Enunciado

Um circuito R L C como o da Fig. 31-7 tem R = 5,00   Ω , C = 20,0   μ F , L = 1,00   H e ε = 30,0   V . (a) Para que frequência angular ω d a amplitude da corrente é máxima, como nas curvas de ressonância da Fig. 31-16? (b) Qual é o valor máximo? (c) Para que frequência angular ω 1 < ω 2 a amplitude da corrente tem metade do valor máximo? (d) Para que frequência angular ω 2 > ω 1 a amplitude da corrente tem metade do valor máximo? (e) Qual é o valor de ( ω 1 - ω 2 ) / ω , a largura de linha relativa a meia altura da curva de ressonância desse circuito?

Passo 1

A questão quer que estudemos a curva de ressonância de um circuito R L C com corrente alternada. A primeira coisa que devemos fazer é achar onde ocorre o máximo da amplitude da corrente I .

Sabemos que a amplitude da corrente é dada por

I = ε R 2 + χ L - χ C 2

O máximo ocorre com χ L = χ C . Assim,

ω d L = 1 ω d C ⇒ ω d = 1 L C

Usando L = 1,00   H e C = 20,0 ⋅ 10 - 6   F , obtemos

ω d = 224   r a d / s

Passo 2

Como a corrente máxima ocorre para χ L = χ C , temos que

I m a x = ε R 2 + 0 = ε R

Usando R = 5,00   Ω e ε = 30,0   V :

I m a x = 6,00   A

Passo 3

Agora queremos saber para quais valores de ω a corrente é metade do seu valor máximo, isto é

I = I m a x 2

Como temos que

I m a x = ε R

Vamos ter que

ε R 2 + χ L - χ C 2 = ε 2 R

Assim,

R 2 + χ L - χ C 2 = 2 R

Elevando a equação ao quadrado:

R 2 + χ L - χ C 2 = 4 R 2 ⇒ χ L - χ C 2 = 3 R 2

Tirando a raiz quadrada:

χ L - χ C = ± R 3

Não esqueça do sinal ± porque ele será crucial! Note que no fundo temos duas equações:

χ L - χ C = R 3             e             χ L - χ C = - R 3

Passo 4

Agora, note que

χ C = 1 ω C           e             χ L = ω L

Assim,

ω L - 1 ω C = ± R 3

Multiplicando ambos os lados por ω C :

L C ω 2 - 1 = ± R C 3   ω ⇒ L C   ω 2 ± R C 3   ω - 1 = 0

Temos então duas equações de segundo grau:

L C   ω 2 + R C 3   ω - 1 = 0               e                 L C   ω 2 - R C 3   ω - 1 = 0

Passo 5

Resolvendo a primeira equação, obtemos

Δ = 3 R 2 C 2 + 4 L C

Assim,

ω = - R C 3 ± 3 R 2 C 2 + 4 L C 2 L C

Como estamos interessados apenas em soluções positivas, vamos tomar

ω 1 = - R C 3 + 3 R 2 C 2 + 4 L C 2 L C

Substituindo os dados do problema:

ω 1 = 219   r a d / s

Passo 6

Para a maior frequência, resolvemos a outra equação:

L C   ω 2 - R C 3   ω - 1 = 0

O discriminante será o mesmo e a solução será

ω = R C 3 ± 3 R 2 C 2 + 4 L C 2 L C

Como queremos a solução positiva:

ω 2 = R C 3 + 3 R 2 C 2 + 4 L C 2 L C

Usando os dados do problema:

ω 2 = 228   r a d / s

Passo 7

Por fim, vamos calcular

ω 2 - ω 1 ω d = 228 - 219 224 = 9 224

Assim,

ω 2 - ω 1 ω d = 0,040

Resposta

ω d = 224   r a d / s

I m a x = 6,00   A

ω 1 = 219   r a d / s

ω 2 = 228   r a d / s

ω 2 - ω 1 ω d = 0,040

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