Enunciado

23. Um corpo de 0,500   k g , ligado a extremidade de uma mola ideal de constante k = 450   N / m , executa um movimento harmônico simples com amplitude igual a 0,040   m . Calcule: a ) a velocidade máxima do cavaleiro; b ) a velocidade do cavaleiro no ponto x = - 0,015   m ; c ) o módulo da aceleração máxima do cavaleiro; d ) a aceleração do cavaleiro quando ele está no ponto x = - 0,015   m ; e ) a energia mecânica total do cavaleiro quando ele está em qualquer ponto.

Passo 1

Nosso problema pode ser resolvido todo com base na conservação de energia mecânica:

E = K + U

Lembrando que, quando um objeto em M H S está na posição x = A , ele só tem energia potencial, logo:

E = 1 2 k A 2

Temos então que:

K + U = 1 2 k A 2

Para encontrar a velocidade máxima do cavaleiro, basta lembrar que em um M H S a velocidade máxima acontece no ponto de equilíbrio onde U = 0 podemos considerar esse ponto em x = 0 , nada no enunciado nos impede de considerar esse ponto.

A velocidade no ponto x = - 0,015   m , também é obtida através da fórmula acida da conservação de energia.

Agora para achar aceleração no mesmo ponto x , basta usar a segunda lei de Newton, já que sabemos que só existe a força elástica atuante no sistema, logo:

F R = m a = - k x

E para achar a energia total, basta substituir os valores que conhecemos na fórmula da energia total que comentei mais acima.

Passo 2

Vamos lá então, vamos achar o valor da velocidade máxima, lembrando o que foi dito no passo 1 a fórmula da energia mecânica fica assim:

K = 1 2 k A 2

Então:

1 2 m v m á x 2 = 1 2 k A 2

v m á x = A k m

,

Sabendo que k = 450   N / m , A = 0,040   m e que 0,500   k g , temos o seguinte:

v m á x = 0,04 450 0,5

= 0,04 * 30

= 1,2   m / s

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade no ponto x = - 0,015   m , basta usar mais uma vez a equação da conservação de energia, só que agora fazendo o x da energia potencial assumir o valor que acabei de comentar.

Então:

K + U = 1 2 k A 2

⇒ 1 2 m v 2 + 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2

⇒ m v 2 + k x 2 = k A 2

⇒ m v 2 = k A 2 - x 2

Então temos que:

v = ± k m A 2 - x 2

= ± 450 0,5 0,04 2 - ( - 0,015 2 )

= ± 900 0,0016 - 0,000225

= ± 1,11   m / s

O sinal vai depender de qual sentido o objeto está se movendo.

Passo 4

Para achar a aceração vamos usar a fórmula mencionada no passo 1 , que é a seguinte:

m a = - k x

Só que como queremos a aceleração máxima o x será igual A que é a posição onde ocorre a máxima aceleração em um M H S , assim:

m a = - k A

⇒ a = - k m A

⇒ a = - 450 0,5 * 0,04

= 900 * 0,04

= 36   m / s 2

Passo 5

Agora para achar a aceleração em x = - 0,015   m , basta fazer a mesma coisa que fizemos no passo anterior, mas agora em vez de x = A , colocarmos x = - 0,015   m , assim temos:

a = - k m x

⇒ a = - 450 0,5 ( - 0,015 )

= 900 * 0,015

= 13,5   m / s 2

Passo 6

E a energia total do sistema é dada por:

E = 1 2 k A 2

= 1 2 450 0,04 2

= 0,36   J

Resposta

a

v m á x = 1,2   m / s

( b )

v = ± 1,11   m / s

( c )

a m á x = 36   m / s 2

( d )

a = 13,5   m / s 2

( e )

E = 0,36   J

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