Enunciado

Calcule a frequência angular de oscilação livre do circuito da figura, onde L 12 é a indutância mútua entre as bobinas.

Passo 1

Nesse problema iremos utilizar a lei de Kirchoff somando as tensões e substituindo por valores que dependem da corrente, já que em todo o sistema será a mesma. Após isso, vamos chegar em nossa EDO para o sistema e teremos que encontrar o termo da oscilação livre.

Passo 2

Bom, como dito no passo 1, vamos somar as tensões em todo o sistema e deixar tudo em termos da nossa corrente, que para todo o sistema será a mesma. Temos que no indutor L 2 , onde teremos uma indutância mútua, a corrente será de mesmo valor mas com o sinal trocado. Também teremos que o seu valor será uma fração do valor total da indutância mútua, por não estar diretamente conectado no sistema. Assim, podemos escrever nossa equação como:

Q C + L 1 ⋅ d I d t - L ⋅ d I d t = 0

Onde esse L é nossa indutância mútua com a do L 2 . Ela pode ser escrita como L L 12 = L 12 L 2   → L = L 12 2 / L 2 . Substituindo na equação, vamos ter que:

Q C + L 1 ⋅ d I d t - L 12 2 L 2 ⋅ d I d t = 0

Derivando agora essa relação, vamos ter que:

I C + L 1 - L 12 2 L 2 ⋅ d 2 I d t 2 = 0

d 2 I d t 2 + L 2 C ⋅ L 2 L 1 - L 12 2 ⋅ I = 0

Chamando ω 0 2 = L 2 C ⋅ L 2 L 1 - L 12 2 , teremos que:

d 2 I d t 2 + ω 0 2 ⋅ I = 0

Tendo então que ω 0 é nossa frequência natural.

Resposta

ω 0 = L 2 C ⋅ L 2 L 1 - L 12 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um circuito R L C é excitado por um gerador com uma força eletromotriz com 80,0V de amplitude e uma corrente com 1,25A de amplitude. A corrente está adiantada 0,650r a d em relação à tensão. Determine
Um circuito R L C série é excitado por um gerador com uma frequência de 2000H z e uma amplitude de 170V . A indutância é 60,0m H , a capacitância é 0,400μ F e a resistência é 200Ω . (a) Qual é a const
Em um certo circuito R L C série, a força eletromotriz máxima do gerador é 125V e a corrente máxima é 3,20A de amplitude. Se a corrente está adiantada 0 , 982r a d em relação a força eletromotriz do g
Um gerador com uma frequência de 3000H z aplica uma força eletromotriz de 120V de amplitude a um circuito R L C série. A resistência do circuito é 40,0Ω , a capacitância é 1,60μ F e a indutância é 850
Um circuito L C oscilante tem uma indutância de 3,00m H e uma capacitância de 10,0μ F . Determine (a) a frequência angular e (b) o período de oscilação. (c) No instante t = 0 , o capacitor é carregado