Enunciado

67. No circuito indicado na Figura 30.27 , ε = 60,0   V , R 1 = 40,0   Ω , R 2 = 25,0   Ω e L = 0,300   H . A chave S está fechada para t = 0 . Logo depois de a chave ser fechada, ( a ) qual é a diferença de potencial v a b nos terminais do resistor R 1 ? ( b ) qual é o ponto que está a um potencial mais elevado, a ou b ? ( c ) qual é a diferença de potencial v c d nos terminais do indutor L ? ( d ) qual é o ponto que está a um potencial mais elevado, c ou d ? A seguir, a chave é mantida fechada durante um tempo muito longo e depois é aberta. Logo após a chave ser aberta, ( e ) qual é a diferença de potencial v a b nos terminais do resistor R 1 ? ( f ) qual é o ponto que está a um potencial mais elevado, a ou b ? ( g ) qual é a diferença de potencial v c d nos terminais do indutor L ? ( h ) qual é o ponto que está a um potencial mais elevado, c ou d ?

Passo 1

Temos duas coisas para ficar atentos nesse problema, a primeira é quando a chave acabou de ser fechada em t = 0 temos que a corrente no indutor é 0 , já que a corrente é dada por:

i = ε R ( 1 - e - ( R / L ) t )

Então em t = 0 temos i = 0 , assim no instante inicial o indutor se comporta como uma interrupção no circuito

Depois a segunda coisa a se notar é o interruptor estando fechado por muito tempo e depois sendo aberto, nessa primeira parte dele fechado por muito tempo quando   t = ∞ temos que a tenção no indutor vai a 0 , pois a tensão no indutor é dada por:

V L = L d i d t

Sendo que:

d i d t = ε L e - ( R / L ) t

E para t indo para o infinito temos que d i / d t = 0 , logo V L = 0 , assim temos que o indutor funciona como um fio.

Passo 2

Agora vamos encontrar o que é pedido no item a e ( b ) de uma vez já.

Como temos um circuito em paralelo cada ramo dele recebe uma tenção igual a da fem, então temos que:

v a b = ε

⇒ v a b = 60   V

Agora pelo desenho é possível ver que o terminal positivo da fem está na esquerda então a corrente anda de a para b , então como a tensão cai à medida que passamos pelo resistor então temos que o ponto a tem uma tensão maior que b .

Passo 3

Agora vamos responder os itens ( c ) e ( d ) .

Como foi dito no passo 2 temos um circuito em paralelo, então cada ramo recebe uma tensão igual à da fem.

Mas como foi dito no passo 1 o indutor funciona como uma interrupção no circuito, logo a corrente nesse ramo é zero, então o resistor pela lei de Ohm tem uma tensão igual a zero, assim a tensão v c d que é a mesma do indutor vale 60   V

No passo anterior constatamos que a tensão diminui de a para b passando pelo resistor R 1 , então isso não deve ser diferente se usarmos o caminho que passa pelo indutor, então temos que a tensão em c é maior que me d .

Passo 4

Agora vamos ver o que achamos para o item ( e ) .

Tivemos a situação da chave ficar fechada por muito tempo então o potencial do indutor foi a zero, então temos que a tensão desse ramo ficou restrita ao resistor R 2 , então pela lei de Ohm temos como achar a corrente nesse ramo, assim:

ε = i 2 R 2

⇒ 60 = i 2 ( 25 )

⇒ i 2 = 2,4   A

Depois que a chave S é aberta, meio que perdemos contado com a fem, logo ela para de fornecer corrente para o circuito.

Mas imediatamente após a chave ser aberta temos que corrente do circuito não deu tempo de zerar então ela tem como valor a corrente i 2 que calculamos girando no sentido anti-horário é como se a parte da fem não existe mais.

Então o resistor R 1 tem a corrente i 2 usando a lei de Ohm temos:

v a b = - i 2 R 1

⇒ v a b = - 2,4 40

⇒ v a b = - 96   V

O sinal negativo é por conta da corrente está em sentido diferente do que queremos o potencial.

Agora como a tensão diminui quando passamos pelo resistor temos que a o ponto b é que tem a maior tensão nessa situação.

Passo 5

Agora vamos trabalhar no item ( g ) .

Temos que as tensões se comportam da seguinte maneira depois que perdemos contato com fem, temos:

V L - V R 1 - V R 2 = 0

Onde V L é a tensão no indutor.

Do passo anterior achamos que v a b = - V R 1 = - 96   V , logo V R 1 = 96   V .

A tensão em R 2 podemos encontrar usando a lei de Ohm, então temos:

V R 2 = i 2 R 2

= 2,4 ( 25 )

⇒ V R 2 = 60   V

Então juntando tudo temos que:

V L - 96 - 60 = 0

⇒ V L = 156   V

Mas vamos prestar atenção em detalhe, no passo anterior falamos que a tensão diminui de b para a , então não tem como a tensão em d ser menor do que em c , assim:

v c d = 156   V

E o ponto de maior tenção é o ponto de d já respondendo i tem ( h )

Resposta

( a )

v a b = 60   V

( b )

Ponto a tem maior tensão.

( c )

v c d = 60   V

( d )

Ponto c tem maior tensão.

( e )

v a b = - 96   V

( f )

Ponto b tem maior tensão.

( g )

v c d = - 156   V

( h )

Ponto d tem maior tensão.

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