Enunciado

Duas partículas executam movimentos harmônicos simples de mesma amplitude e frequência ao longo de retas paralelas próximas. Elas passam uma pela outra, movendo-se em sentidos opostos, toda vez que seu deslocamento é metade da amplitude. Qual é a diferença de fase entre elas?

Passo 1

Fala galerinha, vamos supor que as funções de cada uma das partículas sejam essas:

x 1 t = A . c o s ⁡ ( ω t + φ 1 )

x 2 t = A . cos ⁡ ( ω t + φ 2 )

Como as frequências são iguais, os períodos são iguais, as frequências angulares também vão ser e, por isso, usamos o mesmo ω nas duas funções. Além disso, também é dito que os movimentos possuem a mesma amplitude, que chamamos de A .

A informação que o enunciado deu é que as partículas se encontram na metade da amplitude. Ou seja, existe algum instante t 1 em que:

x 1 t 1 = A . cos ⁡ ω t 1 + φ 1 = A 2

E

x 2 t 1 = A . cos ⁡ ω t 1 + φ 2 = A 2

Ou seja, simplificando os A ’s nas duas equações:

cos ⁡ ω t 1 + φ 1 = 1 2

E

cos ⁡ ω t 1 + φ 2 = 1 2

Igualando as duas equações das posições:

cos ⁡ ω t 1 + φ 1 = cos ⁡ ω t 1 + φ 2 = 1 2

Com isso, vemos que os cossenos devem valer 1 2 . Quando isso acontece? Quando o ângulo é ou π 3 ou - π 3 . Isso quer dizer que os argumentos das funções cosseno ( ω t 1 + φ 1 e ω t 1 + φ 2 ) são iguais a π 3 ou - π 3 .

Passo 2

Nosso objetivo é achar a diferença de fase. Como o ω t 1 é igual nas duas partículas, vamos ver o que acontece se a gente fizer essa diferença aqui:

ω t 1 + φ 1 - ω t 1 + φ 2

Os termos ω t 1 se cancelam, então essa diferença de argumentos do cosseno é igual à diferença de fase:

Δ Φ = φ 1 - φ 2

A gente sabe que a diferença de fase não pode ser 0 , senão as duas partículas ficariam juntas o tempo todo.

Se as duas fases forem π 3 ou as duas forem - π 3 , a diferença de fase seria zero. Como não é zero, só sobra a opção de elas terem sinais opostos.

E qual das duas terá o sinal negativo? Isso depende apenas do nosso referencial, mas como a questão só pediu a diferença entre as fases, isso não fará diferença pra gente, ok? Já que podemos simplesmente usar o módulo dessa diferença, ou seja, Δ Φ .

Ou seja, podemos supor que:

φ 1 = π 3

E

φ 2 = - π 3

Com isso:

Δ Φ = π 3 - - π 3

Δ Φ = 2 π 3

Resposta

A diferença de fase entre elas é de 2 π 3 .

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