Enunciado

a Em certa região do espaço, a densidade de carga ρ é positiva. O campo elétrico E → pode ser uniforme nessa região? Explique. b Suponha que, nessa região com densidade de carga ρ positiva, exista uma ‘cavidade’ com ρ = 0 . O campor elétrico E → pode ser uniforme no interior dessa cavidade? Explique.

Passo 1

Um caso em que pode ser lembrado para auxiliar na resolução desse exercício é o do campo elétrico em um cubo. Se o campo elétrico é uniforme, isso significa que o campo elétrico que entra na superfície também sai, ou seja, nenhum fluxo permanece na superfície fechada.

Φ = 0

Passo 2

Dessa forma, aplicando a equação do fluxo para uma superfície fechada e considerando uma superfície gaussiana esférica menor do que a região do espaço em questão, temos:

Φ = ∮ E → ∙ d A → = q ϵ 0

Lembrando que a densidade volumétrica de carga é dada por:

ρ = d q d V → q = ∫ V ρ d V

Então, o fluxo pode ser reescrito como:

Φ = 1 ϵ 0 ∫ V ρ d V

Com isso, usando uma superfície qualquer com um volume qualquer, a única alternativa para o fluxo ser nulo é se a densidade de carga for nula.

Logo, caso a densidade seja positiva e não-nula, o fluxo também será positivo e não-nulo o que implica que o campo elétrico não é uniforme.

Passo 3

Ainda, o caso em que haja uma cavidade com densidade nula, não impede que o campo elétrico seja uniforme.

Isso pode ser provado considerando que a cavidade seja um espaço fechado dentro da região com densidade de carga ρ positiva. Assim, caso a cavidade não possua carga em seu interior e o fluxo da região não-uniforme não passe pela superfície da cavidade, então a mesma irá atender ao critério de que o campo elétrico seja uniforme, ou seja, o fluxo elétrico é nulo.

Resposta

b Sim

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