Enunciado

Física - Tipler - Vol 2 - 6ª Ed. - Capítulo 22.1 - Ex. 52

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Considere duas finas cascas cilíndricas, infinitamente longas e coaxiais. A casca interna tem raio a 1 e uma densidade superficial uniforme de cargas σ 1 , e a casca externa tem raio a 2 e densidade superficial uniforme σ 2 . (a) Use a lei de Gauss para determinar expressões para o campo ele´trico nas três regiões: 0 ≤ R < a 1 , a 1 < R < a 2 e R > a 2 , onde R é a distância ao eixo. (b) Qual é a razão entre as densidades superficiais de carga σ 2 / σ 1 e os sinais relativos se o campo elétrico foi igual a zero em toda a região exterior ao cilindro maior? (c) Para o caso da parte (b), qual seria o campo elétrico entre as cascas? (d) Esboce as linhas de campo elétrico para a situação da parte (b) se σ 1 por positiva.

Passo 1

Eai gente. Nesse problema temos um problema de simetria cilíndrica. Vamos aproveitá-la para usar a lei de Gauss.

Passo 2

  • Para R < a 1 , temos

Claramente, temos q i n t = 0 . Assim, pela lei de Gauss, temos E = 0 .

Passo 3

  • Para a 1 < R < a 2 , temos
  • A carga interna será

    q i n t = σ 1 A 1 = σ 1 2 π L a 1

    Logo, pela lei de Gauss, temos

    E 2 π R L = σ 1 2 π L a 1 ε 0 E = σ 1 a 1 ε 0 R

    Passo 4

  • Para R > a 2 , temos

A carga interna será

q i n t = σ 1 2 π a 1 L + σ 1 2 π a 2 L q i n t = 2 π L σ 1 a 1 + σ 2 a 2

Logo, pela lei de Gauss, temos que

E 2 π L R = 2 π L σ a 1 + σ 2 a 2 ε 0 E = σ 1 a 1 + σ 2 a 2 ε 0 R

Passo 4

  • Notemos que, para E = 0 no último caso acima, devemos ter
  • σ 1 a 1 + σ 2 a 2 = 0 ∴ σ 2 σ 1 = - a 1 a 2

    note que os sinais devem ser contrários (como é esperado!)

    Passo 5

  • Entre as placas o campo continuaria sendo o mesmo :) Isso ocorre pois ele depende apenas da carga do cilindro interno.
  • Passo 6

  • Temos o seguinte esquema.
  • Note que apenas o campo entre os cilindros não é nulo.

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