Enunciado

A constante dielétrica do capacitor visto na Figura 18.24 varia linearmente com a coordenada y , na forma κ = 1 + κ d - 1 y / d . Calcule os campos D y , E y e P y dentro do dielétrico.

Passo 1

Primeiro vamos procurar o deslocamento elétrico!

A grande sacada do vetor deslocamento D → é que ele só depende das cargas livres do sistema, de modo que as cargas de polarização não precisam ser consideradas. Isso significa que podemos simplesmente ignorar o dielétrico e a constante dielétrica para fazer a conta!

A lei de Gauss para o vetor D → é

∯ D → ⋅ d A → = q L

Daí basta fazer uma analogia com o campo elétrico de um capacitor no vácuo:

n o   v á c u o :             ∯ E → ⋅ d A → = q ϵ 0     →       E = σ ϵ 0

p a r a   o   v e t o r   D → :             ∯ D → ⋅ d A → = q L       →           D = σ L

Com isso, o deslocamento elétrico será uniforme e igual a

D = σ L = Q A

Adotando um eixo y perpendicular as placas e para cima, temos que

D → = - Q A   y ^

Ele aponta para baixo, da placa positiva para a placa negativa!

Passo 2

Para achar os vetores E → e P → , usamos a relação

D → = ϵ 0 E → + P →

Além disso, temos que

P → = ϵ 0 κ - 1 E →

Daí,

D → = ϵ 0 E → + κ ϵ 0 E → - ϵ 0 E → = κ ϵ 0 E →

Portanto,

E → = D → κ ϵ 0

Nesse caso, a constante dielétrica κ depende da posição y , de modo que o campo elétrico também vai depender:

E → y = 1 ϵ 0   1 + κ d - 1 y d   - Q A   y ^

Ou ainda,

E → y = - Q   d ϵ 0 A   d + κ d - 1 y y ^

Passo 3

Só falta achar o vetor polarização:

P → = ϵ 0 κ - 1 E → = ϵ 0   1 + κ d - 1 y d - 1 - Q   d ϵ 0 A   d + κ d - 1 y y ^

Portanto,

P → y = - Q   κ d - 1   y A   d + κ d - 1 y y ^

Resposta

D → = - Q A   y ^

E → y = - Q   d ϵ 0 A   d + κ d - 1 y y ^

P → y = - Q   κ d - 1   y A   d + κ d - 1 y y ^

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