Enunciado

Uma distribuição de cargas esfericamente simétricas, porém não uniformes, possui uma densidade ρ r dada por:

Em que ρ 0 = 3 Q / π R 3 é uma constante positiva. a Mostre que a carga total contida na distribuição é igual a Q . b Demonstre que o campo elétrico na região r ≥ R é idêntico ao campo elétrico produzido por uma carga puntiforme Q , situada em r = 0 . c Obtenha uma expressão para o campo elétrico na região r ≤ R . d Faça um gráfico do módulo do campo elétrico E em função da distância r . e Encontre o ponto r para o qual o campo elétrico atinge seu valor máximo e calcule o valor desse campo elétrico máximo.

Passo 1

Como a densidade de carga volumétrica não é distribuída de forma uniforme, devemos utilizar um elemento diferencial de carga para, ao integrar, encontrar o valor total da carga em toda a região.

Consideremos, então, a região interior da distribuição.

Deixando a carga em função da densidade volumétrica de carga, ela terá a forma:

Q = V ρ r = V ρ 0 1 - r R

Considerando uma superfície gaussiana (em r ≤ R ) com o volume dado pela sua área de face A e espessura d r :

d q = A d r ρ 0 1 - r R

Como a superfície é esférica:

d q = 4 π r 2 d r ρ 0 1 - r R → d q = 4 π ρ 0 r 2 - r 3 R d r

Então, a carga total envolvida por essa superfície será:

Q T = ∫ 0 R 4 π ρ 0 r 2 - r 3 R d r = 4 π ρ 0 ∫ 0 R r 2 - r 3 R d r

Então:

Q T = 4 π ρ 0 r 3 3 - r 4 4 R | R 0

∴ Q T = 4 π ρ 0 R 3 3 - R 3 4 = 4 π ρ 0 R 3 12

Substituindo o valor da constante:

Q T = 4 π 3 Q π R 3 R 3 12

Logo:

Q T = Q

Passo 2

Agora, para a região r ≥ R , consideramos uma superfície gaussiana com esse raio. Usando a lei de Gauss para ela, temos:

Φ = E A = Q T ϵ 0

Como a superfície em questão é esférica:

E 4 π r 2 = Q T ϵ 0 → E = Q T 4 π r 2 ϵ 0

Que é a equação do campo elétrico para uma carga puntiforme Q localizada no centro de uma esfera.

Passo 3

Da mesma forma, para a região r ≤ R , aplicamos a lei de Gauss para uma superfície gaussiana com esse raio. Logo:

Φ = E A = Q T ϵ 0

No entanto, para essa região, a densidade de carga não é distribuída uniformemente.

Assim, devemos calcular a carga total envolvida pela superfície utilizando um elemento diferencial de carga em função dessa densidade, tal que:

d q = V ρ r

Onde o volume desse elemento diferencial possui uma área esférica de raio l , mas menor do que a superfície gaussiana, e uma espessura d l :

d q = A d l ρ r = 4 π l 2 ρ 0 1 - l R d l

Assim, a carga total será dada pela integração dessa equação:

Q T = ∫ 0 r 4 π ρ 0 l 2 - l 3 R d l = 4 π ρ 0 ∫ 0 r l 2 - l 3 R d l

Então:

Q T = 4 π ρ 0 l 3 3 - l 4 4 R | r 0

∴ Q T = 4 π ρ 0 r 3 3 - r 4 4 R

Substituindo o valor da constante:

Q T = 4 π 3 Q π R 3 r 3 3 - r 4 4 R

Logo:

Q T = Q r 3 R 3 4 - 3 r R

Portanto, como o campo elétrico é dado pela lei de Gauss:

E 4 π r 2 = Q T ϵ 0

Substituindo o valor da carga total envolvida:

E = 1 4 π ϵ 0 r 2 Q r 3 R 3 4 - 3 r R

Ou seja:

E = k Q r R 3 4 - 3 r R

Passo 4

O gráfico do campo elétrico em função de r pode ser dado por:

Passo 5

Para determinar o ponto máximo do campo elétrico, podemos utilizar um método de Cálculo 1 , no qual derivamos a equação do campo e igualamos o resultado a zero para descobrir o valor de r em que isso ocorre. Dessa forma:

d E d r = 4 k Q R 3 - 6 k Q r R 4 = 0 → 6 k Q r R 4 = 4 k Q R 3

Isolando a variável de interesse:

r = 4 6 R ∴ r = 2 3 R

Portanto, o campo elétrico nesse ponto tem o valor:

E = k Q 1 R 3 2 3 R 4 - 3 1 R 2 3 R

E = 2 3 k Q 1 R 2 4 - 2

Então:

E = 4 3 k Q R 2

Resposta

c   r ≤ R → E = k Q r R 3 4 - 3 r R

e   r = 2 3 R → E = 4 3 k Q R 2

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