Enunciado

Um tubo de vapor d’água com raio igual a 2,0   c m transportando vapor a 140   ° C é revestido por um involucro cilíndrico com um raio interno de 2,0   c m e um raio externo de 4,0   c m , e feito com um tipo de cortiça de condutividade térmica igual a 4,0 × 10 - 2   W / m ⋅ K . Esse cilindro, por sua vez, é revestido por outro involucro cilíndrico com uma camada de isopor com condutividade térmica igual a 1,0 × 10 - 2   W / m ⋅ K com um raio interno de 4,0   c m e um raio externo igual a 6,0   c m (Figura17.35). A superfície externa do isopor está a uma temperatura de 15   ° C . a) A um raio de 4,0   c m , qual é a temperatura no local onde as duas superfícies se juntam? b) Qual é a taxa total de transferência de calor a partir de uma extensão de 2,0   m do tubo? (Sugestão: Use a expressão deduzida na parte (c) do Problema desafiador 17.122.)

Passo 1

a) Precisamos encontrar o valor da variação de temperatura desde o interior do cilindro, onde o vapor está a 140   ° C até o ponto entre os dois invólucros cilíndricos, sabemos que a variação de temperatura no interior do cilindro até a parte externa é a soma da variação da temperatura para cada cilindro. Vamos chamar de ∆ T c o r t i ç a e ∆ T i s o p o r , assim:

∆ T t o t a l = ∆ T c o r t i ç a +   ∆ T i s o p o r

E a outra informação que temos é que os dois materiais estão em série, então as correntes de calor serão iguais em cada material:

H = H c o r t i ç a = H i s o p o r

Passo 2

Usando a equação deduzida no problema 122, que é a equação para um cilindro com duas camadas de raios diferentes:

H = 2 π k h ∆ T ln ⁡ b a

A ultima igualdade do passo 1 fica:

H c o r t i ç a = H i s o p o r

2 π k c o r t i ç a h ∆ T c o r t i ç a ln ⁡ 4,0   c m 2,0   c m = 2 π k i s o p o r h ∆ T I s o p o r ln ⁡ 6,0   c m 4,0   c m

Simplificando: k c o r t i ç a ∆ T c o r t i ç a ln ⁡ 2 = k i s o p o r ∆ T I s o p o r ln ⁡ 1,5

Agora isolamos a variação de temperatura através do isopor:

∆ T i s o p o r = ln ⁡ 1,5 ln ⁡ 2 k c o r t i ç a k i s o p o r ∆ T c o r t i ç a  

Passo 3

E substituímos ele na primeira relação do passo 1 que definimos:

∆ T t o t a l = ∆ T c o r t i ç a +   ln ⁡ 1,5 ln ⁡ 2 k c o r t i ç a k i s o p o r ∆ T c o r t i ç a

∆ T t o t a l = ∆ T c o r t i ç a 1 +   ln ⁡ 1,5 ln ⁡ 2 k c o r t i ç a k i s o p o r

Para achar a variação na cortiça:

∆ T c o r t i ç a = ∆ T t o t a l 1 +   ln ⁡ 1,5 ln ⁡ 2 k c o r t i ç a k i s o p o r

A variação de temperatura do processo todo é (de dentro do tubo até a parte externa):

∆ T t o t a l = 15   ° C - 140   ° C = - 125   ° C = - 125   K

Substituindo esse valor junto com as condutividades térmicas de cada material dados pelo enunciado:

∆ T c o r t i ç a = - 125   K 1 +   ln ⁡ 1,5 ln ⁡ 2 4,0 × 10 - 2   W / m ⋅ K 1,0 × 10 - 2   W / m ⋅ K

∆ T c o r t i ç a = - 37   K = - 37   ° C

Passo 4

E como temos a temperatura dentro do vapor dentro do cano que é a temperatura inicial, e a variação dentro da cortiça, podemos achar a temperatura final para a cortiça que será exatamente a temperatura entre as duas superfícies:

∆ T c o r t i ç a = T f - T i

T f = - 37   ° C + 140   ° C

T f = 103   ° C

Passo 5

b) E como a transferência de calor do processo todo é igual à de cada material, porque eles estão em série, podemos usar o H c o r t i ç a para calcularmos a taxa de transferência no tubo todo:

H = H c o r t i ç a = 2 π 4,0 × 10 - 2   W / m ⋅ K ( 2,0   m ) ( 37   K ) ln ⁡ 2

H = 27   W

Resposta

a   103   ° C

b   27   W

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