu interior, ou para r > a , é nulo.

Da mesma forma, no interior do cilindro externo, ou para b < r < c , não há fluxo elétrico por não haver carga líquida e, por isso, o campo elétrico é nulo.

A partir dessas informações, é possível esboçar o gráfico que queremos:

Passo 4

Para calcular a carga por unidade de comprimento da superfície interna do cilindro externo, podemos considerar uma superfície gaussiana cilíndrica que se encontre nessa região, ou seja, tenha raio r tal que b < r < c .

Essa superfície contém em seu exterior a carga do cilindro interno que tem valor q e x t = λ l e, como o seu campo elétrico é nulo, a carga no seu interior deve ter carga com mesma intensidade e sinal oposto ( q i n t = - λ l ) a fim de anular o campo elétrico na superfície. Portanto, a superfície interna do cilindro externo possui carga por unidade de comprimento - λ .

A partir dessa última conclusão, visto que o cilindro externo tem densidade linear - λ em sua superfície interna, para manter a ausência de campo elétrico, a superfície externa deve ter densidade linear + λ .

Resposta

a   λ 2 π r ϵ 0

b   λ 2 π r ϵ 0

c interno = - λ

Externo = + λ

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