Enunciado

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Duas bolas são atiradas com a mesma rapidez do topo de um penhasco de altura h . Uma bola é atirada a um ângulo α acima da horizontal. A outra bola é atirada a um ângulo β abaixo da horizontal. Mostre que cada bola atinge o chão com a mesma rapidez e encontre esta rapidez em termos de h e da rapidez inicial v 0 .   (Ignore a resistência do ar.)

Passo 1

E aí pessoal, beleza? Vamos lá provar esse experimento. A figura do problema nos ajuda a visualizar melhor a situação:

O enunciado quer que mostremos que as bolas atingem o chão com a mesma velocidade. Bom, sabemos que o módulo da velocidade é dado por:

v = v x 2 + v y 2

Então vamos encontrar os valores de v x e v y . Para v y temos:

v y 2 = v 0 y 2 - 2 ⋅ g ⋅ ∆ y

v y 2 = v 0 y 2 + 2 ⋅ g ⋅ h

v y = v 0 y 2 + 2 ⋅ g ⋅ h

Para v x temos que:

v x = v 0 x + a x ⋅ t

Como a x = 0 temos que:

v x = v 0 x

Passo 2

Agora vamos substituir os valores que encontramos:

v = v 0 x 2 + v 0 y 2 + 2 ⋅ g ⋅ h

Mas se a gente observar direitinho temos que:

v 0 2 = v 0 x 2 + v 0 y 2

Então podemos escrever:

v = v 0 2 + 2 ⋅ g ⋅ h

Observe que a velocidade final de chegada ao solo v , só depende da velocidade inicial de lançamento e da altura do ponto de início ao fim.

Resposta

v = v 0 2 + 2 ⋅ g ⋅ h

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