Enunciado

Uma caixa de massa m , sobre o chão, está conecetada a uma mola horizontal de constante de força k (veja a figura). O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o chão é μ k . A outra ponta da mola está presa a uma parede. A mola está inicialmente frouxa. Se a caixa é afastada da parede por uma distância d 0 e largada, ela desliza de volta. Suponha que a caixa não desliza tanto ao ponto de as espiras da mola se tocarem. (a) Obtenha uma expressão para a distância d 1 que a caixa desliza antes de parar pela primeira vez. (b) Supondo que d 1 > d 0 , obtenha uma expressão para a rapidez da caixa após ter percorrido uma distância d 0 depois de largada. (c) Obtenha o valor particular de μ k para o qual d 1 = d 0 .

Passo 1

Vamos aplicar a lei de conservação de energia entre o ponto de onde a caixa é solta e o ponto em que ela para pela primeira vez.

Como em ambos os pontos a caixa está parada, não teremos variação de energia cinética:

Δ K = 0

Tudo o que acontece entre esses dois pontos, é que a energia potencial que a mola armazenava inicialmente terá dois fins: uma parte vai de dissipar pelo atrito, e a outra vai continuar armazenada na mola.

U o = U f + E a t

Passo 2

Inicialmente, a energia U 0 armazenada na mola era a seguinte:

U o = 1 2 k d 0 2

E depois que a caixa é solta, ela percorre uma distância d 1 a partir do ponto d 0 até parar. Então a distância desse ponto de parada em relação ao ponto de equilíbrio é:

d = d 1 - d 0

De forma que a energia final armazenada na mola é:

U f = 1 2 k d 1 - d 0 2

E a energia dissipada pela força de atrito quando a caixa percorre essa distância é:

E a t = F a t d 1

Como estamos em um plano horizontal, a expressão da força de atrito fica bastante simples:

E a t = m g μ k d 1

Substituindo tudo isso na expressão anterior:

1 2 k d 0 2 = 1 2 k d 1 - d 0 2 + m g μ k d 1

Passo 3

(a) Vamos resolver essa última equação para encontrar d 1 :

1 2 k d 0 2 = 1 2 k d 1 2 - k d 1 d 0 + 1 2 k d 0 2 + m g μ k d 1

Multiplicando tudo por 2 / k :

d 0 2 = d 1 2 - 2 d 1 d 0 + d 0 2 + 2 k m g μ k d 1

Agora vamos cortar o d 0 2 e colocar d 1 em evidência:

d 1 d 1 - 2 d 0 - 2 k m g μ k = 0

E só existem duas soluções para essa equação. A primeira é d 1 = 0 , que não faz sentido para nós nesse caso, e a outra é:

d 1 - 2 d 0 - 2 k m g μ k = 0

d 1 = 2 d 0 - 2 k m g μ k

Passo 4

(b) Agora queremos descobrir a rapidez do bloco quando ele percorreu uma distância d 0 após ser solto. Como d 0 < d 1 , nós sabemos que o bloco ainda não estará totalmente parado nesse ponto, então ainda haverá alguma energia cinética.

Vamos olhar para nossa fórmula de antes:

E i n i c i a l = E f i n a l

1 2 k d 0 2 = 1 2 k Δ d 2 + m g μ k d 1

Que modificações temos que fazer? Primeiro, adicionar um termo para a energia cinética do lado direito da equação:

1 2 k d 0 2 = 1 2 k Δ d 2 + m g μ k d 1 + 1 2 m v 2

E como a mola havia sito distorcida em d 0 , depois de andar uma distância d 0 ela estará totalmente frouxa novamente:

Δ d = d 0 - d 0 = 0

1 2 k d 0 2 = m g μ k d 1 + 1 2 m v 2

E agora é só isolar a rapidez v :

v = k m d 0 2 - 2 μ k g d o

Passo 5

(c) Vamos retornar à expressão que encontramos no final do item (a):

d 1 = 2 d 0 - 2 k m g μ k

Podemos aproveitar essa expressão para encontrar μ k no caso em que d 1 = d 0 :

d 0 = 2 d 0 - 2 k m g μ k

d 0 = 2 k m g μ k

μ k = k d 0 2 m g

Resposta

(a) d 1 = 2 d 0 - 2 k m g μ k .

(b) v = k m d 0 2 - 2 μ k g d o .

(c) μ k = k d 0 2 m g .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um bloco de massa m=5 Kg, deslizando sobre uma mesa horizontal com coeficientes de atrito cinético e estático 0,5 e 0,6 , respectivamente, colide com uma mola de massa desprezível, de constante de mol
Um vagão de massa m 1 = 4t o n e l a d a s está sobre um plano inclinado de inclinação θ = 45 ° , ligado a uma massa suspensa m 2 = 500K g pelo sistema de cabo e polias ilustrado na Fig. Supõe-se que
Um bloco de massa m = 10K g é solto em repouso do alto de um plano inclinado de 45 ° em relação ao plano horizontal, com coeficiente de atrito cinético μ c = 0,5 . Depois de percorrer uma distância d=
Em uma experiência, uma das forças que atuam sobre um próton é dada por F → = - α x 2 i ^ onde α = 12N / m 2 . a) Qual é o trabalho realizado pela força F → quando o próton se desloca ao longo de uma
Um livro de 0,60 kg desliza sobre uma mesa horizontal. A força de atrito cinético sobre o livro possui módulo igual a 1,2 N. a) Qual é o trabalho realizado pela força de atrito durante um deslocamento