Enunciado

Duas ondas progressivas iguais, que se propagam no mesmo sentido, estão defasadas de π / 2   r a d . Qual é amplitude da onda resultante em termos da amplitude comum y m das duas ondas?

Passo 1

Ok, agora estamos falando sobre interferência entre ondas. A chave para resolver essa questão é lembrar do princípio da superposição.

Quando duas ondas se propagam no mesmo meio, o deslocamento resultante é a soma dos deslocamentos gerados por cada onda. Simples, não é mesmo? Vamos escrever isso em forma matemática

y r e s = y 1 + y 2

Onde y r e s é o deslocamente da onda resultante, que é a soma dos deslocamentos da outra onda.

Agora vamos lembrar da função para o deslocamento:

y 1 x , t = y m . sen ⁡ ( k x - ω t )

Se esta for a primeira onda, a segunda será simplesmente a mesma coisa, mas defasada por 2π:

y 2 x , t = y m . sen ⁡ k x - ω t + π 2

Passo 2

Agora vamos substituir isso na equação de cima pra achar o deslocamento resultante:

y r e s = y 1 + y 2

y r e s = y m . sen ⁡ ( k x - ω t ) + y m . sen ⁡ k x - ω t + π 2

E o objetivo da questão é achar a amplitude dessa onda aí. Então vamos arrumar essa fórmula pra ver se a amplitude aparece.

Pra começar, vamos usar essa identidade trigonométrica:

sen ⁡ x + π 2 = sen ⁡ x cos ⁡ π 2 + sen ⁡ π 2 cos ⁡ x = c o s ⁡ ( x )

Aplicando isso no segundo termo da soma da nossa equação:

y r e s = y m . sen ⁡ ( k x - ω t ) + y m . cos ⁡ k x - ω t

y r e s = y m ( sen ⁡ k x - ω t + cos ⁡ k x - ω t )

Beleza, agora pra simplificar vamos chamar essa coisa dentro das funções de:

A = k x - ω t

Então:

y r e s = y m ( sen ⁡ A + cos ⁡ A )

Beleza, como a amplitude é simplesmente a altura do pico da onda, nosso problema é simples: qual o máximo/mínimo que essa função atinge?

Passo 3

Ok, maximizar uma função a gente sabe, primeiro vamos derivar em relação ao A :

y r e s = y m ( sen ⁡ A + cos ⁡ A )

y r e s ' = y m ( cos ⁡ A - sen ⁡ A )

E no ponto de máximo ou mínimo (os dois dão a amplitude) a derivada vai ser igual a zero:

y m cos ⁡ A - sen ⁡ A = 0

cos ⁡ A = sen ⁡ A

E qual o menor ângulo que satisfaz essa equação?

A = π 4

Então o máximo vai ser:

y r e s = y m ( sen ⁡ A + cos ⁡ A )

y r e s π 4 = y m ( sen ⁡ π 4 + cos ⁡ π 4 )

y r e s π 4 = y m 2 2 + 2 2

y r e s π 4 = 2 y m

Pronto! Esse é o ponto de máximo da função resultante e, portanto, é a amplitude da onda

Resposta

A amplitude é Y m = 2 y m

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