Enunciado

Duas espiras, uma em forma de circunferência e outra em forma de quadrado, têm o mesmo comprimento L e conduzem a mesma corrente i . Mostre que o campo magnético produzido no centro da espira quadrada é maior que o campo magnético produzido no centro da espira circular.

Passo 1

E aí, pessoal! 😉

Nesse problema temos uma espira quadrada e uma circular, ambas com o mesmo comprimento L e corrente i .

O que queremos mostar é que o campo magnético no centro da espira quadrada é maior que no centro da espira circular...

Questões de demonstração são sempre bem legais de resolver, porque nos ajuda a entender mais sobre a matéria que estamos estudando! Vamos lá.

Vamos chamar de a o comprimento do lado do quadrado.

Para um fio de comprimento L a uma distância R do centro do fio, o campo magnético é dado por:

B = μ o i 2 π R ⋅ L L 2 + 4 R 2

Como o centro do nosso quadrado está a uma istância a / 2 de quatro fios de comprimento a , temos o seguinte:

B c e n t r o = 4 μ o i 2 π a 2 a a 2 + 4 a 2 2 B c e n t r o = 2 2 μ o i π a

Veja só! 😁

Passo 2

Por outro lado, de acordo com a expressão do campo magnético no centro de um fio circular de raio R é

B = μ o i 2 R

Assim, o problema nos pede pra mostrar que:

2 2 μ o i π a > μ o i 2 R 4 2 π a > 1 R

Como os dois fios têm o mesmo comprimento, o perímetro do quadrado de lado a é igual ao perímetro da circunferência de raio R , ou seja,

4 a = 2 π R

a = π R 2

Assim, devemos provar que

4 2 π a = 8 2 π 2 R > 1 R

Isso pode ser feito através de um simples cálculo numérico! Fazendo as devidas simplificações:

8 2 π ² ≈ 1,15 → 1,15 > 1

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

O campo magnético no centro da espira quadrada é maior que no centro da espira circular se tiverem o mesmo comprimento L e a mesma corrente i .

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