Enunciado

Calcule a eficiência térmica da máquina que usa n moles de um gas ideal diatômico e executa o ciclo 1 → 2 → 3 → 4 → 1 mostrado na Figura 20.27.

Passo 1

A gente pode ver pelo ciclo, que tem dois processos isobáricos e dois isocóricos. Nos processos isocóricos o gás não realiza trabalho W 12 = W 34 = 0 e o trabalho total do ciclo só envolve os outros dois processos:

W t o t a l = W 23 + W 41

E os únicos processos em que ocorre absorção de calor são 1 → 2 e 2 → 3 , porque em um deles a pressão aumenta e no outro, o volume que aumenta. Então:

Q H = Q 12 + Q 23

Nos outros dois, eles diminuem, e nesses casos o ciclo perde calor, mas não precisamos deles para calcular a eficiência, já que a equação de eficiência é:

e = W t o t a l Q H

Passo 2

Vamos começar calculando os trabalhos, os processos são isobáricos, então o trabalho é dado por:

W = p ∆ V

Para o processo 2 → 3 :

W 23 = 2 P 0 2 V 0 - V 0 = 2 P 0 V 0

E para o 4 → 1 :

W 41 = P 0 V 0 - 2 V 0 = - P 0 V 0

O trabalho total fica:

W t o t a l = 2 P 0 V 0 + ( - P 0 V 0 )

W t o t a l = P 0 V 0

Passo 3

Para os calores dos processos que vamos usar para calcular o calor absorvido, vamos precisar das equações que envolvem a variação de temperatura, só que o processo 1 → 2 , está a volume constante, então:

Q 12 = n C V ∆ T

E o processo 2 → 3 está a pressão constante, assim:

Q 23 = n C P ∆ T

Como a gente não tem a temperatura de cada processo, vamos usar a equação dos gases ideais para substituir a variação da temperatura em cada caso. Vamos primeiro fazer do processo 1 → 2 :

P 1 V = n R T 1

P 2 V = n R T 2

Como podemos ver, o volume é constante, e a diferença entre os dois processos dá:

∆ P V = n R ∆ T

Isolando ∆ T e substituindo os valores dados pelo gráfico:

∆ T = 2 P 0 - P 0 V 0 n R = P 0 V 0 n R

Colocando na equação do calor:

Q 12 = n C V P 0 V 0 n R = P 0 V 0 C V R

Fazemos o mesmo para o processo 2 → 3 , só que agora a pressão que é constante, então fica:

P ∆ V = n R ∆ T

∆ T = 2 P 0 ∆ V n R = 2 P 0 ( 2 V 0 - V 0 ) n R = 2 P 0 V 0 n R

Substituindo na equação do calor:

Q 23 = n C P 2 P 0 V 0 n R = 2 P 0 V 0 C P R

E como foi dito antes, o calor total absorvido vai ser a soma dos calores desses dois processos:

Q H = P 0 V 0 C V R + 2 P 0 V 0 C P R

Como C P = C V + R :

Q H = P 0 V 0 C V R + 2 P 0 V 0 C V + R R

Q H = 3 C V + 2 R R P 0 V 0

Passo 4

Agora que temos tudo que precisamos, a gente coloca tudo na equação de eficiência:

e = W Q H

Que fica:

e = P 0 V 0 3 C V + 2 R R P 0 V 0

e = 1 3 C V + 2 R R = R 3 C V + 2 R

Para um gás ideal diatômico:

C V = 5 2 R

A eficiência fica:

e = R 15 2 R + 2 R = 2 19

Passando para % :

e = 0,105 = 10,5 %

Resposta

10,5 %

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