Enunciado

Da carga Q que uma pequena esfera contém inicialmente, uma parte q é transferida para uma segunda esfera situada nas proximidades. As duas esferas podem ser consideradas cargas pontuais. Para que valor de q / Q a força eletrostática entre as duas esferas é máxima?

Passo 1

Primeiro, pense no que acontece quando a partícula de carga Q doa uma carguinha q para a outra esfera que antes era neutra, ou seja, não tinha carga nenhuma:

Nós vamos ficar com a esfera que doou com a seguinte carga:

q 1 = Q - q

Ou seja, vai ser a carga inicial menos a que ela doou para a outra esfera. E a segunda esfera? Ela tinha uma carga inicial nula (ela era neutra) e recebeu uma carga q, logo a carga dela será:

q 2 = 0 + q = q

Então vamos ficar com o seguinte esquema:

Após essa doação, a esfera menor da Figura fica eletrizada com carga q e a esfera maior passa a ter uma carga menor do que a que ela tinha antes, igual a Q - q .

Passo 2

Beleza! Já temos uma visão do problema, mas a questão pergunta pra gente sobre a força eletrostática. Vamos, então, usar a fórmula dessa força que é:

F = K .   q 1   . q 2 d 2

E quem são esses elementos da fórmula? São:

  • F é a força que desejamos calcular entre as cargas;
  • K   é a constante eletrostática;
  • q 1   é a carga da primeira esfera;
  • q 2 é a carga da segunda esfera;
  • d é a distância entre as duas esferas carregadas.

Vamos então aplicar os nossos valores na fórmula? Bora!

F = K .   q 1   . q 2 d 2

Substituindo q 1 = Q - q

E

q 2 = q

F = K Q - q q d 2 = K Q q - q 2 d 2

Repare que essa força é máxima quando a expressão y =   Q q - q 2 atinge seu valor máximo.

Passo 3

Para a gente encontrar o valor de q que corresponde a esse máximo, basta a gente derivar essa expressão e igualá-la a zero. Pois lá do cálculo, a gente tem que a devidada igual a zero nos dá o ponto de valor máximo ou mínimo (e nesse caso, ela vai nos dar o nosso valor máximo).

Fazendo isso, podemos achar o valor de q que responde à pergunta:

y ( q ) = Q q - q 2

Derivando y , vamos derivar o outro lado em relação a q :

y ' = d y d q =   Q - 2 q

Para encontrar o máximo, igualamos essa derivada a zero:

Q - 2 q = 0

Logo:

q = Q 2

Como queremos encontrar desde o enunciado a relação entre q / Q :

q Q = 0,5

Acabou, meu amigo, chegamos na resposta final!

Resposta

q Q = 0,5

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