Enunciado

A Fig. 25-38 mostra uma esfera, de raio a e carga + q uniformemente distribuída através de seu volume, concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno b e raio externo c . A casca tem uma carga líquida de - q . Determine expressões para o campo elétrico em função do raio r (a) dentro da esfera r < a ; (b) entre a esfera e a casca a < r < b ; (c) no interior da casca b < r < c ; e (d) fora da casca r > c . (e) Quais são as cargas sobre as superfícies interna e externa da casca?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Para começar, em todos pontos onde existe campo elétrico, ele aponta radialmente para fora. Em cada parte do problema, escolheremos uma superfície Gaussiana esférica e concêntrica com a esfera de carga e que passe pelo ponto onde desejamos determinar o campo elétrico. Como o campo é uniforme sobre toda a superfície das Gaussianas, temos sempre que, qualquer que seja o raio r da Gaussiana em questão,

∮ E   d A = 4 π ϵ 0 r 2   E

(a) Aqui temos r < a e a carga dentro da superfície Gaussiana é q r / a 3 . A lei de Gauss fornece-nos

4 π r 2   E = q ϵ 0 r a 3

Isolando E tiramos que

E = q r 4 π a 3 ϵ 0

Passo 2

(b) Agora temos a < r < b , com a carga dentro da Gaussiana sendo + q . Portanto, a lei de Gauss aqui nos diz que

4 π r 2   E = q ϵ 0

Isolando E tiramos que

E = q 4 π ϵ 0 r 2

(c) Como a casca é condutora, é muito fácil saber se o campo elétrico dentro dela:

E = 0

Passo 3

(d) Fora da casca, para r > c , a carga total dentro da superfície Gaussiana é zero e, consequentemente:

E = 0

Passo 4

Tomemos uma superfície Gaussiana localizada dentro da casca condutora. Como o campo elétrico é zero sobre toda superfície, temos que

Φ = ∮ E   d A = 0

e, de acordo com a lei de Gauss, a carga líquida dentro da superfície é zero. Em outras palavras, chamando de Q i a carga sobre a superfície interna da casca, a lei de Gauss nos diz que devemos ter q + Q i = 0 , ou seja,

Q i = - q

Chamando agora de Q e a carga na superfície externa da casca e sabendo que a casca tem uma carga líquida de - q (dado do problema), vemos que é necessário ter-se que Q i + Q e = - q , o que implica termos

Q e = - q - Q i = 0

Resposta

  1. E = q r 4 π a 3 ϵ 0
  2. E = q 4 π ϵ 0 r 2
  3. E = 0
  4. E = 0
  5. Q i = Q e = 0

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