Enunciado

Modelo de Thomson para o átomo, continuação. Usando o modelo (desatualizado) de Thomson para o átomo, descrito no Problema 22.52 , considere um átomo constituído por dois elétrons, cada um com carga - e , espalhados no interior de uma esfera de raio R , com uma carga total + 2 e . No equilíbrio, cada elétron está a uma distância d do centro do átomo (Figura 22.41 ). Calcule a distância d em termos das outras propriedades do átomo.

Passo 1

Como sabemos, quando se encontram no equilíbrio, os átomos (no caso, os elétrons) não possuem nenhuma força exercendo sobre eles. Isso significa que a força resultante exercida sobre cada um é nula.

Dessa forma, podemos determinar a força agindo sobre um deles, tal que essa força terá mesma intensidade no outro elétron.

Passo 2

Assim, considerando o elétron da esquerda, ele sofre ação de uma força repulsiva causada pelo elétron da direita por ambos serem negativos. Logo, para calcularmos o valor dessa força, temos que usar a Lei de Coulomb que nos dá a força elétrica entre duas cargas puntiformes que estão separados por uma certa distância e tem a forma:

F = k q 1 q 2 r 2

Nesse caso, a força será:

F r e p u l s i v a = F r = k e 2 4 d 2

Passo 3

Além disso, o elétron da esquerda (e o da direita também, mas estamos considerando apenas um deles) sofre ação da força atrativa da distribuição de cargas positivas e, lembrando que o campo no interior de uma esfera uniforme carregada é:

E = k Q r R 3

Nesse caso, Q terá o valor de + 2 e das cargas distribuídas.

E, usando o campo para descobrir o valor da força, usamos:

F a t r a t i v a = q E = q k Q r R 3

F a = k e 2 e d R 3 = k 2 e 2 d R 3

Passo 4

Portanto, lembrando que a força resultante em cada elétron deve ser nula para a condição de equilíbrio, as forças repulsiva e atrativa no átomo devem ser iguais, tal que:

F r = F a

k e 2 4 d 2 = k 2 e 2 d R 3

Que resulta em:

d = R 3 8 3

E, logo:

d = R 2

Resposta

R 2

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