Enunciado

Uma esfera carregada de raio R possui uma densidade de cargas negativas uniforme, exceto por um túnel estreito que atravessa totalmente a esfera, passando pelo centro. Um próton pode ser colocado em qualquer ponto do túnel ou de um prolongamento do túnel. Seja F R o módulo da força eletrostática a que é submetido o próton quando se encontra na superfície da esfera. Determine, em termos de R , a que distância da superfície está o ponto no qual o módulo da força é 0,50 F R quando o próton se encontra (a) em um prolongamento do túnel; (b) dentro do túnel.

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😁

Temos uma esfera carrega com raio R com um túnel pequeno onde um próton pode ser colocado dentro. A força F r é a força que age sobre o próton quando ele se encontra na superfície da esfera. No item (a), precisamos calcular o raio quando a força é F = F r 2 .

Para isso, vamos utilizar a relação entre força elétrica e campo elétrico para o próton:

F = e E

Agora, podemos utilizar a fórmula para o campo elétrico de uma esfera carregada:

E = q 4 π ε 0 r 2

Ou seja, a força é:

F = e q 4 π ε 0 r 2

Veja só! 😊

Passo 2

A força elétrica sofrida pelo próton em cima da esfera é:

F R = e q 4 π ε 0 R 2

Portanto para descobrir F = F R / 2 , fazemos

e q 4 π ε 0 r 2 = e q 4 π ε 0 R 2 1 2

1 r 2 = 1 2 R 2

r = 2 R

Como o enunciado está pedindo a distância entre a superfície e o ponto:

d = r – R

d = 2 – 1 R

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Então para calcular quando a força é F = F R / 2 dentro da esfera, item (b), vamos utilizar a fórmula do campo elétrico dentro da esfera:

E = q 4 π ε 0 R 3 r

Assim, a força elétrica é

F = e q 4 π ε 0 R 3 r

Portanto

e q 4 π ε 0 R 3 r = e q 4 π ε 0 R 2 1 2

1 R 3 r = 1 R 2 1 2

r = R 2 = 0,50 R

Portanto, a distância entre o ponto dentro da esfera e a esfera é:

d = 0,50 R

Bacana, não é? O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

(a) d = 0,41 R

(b) d = 0,50 R

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