Enunciado

Em uma experiência, uma das forças que atuam sobre um próton é dada por F → = - α x 2 i ^ onde α = 12   N / m 2 . a) Qual é o trabalho realizado pela força F →   quando o próton se desloca ao longo de uma linha reta do ponto ( 0,10   m ,   0 ) ao ponto ( 0,10   m ,   0,40   m ) ? b) E ao longo de uma linha reta do ponto ( 0,10   m ,   0 )   ao ponto ( 0,30   m ,   0 ) ? c) E ao longo de uma linha reta do ponto ( 0,30   m ,   0 ) ao ponto ( 0,10   m ,   0 ) ? d) A força F →   é conservativa? Explique. Se a força F → for conservativa, qual é a função energia potencial associada a ela? Seja U = 0 para x = 0 .

Passo 1

Olá! Tudo certinho? Para resolver essa questão, temos que lembrar que trabalho é a força realizada em um deslocamento. Mas nessa questão a força não é constante, devemos usar a equação:

W = ∫ 1 2 F → ⋅ d l →

Aonde F → é a força a qual queremos calcular o seu trabalho:

F → = - α x 2 i ^

Repara que a força só varia de acorod com o eixo x . Então vamos ter que integrar para cada coordenada.

E d l → é um vetor infinitesimal de comprimento na direção que queremos calcular o trabalho W .

Bora lá!

Passo 2

  1. Então,
  2. d l → = d y j ^

    x   é constante e o deslocamento está na direção +   y .

    F → ⋅ d l → = 0

    desde que i ^ ⋅ j ^ = 0 e W = 0 .

    (Isso ocorreu pois a força está na direção x , pois o seu vetor unitário é i ^ e o deslocamento é na direção y , portanto seu vetor unitário é j ^ . E o produto escalar entre dois vetores perpendiculares dá zero)

    Passo 3

  3. Assim,
  4. d l → = d x i ^

    F → ⋅ d l → = - α x 2 i ^ ⋅ d x i ^ = - α x 2 d x

    Dessa forma,

    W = ∫ x 1 x 2 - α x 2 d x = - 1 3 α x 3 | x 2 x 1 = - 1 3 α x 2 3 - x 1 3 =

    W = - 1 3 12 0,300 m 3 - 0,10 m 3 =

    W = - 0,10 J

    Passo 4

  5. d l → = d x i ^ como no item (b), mas agora x 1 = 0,30 m e x 2 = 0,10 m , e então:
  6. W = - 1 3 α x 2 3 - x 1 3 =

    W = - 1 3 12 ( 0,1 3 - 0,3 3 )

    W = + 0,10 J

    Passo 5

  7. O trabalho total para o deslocamento ao longo do eixo x de 0,10 m a 0,30 m e depois volta para 0,10 m é a soma dos resultados dos itens (b) e (c), que é zero. O trabalho total é zero quando a partida e os pontos finais são os mesmos, então a força é conservativa.

Resposta

  1. W = 0
  2. W = - 0,10 J
  3. W = + 0,10 J
  4. C o n s e r v a t i v a .
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